青浦区2019学年高三年级第二次学业质量调研测试数学学科 试卷（时间120分钟，满分150分） Q2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1．已知全集U =R ，集合(,2)A =-∞，则集合UA =__________．2．已知i 为虚数单位，复数2i z =+的共轭复数z =__________． 3．已知函数()11f x x=+，则方程()12f x -=的解x =__________． 4．若5(1)ax +的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是__________．5．双曲线22144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是__________．6．用一平面去截球所得截面的面积为23πcm ，已知球心到该截面的距离为1cm ，则该球的表面积是__________2cm ． 7．已知,0x y >且21x y +=，则11x y+的最小值为__________． 8．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，|2|2a b +=，则a 与b 的夹角为_________．9．设{}1,3,5a ∈，{}2,4,6b ∈，则函数1()log baf x x=是减函数的概率为_________．10．已知函数()f x =，若存在实数0x 满足00)]([x x f f =，则实数a 的取值范围是_______．11．已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =则△ABC 的三个顶点的横坐标之和为__________．12．定义函数{}{}()f x x x =，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.42=，{}2.32-=-，当()(0,]x n n N*∈∈时，函数()f x 的值域为nA ，记集合nA 中元素的个数为na ，则n a =_______．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知,a b ∈R ，则“0b ≥”是“20a b +≥”的………………………………………（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件14．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为………………………………………………………………………………………… （ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 15．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=，当点(,)x y 分别在1Ω，2Ω，上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，，则lim n n M →∞=………………………（ ）． （A ）25+（B ）4（C ）3（D ）2216．已知函数()sin 2sin f x x x =+，关于x 的方程2()()10f x a f x --=有以下结论： ①当0a ≥时，方程2()()10f x a f x --=在[]0,2π内最多有3个不等实根； ②当6409a ≤<时，方程2()()10f x a f x --=在[]0,2π内有两个不等实根； ③若方程2()()10f x a f x --=在[]0,6π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π． ④若方程2()()10f x a f x --=在[]0,6π内根的个数为偶数，则所有根之和为36π． 其中所有正确结论的序号是………………………………………………………………（ ）．（A ）②④（B ）①④（C ）①③（D ）①②③三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，160B AB ∠=︒． （1）求直线1A C 与平面ABCD 所成的角的大小； （2）求异面直线1B C 与11A C 所成角的大小．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数2π()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x =++．（1）若函数()y f x =的图像关于直线(0)x a a =>对称，求a 的最小值；（2）若存在05[0,]2π1x ∈，使0()20mf x -=成立，求实数m 的取值范围．19.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，*t ∈N ．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为()p t ．（1）求()p t 的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； （2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？20.(本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，其长轴长是短轴长的2倍，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k ，若0k ≠，证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值；（3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围．21.(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于无穷数列{}n a 、{}n b ，n ∈*N ，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k a a a a a a b =-，k ∈*N ，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”．其中{}12max ,,,k a a a 、{}12min ,,,k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大项和最小项．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”． （1）若31n a n =-，求数列{}n b 的前n 项和； （2）证明：数列{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； （3）若()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=，求所有满足该条件的数列{}n a ．青浦区2019学年第二学期高三年级第二次质量调研测试数学参考答案及评分标准 2020.05说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．[)2,+∞；2．2i -；3．32；4．2； 5．2；6．16π；7．3+； 8．34π； 9.23；10.14a ≤；11．10-；12.(1)2n n n a +=. 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. A ；14. B ； 15． D ；16. C .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）因为在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，A 是垂足， 所以1ACA ∠是1A C 与平面ABCD 所成的角，设1AB =，又正四棱柱1111ABCD A B C D -中，160B AB ∠=︒，12AB ∴=，113BB AA ==，112AC =+=1136tan 22AA ACA AC ∴∠===∴ 16arctan 2ACA ∠= 1A C ∴与平面ABCD 所成的角的大小为6arctan 2（2）解一：如图所示：连接AC ，11AC AC ∥，1B CA ∴∠是异面直线1B C 与11A C 所成角， 112AB B C ==，2AC =，22211112cos 24222B C AC AB B CA B C AC +-∴∠===⋅⨯⨯，12arccos4B CA ∴∠= 所以异面直线1BC 与11A C 所成角的大小的大小为2arccos4． 