1v(x) a 1x 12 b 1x 22 c 1 x 322x 1x 2 4x 3 x 2 2X 1X 3a 1 x T 11 b 1 2(1) v(x) x 12 4x 22 x 32 2x 1x 2 6x 3x 2 2x 1x 3 (2) v(x)x 12 10x 22 4x 32 6x 1 x 2 2x 3x 2222(3) v(x) 10x 14x 2 x 3 2x 1x 2 2x 3x 2 4x 1 x 3【解】：(1)二次型函数不定。
⑵二次型函数为负定。
⑶二次型函数正定。
3-4-2试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
【解】：3-4-1第四章控制系统的稳定性试确定下列二次型是否正定。
1 1 11 11 1 114 3 ,1 0,3 0, 14 31 1 11 413 11 131P4100, 3 100,1010 P 12 1 , 10 1110 1 210 1 39 01411 42 1 10, 17a 1 0a 1b 1 1 a 1b 1c 1 4 b 1 4a 1 c 1【解】：(1)设2 2 v(x) 0.5x 10.5X 2V (X ) X 1X 1 X 2X 2 X 1X 2 X 1X 2 X2x/ °" °)为半负定。
0 (x 0)又因为v(x) 0时，有X 2 0, 则X 2 0，代入状态方程得： X 1 0. 所以系统在X 0时，v(x)不恒为零。
则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。
(2)设2 2v(x) 0.5X 1 0.5X 2v(x) X 1X 1 X 2X 2 X 1 ( X 1X 2) X 2(2X 1 3X 2)X 12 3X 22 3X 1X 2T 11.51 11 1.5Xx1 0,1.5 31 1 11.53T …X PxP 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。
(3)0 1 1 1(1) XX(2) xX ； 1 1 2 31 11 0(3) xX (4) xX 1 10 13-4-3满足正定的条件为:a i | of 1 1b ia i 0, 1 11 1 b 12 02 C 1试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
2 2v(x) 0.5x i 0.5x 2v(x) X i X t x 2x 2 X, X t x 2) x 2( X t x 2)x T PxP 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。
(4)两个状态变量相互独立，所以可以单独分析各变量的稳定性。
3-4-4试确定下列系统平衡状态的稳定性。
1 3 0x(k 1)3 2 3 x(k)1【解】：方法一： 采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。
z i 3f(z) zI A 3 z 2 3i 0 zz i 0.ii73+2.6974i z 2 0.1173-2.6974i Z 31.2346特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。
方法二： 采用第二方法，1 3 0 G 32 3。
12 2X i X 22X i X i v(X i ) 0.5x i2X 2 X 2 V (X 2)0.5X 2所以系统不稳定。
2 0 XV(X i )X i X i X i0 X 020 X 0 V (X 2) X 2X 2X 2X 01 0.5 0.5 P 0.51 0 0.51v(k) x T (k)(G T PG P)x( k)3 1 1 0.5 0.5 13 0 0.5 0 184.5 7 4.561.5 71.58v(k)为正定，所以系统在原点不稳定。
定时k 值范围。
【解】：方法采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。
z1 0f (z) zI A 0 z 10 0k/2z84.5 784.527.75 04.561.5 4.5 67 1.5 8因为8>0,4.5 0，所以P 正定。
10.5 0.51 0.50.75 00.51 0 0.510.510 ,所以P 正定。
v(x) x TPx 正定。
G T PG P 32 0 0.5 1 0 3-4-5因为1>0，0.5乙0.51 2kz2-0.5 2kZ3 00.5 2k 1 0 k 2时平衡点渐近稳定。
方法二：v(x) x T Px 正定。
v(k) x T(k)(G T PG P)x( k)v(k) x T (k)Qx(k)Q I1212 4 k2223R巳巳123RRR1231.^1.^1pp1ok-21111ppGpGP为正定，则124 k2120 k 2时系统渐近稳定。
3-4-6设系统的状态方程为X 10 1X 1，试求这个系统的李亚普诺夫函数， x 2 21.5 x 2然后再求从封闭曲线 v(x) 100边界上的一点到封闭曲线 v(x) 0.05内一点的响应时间上限。
【解】： 令Q IA T PPA I求矩阵P ，即2 P 1 P|2 P 11 P 12 0 1 1 0 11.5 P 21P 22P 21 P 2221.50 15.5所以李氏函数为:2 2v(x)(X 1 x 2 )1 1QP 1I P 1 I 03-4-7 试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。
