现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质：（1）222123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- （2）222123122313()4262v x x x x x x x x x x =++---解：（1）由已知得[]11231231232311232311()31122111113211112x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-+------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥---⎣⎦110∆=-<，2112013-∆==>-，31111711302411112--∆=--=-<--- 因此()Q x 是负定的 （2）由已知得[][]112312312323112323()433111143131x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=---+---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦110∆=>，2113014-∆==>-，3111143160131--∆=--=-<--因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：11122122a a xx a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。

解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A 的特征值均具有负实部。

即：111221222112211221221()0a a I A a a a a a a a a λλλλλ---=--=-++-= 有解，且解具有负实部。

即：1122112212210a a a a a a +<>且方法（2）：系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定，等价于T A P PA Q +=-。

取Q I =，令11121222P P P P P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则带入T A P PA Q +=-，得到 1121111211222112122222220100221a a P a a a a P a a P -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦若 11211211222111221122122112222204()()0022a a a a a a a a a a a a a a +=+-≠，则此方程组有唯一解。

即22212212222111221222211111121122()1()2()A a a a a a a P a a a a A a a a a A ⎡⎤++-+=-⎢⎥-++++⎣⎦其中11221221det A A a a a a ==- 要求P 正定，则要求222122111112202()A a a P a a A++∆==>-+221122122121122()()04()a a a a P a a ++-∆==>-+因此11220a a +<，且det 0A >4-3试用lyapunov 第二法确定下列系统原点的稳定性。

（1）1123x x -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ （2）1111x x -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦解：（1）系统唯一的平衡状态是0e x =。

选取Lyapunov 函数为2212()0V x x x =+>，则112211221222112222122()222(2)2(23)266332()022V x x xx x x x x x x x x x x x x x x ∙=+=-++-=-+-=---<()V x ∙是负定的。

x →∞，有()V x →∞。

即系统在原点处大范围渐近稳定。

（2）系统唯一的平衡状态是0e x =。

选取Lyapunov 函数为2212()0V x x x =+>，则11221122122212()222()2()220V x x xx x x x x x x x x x ∙=+=-++--=--<()V x ∙是负定的。

x →∞，有()V x →∞。

即系统在原点处大范围渐近稳定。

4-6设非线性系统状态方程为：1222221(1),0xx xa x x x a ==-+->试确定平衡状态的稳定性。

解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：22221()(1)x f x a x x x ⎡⎤=⎢⎥-+-⎣⎦ 22201()()143Tf x J x a ax ax x ⎡⎤∂==⎢⎥----∂⎣⎦取P I =222222222()()()0101143143000286T Q x J x J x a ax ax a ax ax a ax ax -=+-⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-------⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥---⎣⎦很明显，()Q x 的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。

选取Lyapunov函数为2212()0V x x x =+>，则112221221222222()2222((1))2(1)0V x x xx x x x x x a x x a x x ∙=+=+--+=-+<()V x ∙是负定的。

x →∞，有()V x →∞。

即系统在原点处大范围渐近稳定。

4-9设非线性方程：123212xx xx x ==--试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。

解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：2312()x f x x x ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦2101()()31T f x J x x x ⎡⎤∂==⎢⎥--∂⎣⎦23232212212312()()()()Tx V x f x f x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤==--+=+--⎢⎥⎣⎦--⎣⎦x →∞，有()V x →∞。

取P I =21212121()()()01033111013132T Q x J x J x x x x x -=+⎡⎤-⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤-=⎢⎥--⎣⎦则2121013()132x Q x x ⎡⎤-+=⎢⎥-+⎣⎦ ，根据希尔维斯特判据，有： 2221121210310310132x x x -∆=∆==->-+，（），()Q x 的符号无法判断。

（2）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov 函数为421233()042V x x x =+>，则 31122331221222()3333()30V x x xx x x x x x x x ∙=+=+--=-<()V x ∙是负定的。

x →∞，有()V x →∞。

即系统在原点处大范围渐近稳定。

4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数2111222-2-xx x x x x ⎧=+⎨=⎩解：假设()V x 的梯度为：11112212112222a x a x V V a x a x V +∇⎛⎫⎛⎫∇== ⎪ ⎪+∇⎝⎭⎝⎭计算()V x 的导数为：()()2112111122211222222223111122112222121211122()()22T x x x V x V x a x a x a x a x x a x a a x x a x a x x a x x ∙⎛⎫-+=∇=++ ⎪-⎝⎭=--+-++选择参数，试选112212211,0a a a a ====，于是得：12x V x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭，显然满足旋度方程12122121,0V V x xx x x x ∂∇∂∇∂∂===∂∂∂∂即，表明上述选择的参数是允许的。

则有：221212()(12)V x x x x x ∙=---如果121211202x x x x -><或，则()V x ∙是负定的，因此，1212x x <是12x x 和的约束条件。

计算得到()V x 为：12211(0)()11222212()1()2x x x x x V x x dx x dx x x ===+=+⎰⎰()V x 是正定的，因此在121211202x x x x -><即范围内，0e x =是渐进稳定的。