对于非线性系统，方程f(xe，t) = 0的解可能有多个，
即可能有多个平衡状态.
例4.1 x1 x1 x2 x1 x2 x23
x1 0
x1
x2
x23
0
因此该系统有三个平衡状态
0 xe1 0
0
xe2
1
0 xe3 1
在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用 ‖x‖表示，则：
S( )
x1
x
若平衡状态xe是稳定的，即当t无限增大时，状态轨迹不超
过 ，s(且 最) 终收敛于xe，则称平衡状态xe渐近稳定。
3.大范围渐近稳定
x f (x,t)
在整个状态空间中，对所有初始状态x0出发的轨迹都 具有渐近稳定，则系统的平衡状态xe是大范围渐近稳定的 。
注： （1）由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收 敛于xe，因此系统只能有一个平衡状态，这也是大 范围渐近稳定的必要条件。
3、二次型标量函数v(x)的定号性判据
（1）v(x)正定的充要条件是：P阵的所有各阶主子行
列式均大于零，即
1 p11 0,
2
p11 p21
p12 0, p22
,
p11 n
pn1
p1n 0
pnn
（2）v(x)负定的充要条件是：P阵的各阶主子式满足
（2）对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只 有一个唯一的平衡状态xe = 0。所以若线性定常系 统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。
（3）对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡 点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定 。
4. 不稳定
如果对于某个实数ε> 0和任一实数δ> 0，在球 域S(δ)内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始 状态出发的轨迹最终将超出球域S(ε)，则称该平衡 状态是不稳定的。
(s 1)(s 1)
输出的渐近稳定 状态的渐近稳定
输出稳定
一、基本思想
如果一个系统被激励后，其存储的能量随时间增长 而连续地减小，一直到平衡状态时，系统的能量减少 到最小，则平衡状态是渐近稳定的。
1、二次型标量函数v(x) 标量函数的各项最高次数不超过2次
v( x) xT Px x1 x2
4.1 李雅普诺夫稳定性定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
稳定性是指系统在平衡状态受到扰动后，系统自 由运动的性质。
对于线性定常系统，通常只存在唯一一个平衡状 态，因此将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。
对于其它系统，平衡点不止一个，系统中不同的 平衡点有着不同的稳定性，只能讨论某一平衡状态的 稳定性。
二次型函数v(x)和它的二次型 矩阵 P是一一对应的。 设二次型函数v(x) = xTPx，P为实对称矩阵，则定义如
下：
当v(x)是正定的，称P是正定的，记为P > 0； 当v(x)是负定的，称P是负定的，记为P < 0； 当v(x)是正半定的，称P是正半定的，记为P 0； 当v(x)是负半定的，称P是负半定的，记为P 0。
输出稳定的充要条件是其传递函数 G(s)=c(sI-A)-1b
的极点全部位于s的左半平面。
例4-2：设系统的状态空间表达式为
1 0 1
x
0
1 x 1 u
y 1 0 x
解:
特征根 det(I A) ( 1)( 1)
状态不是渐近稳定.
系统传递函数 w(s) C(sI A)1 B (s 1)
渐近稳定的系统则称为临界稳定系统。
利用系统的特征值或微分方程及状态方程解的性 质来判断系统的稳定性。
它适用于线性定常系统、线性时变系统及非线性 系统可以线性化的情况。
一、线性定常系统的稳定判据
1. 线性定常系统 线性定常系统，平衡状态渐近稳定的充要条
件是A的特征值均具有负实部，即 Re(i) < 0（ i = 1，2，…，n）
1 0
x
T
0
2
0
0
0
0
x
n
i xi2
i1`
n
只包含变量的平方项，称为二次型函数标准形。
2、二次型标量函数v(x)的定号性
当x =0时，v(x)=0； 当x ≠0时，
如果v(x)>0 ，那么v(x)为正定； 如果v(x)≥0 ，那么v(x)为正半定； 如果v(x)<0 ，那么v(x)为负定； 如果v(x)≤0 ，那么v(x)为半负定；
n
pij xi x j i, j 1
p11
xn
p21
pn1
p12 p22
pn2
p1n x1
p2
n

x2
pnn
xn
P称为二次型矩阵。
若P为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T,使得：
v(x) xTPx xTT T PTx x T (T 1PT )x x T Px
1
x x12 x22 xn2 ( xT x)2
向量（x xe）范数可写成：
x xe (x1 xe1 )2 (xn xen )2
表示矢量x与平衡状态xe的距离
1. 稳定
从任意初始状态x0出发所对应的解x，满足
x xe t0 t
则称平衡状态xe是稳定的。 若与t0无关，则称平衡状态xe是一致稳定的。
总结：
球域S(δ)限制初始状态x0取值，球域S(ε)规定了系统状态轨迹 的边界。因此，
（1）如果x(t)有界，则xe稳定；
（2）如果x(t)有界且lim t
x xe
，则xe渐近稳定；
（3）如果x(t)无界，则xe不稳定；
（4）经典控制理论中，只有渐近稳定的系统才称为
稳定系统；只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是
2. 渐近稳定
x f ( x,t)
若对任意给定的实数 >0，总存在 (, t0)>0，使得
‖x0xe‖ ( , t0)的任意初始状态x0所对应的解x，在所有时
间内都满足
‖x xe‖ （t t0）
且对于任意小μ>0，总有
lim
t
x xe
则称平衡状态xe是渐近稳定的。
x2
S( )
xe x0
令u = 0，系统的状态方程为
x f ( x, t), x Rn
x(t0) = x0
若对所有的t，状态x满足 x 0 ，则称该状态x为平衡
状态，记为xe。
f(xe，t）= 0
由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
对于线性定常系统，其状态方程为
x Ax
系统的平衡状态应满足Axe = 0 当A为非奇异，则存在唯一一个平衡状态xe = 0。 当A为奇异，则有无穷多个平衡状态。