18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 解：（1）()2π2sin sin cos 33f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2sin 3sin cos 3x x x x x =++-()22sin 3cos 3x x x x =)222sin cos 3cos sin x x x x =- πsin 2322sin 23x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()ππ2π32a k k +=+∈Z ，ππ,212k a k ∴=+∈Z 又0a >∴a 的最小值为π12． （2）因为存在05[0,]12x π∈，使成立，所以()00f x ≠，即()()0002120πsin 23mf x m f x x -=⇒==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 00570,,212336x x ππππ⎡⎤∈≤+≤⎢⎥⎣⎦01sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭又0sin 203x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭， 则(][),21,m ∈-∞-+∞．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）由题意知()()2120010,2101200,1020k t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，N t ∈，（k 为常数），∴()()221200102120064560p k k =--=-=，∴10k =，∴()()2210200200,21012001010,2101200,10201200,1020t t t t t p t t t ⎧⎧-++≤<--≤<⎪==⎨⎨≤≤≤≤⎪⎩⎩，∴()()261200101061040p =-⨯-=，故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量1040人． （2）由()63360360p t Q t-=-，可得()236610200200336084060,210360,21038403840360,1020360,1020t t t t t t t Q t t t t ⎧⎧-++-⎛⎫-+≤<⎪ ⎪-≤<⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨⎪⎪-≤≤-≤≤⎪⎪⎩⎩，①当210t ≤<时，36840608406012120Q t t ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当6t =等号成立；②当1020t ≤≤时，7200336036038436024Q t-=-≤-=，当10t =时等号成立，由①②可知，当发车时间间隔为6t =分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：(1)由于222c a b =-，将x c =-代入椭圆方程22221x ya b+=，得2b y a =±．由题意知221b a=，即22a b =．又12b a =，222a bc =+，所以2a =，1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(2)设000(,)(0)P y y x ≠，则直线l 的方程为00()y y k x x -=-．联立得220014()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，整理得222222000000(14)8()4(21)0k x ky k x x y kx y k x ++-+-+-=由题意得0∆=，即2220000(4)210x k x y k y -++-=．又220014x y +=，所以22200001680y k x y k x ++=，故004x k y =-．又知00012000211x x x k k y y y ++=+=，所以0012120042111118y x kk kk k k k x y ⎛⎫⎛⎫+=+=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1211kk kk +为定值，这个定值为8-． (3)设000(,)(0)P y y x ≠，又1(F，2F ，所以直线1PF ，2PF的方程分别为1000:(0PF l y x x y -=，2000:(0PF l y x x y -=．=．由于点P 在椭圆上，所以220014x y +=．=．因为m<<，022x-<<=，所以34=m x，因此3322-<<m．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）由31na n=-可得{}n a为递增数列，所以{}{}12121max,,,min,,,31233n n n nb a a a a a a a a n n=-=-=--=-，故{}n b的前n项和为()31(033)22n nn n-+-=（2）因为{}{}()12121max,,,max,,,1,2,3,n na a a a a a n+≤=，{}{}()12121min,,,min,,,1,2,3,n na a a a a a n+≥=，所以{}{}{}{} 1211211212 max,,,min,,,max,,,min,,,n n n na a a a a a a a a a a a++-≥-所以()11,2,3,n nb b n+=≥又因为1110b a a=-=，所以{}{}12121max,,,min,,,nn n nb b b b b b b b b-=-=，所以{}n b的“收缩数列”仍是{}n b（3）由()()()121111,2,3,22n nn n n nS S S a b n+-+++=+=可得当1n=时，11a a=；当2n=时，121223a a a b+=+，即221b a a=-，所以21a a≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即()()3213132b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾； 若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得()32133a a a a -=-， 所以32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=的数列{}n a 是：1212,1,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨≥⎩，．n ∈*N …………………………………………………14分经验证，左式()()12121211212n n n S S S na n a na a -=+++=++++-=+⎡⎤⎣⎦， 右式()()()()()()1121121111122222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--=+=+-=+. ………………………………………………………………………………………16分 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件. 由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,2n a n a a a a n =⎧=≥⎨≥⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，由题设条件可得()()221112222k k k k k k k k a a a b +---+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得()()2112k k k k a a a a --=-高三数学 第11页 共11页 所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =. 这与假设2k a a ≠矛盾.所以，所有满足该条件的数列{}n a 的通项公式为1212,1,,2,n a n a a a a n =⎧=≥⎨≥⎩，n ∈*N ．。