( l ) 2
式中 μ 称为长度系数,随杆端约束情况而异；μl 则称为相当长 度，即相当于两端球形铰支压杆的长度。如下各图所示。
Fcr
x Fcr
A l
B
Fcr
π2EI y l2
1
A l
B
Fcr
π2EI y (0.7l ) 2
0.7
y
建筑力学电子教案
Fcr
A l
B
Fcr
π2EI y (0.5l ) 2
Fcr
A
I
l/4
l
2I l/2
BIl/4ຫໍສະໝຸດ w k 2w 0(b)
该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为
w Asin kx B coskx
(c)
将边界条件 x=0，w=0 代入式 (c)得 B=0。 利用边界条件 x=l， w=0得到
Asin kl 0
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注意到已有 B=0，故上式中的 A 不可能等于零，否则将有 w≡ 0 而压杆不能保持微弯临界状态。由此可知，欲使(c)成 立，则必须 sinkl=0 。满足此条件的 kl 为
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§13-1 关于稳定性的概念
一根宽30mm，厚5mm的矩形截面松木杆，对其施加轴 向压力，设材料的抗压强度为40MPa， 则当杆很短（如 h=30mm），将杆压坏的压力为：
F c A 40 106 0.005 0.03 6000 N
但如杆长为1m，则不到30N的压力，杆就会突然产生显 著的弯曲变形而失去工作能力。
l
可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。但是 是一个无法确 定的值。即不论 为任何微小值，上述平衡都可以维持， 好象压杆受 作用时可以在微弯状态下处于“随遇而安” 的平衡状态。事实上这种平衡状态是不成立的。 值无法
确定的原因是推导采用了挠曲线近似微分方程。如果采用
挠曲线精确微分方程，则可以解出 Fcr ~ 的关系。
可见，研究压杆稳定的关键就是寻找 Fcr 。
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F F（较小） F（较小）
F（特殊值） F（特殊值）
QQ
QQ
轴压
压弯
恢复
直线平衡 曲线平衡 直线平衡
压弯
失稳
曲线平衡 曲线平衡
保持常态、稳定
失去常态、失稳
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§13-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
本节以两端球形铰支(简称两 端铰支)的细长中心受压杆件(图a) 为例，按照对于理想中心压杆来说 临界力就是杆能保持微弯状态时的 轴向压力这一概念，来导出求临界 力的欧拉(L.Euler)公式。
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可以用下列模型来说明稳定问题的关键：
在杆上施加一竖向力 F ，再施加一横向力 Q，使杆 发生转动。如果 F 不大，杆能保持平衡，且撤去 Q 后， 杆将恢复到其原来的直线状态。但当 F 大过一个临界值 时，撤去 Q ，杆不再能恢复到原来的状态。前者称为稳 定平衡，后者称为不稳定平衡。这个从稳定平衡转变到 不稳定平衡的压力临界值称为临界力，用 Fcr表示。而Fcr 只与系统本身的性质 l 、EI 有关。
(a)
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(b)
在图a 所示微弯状态下，两 端铰支压杆任意 x 截面的挠度(侧 向位移)为 w，该截面上的弯矩为 M(x)=Fcrw (图b)。杆的挠曲线近 似微分方程为
EIw M x Fcrw (a)
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令 k 2 Fcr ，将挠曲线近似微分方程(a)改写成 EI
截面窄而高的梁，受外压的薄壁容器，都可能发生失 稳现象。
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压杆受压力时弯曲的原因在于：
（1）杆本身不可能绝对地直；
（2）杆的材质不可能绝对地均匀；
F
（3）轴向压力不可能与杆轴线绝对重合。 这些因素使压杆在外加压应力下除了发 生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲 变形。 压杆是在压缩与弯曲组合变形的状 态下工作的。
Fcr
B l
A
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思8-1参考答案 M (x) Fcrv M e
挠曲线近似微分方程
EI z M (x) Fcrv M e
最后得
kl =
挠曲线方程
Fcr
π2EI y l2
v [1 cos(π x / l)]
2
x δ
Me
Fcr B
A
y
Fcr Me
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思考题8-2 推导如图变截面压杆临界力Fcr的欧拉公式。
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细长压杆之所以丧失工作能力，是由于其轴线不能 维持原有直线形状的平衡状态所致，这种现象称为丧失 稳定，简称失稳。
横截面和材料相同的压杆，由于杆的长度不同，其抵 抗外力的性质将发生根本的改变。
粗短的压杆是强度问题，细长的压杆是稳定问题。
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工程中，许多受压构件需要考虑其稳定性，例如：千 斤顶顶杆，托架中的压杆，无缝钢管穿孔机顶杆，采矿工 程中的钻杆等，在轴向压力较大时，就可能丧失稳定而突 然破坏，造成严重事故。
kl 0，π , 2π ，
或即
Fcr l 0，π ， 2π ，
EI
由于
Fcr l 0 EI
意味着临界力
Fcr ＝0，也就是杆根本未
受轴向压力，这不是真实情况。在 kl≠0 的解中，最小解相
应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。
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由 k l＝ 有
Fcr l π EI
亦即
0.5
Fcr
Fcr
π2EI y (2l ) 2
l
v
2
从上述分析可知,中心受压直杆的临界力 Fcr 与杆端的 约束情况有关，杆端的约束越强，临界力越大。
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思考题8-1 如下图所示两端固定但上端可有水平位移的等截面中
心受压直杆，其长度为 l，横截面对z轴的惯性矩为I。推导 其临界力Fcr的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。
12
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§13-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧
.
拉公式 · 压杆的长度系数
几种理想支端约束条件下的细长压杆
Fcr
x Fcr
Fcr
Fcr
A l
A l
A l
l
v
B
B
y
B
当这些压杆都是等截面杆,且均由同一材料制成时,其 临界荷载 Fcr的计算公式可统一写为
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Fcr＝
π2 EI y
Fcr l 2 π 2 EI
从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：
Fcr
π
2 EI l2
I 是横截面最小 形心主惯性矩
此时杆的挠曲线方程可取 k l＝ ，代入式(c)得到为：
w Asinπ x l
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注意到当 x=l/2 时 w= ，故有 A= 。从而挠曲线方程为 w sin π x