【解】：(1 )采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得:I P 012.3062，20.6938t t 。
1ln V(X ，t) 1 , 0.05 In min V(X 0, t o )2 10010.955v(x)5.5 2X 1 42 0.5x 1x 2 0.5x 22s 22s 2系统的两个特征值均在右半平面，则系统在平衡点附近不稳定。
（2 ）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得:3-4-8试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数a 、b 的取值范围（其中二者均大于或等于零，但二者不同时为零）。
X 1 X 2 x 2x 1 ax 2 bx 23【解］:f 1 f 1Afx 0X 1 X 2 0 10 1 T Xf 2 f 21a 3bX 22x 01aX 1X 2x 01 1s 1 2siA 1 sas as 1结论：系统在原点渐近稳定的充要条件是 a 大于0, b 任意（同时还需满足题目要求）。
［解］:求平衡点：f 1 X 1 X 2 1 3X 12 11 1 T xxf 2 f 2113X 22 x 01 1X 1X 2x 011Asif 1f 1X 1 X 2 2 21 3x 1 x2 1 2x 1 x 2 f 2 f 22 21 2X 1X 21 X 1 3X2 x 0X 1X 2 x0s 1 As 1 1 1s 1s 2 2s 2 03-4-9试证明系统x 1 x 2x 2a 1x 1a 2x 12x 2在a 10,a ? 0时是全局渐近稳定的。
Ax系统的两个特征值都在左半平面，则系统在平衡点附近渐近稳定。
X i X 2x 2 0a i x i2 a 2X i X 2X ie0 0X 2e设v(x) 20.5a i X i20.5X 2v(x) a 1x 1 x 1 x 2x 2 a 1x 1x 2 x 2( a ^x 2 a 2x 12x 2)22v(x)a 2X i X2结论a i 0， v(x)正定；a 2 0， v(x)负定，系统渐近稳定。
因为时，v(x) 0.5a i X i 2 0.5X 22，所以系统又是大范围渐近稳定。
3-4-10 试用克拉索夫斯基法确定非线性系统在原点X e 0处为大范围渐近稳定时，参数a 和b 的取值范围。
[解]:v(x) f T (x)f(x)大范围渐近稳定的条件是:x 时 v(x)X Tf if i X i X 2 ai f 2 f 2 ii 3bx 22X i X 2v(x)f T (X)[J T J]f(x)2f T (x)i3bx 22 f(x)系统在x e0处渐近稳定的条件是v(x)负定。
而v(x)负定的条件为:a a 0,ii i 3bx 222a 3abx 2 i 0而 ||x | 时，v(x) (ax i X 2 )2 (x i X 2 bx 2 )2所以系统大范围渐近稳定的条件是：a 0,a i 2ii 3bX 2a 3abx 22 i 03-4-11试用变量-梯度法构成下述非线性系统的李氏函数。
x i x i 2x 1 x 2 x 2x 2【解】：求平衡点：X i X 22x 1 2x 1 x 2 x 20 X ieX 2e 0设Va ii X i a i2 X 2V ia 2i X i a 22X 2 V 2v(x)(V)T x2 a ii X i(a 12 a 21 )x 1x 22a 11x 13 x 2 2 2 22a 〔2 x 〔X 2 a 22 x 2若选a iia 221, a i2 V ia 21 0a 12V 22a 21 0X 2X i满足旋度方程条件v(x) xj(1 2X 1X 2) X 22。
当 x 1 x 20.5时，v(x)负定X i (X 2 0)X 2(x i X i )22 、 宀而 v(x)x i dx i x 2dx 2 0.5(x f x ；)为正定。
0 0当X i X 2 0.5时，系统在平衡点渐近稳定。
3-4-I2设非线性系统方程为试求系统原点X e 0稳定的充分条件。
【解】：由第一法，稳定条件为：由克拉索夫斯基法设f i f2 f2A f T X0XX i X i X2f3X2 X 0f i f20，f3X i X i X2v(X) T X X为正定。
TXv(x) Fxf lX i X i3-4-132(X iX2X1)f2X2X2X22上X2l iX if2X2f2X if3X2f i f2X i X if if2)X if3(-f2X i X2 X2f i f2X i X if i f2)X if3(-f2X i X2 X2时渐近稳定。
4(时稳定。
4()2)2试用阿依捷尔曼法分析下列非线性系统在原点X e 0处的稳定性。
结构如题3-4-13图所示。
(1)题3-4-13图【解】：当输入为零时，非线性系统方程可以写成e e F (e) 0若取状态变量：X 1 e, X 2 e ，那么系统的状态方程为:x 1 x 2 X 2 X 2 F (e)(1)在x e 0处将非，线性环节输入-输出特性用一直线近似 则线性化状态方程为：X 1 X 2⑵取二次型函数作为系统的李氏函数，则有(k 1)2时v(x)为负定，从而求得 0.382只要非线性环节的曲线在 0.382e 和2.618e 范围内变化，原非线性控制系统就是大范围渐近稳定的。