三 晶体的宏观对称要素和对 称操作
对称操作: 对称操作（变换）
就指能够使对称物体中的各个相同 部分作有规律重复的变换动作。
如：旋转、反映、反伸、旋转反 伸等。
对称要素:
对称要素就是指在进行对称操作 时所凭借的几何要素。
所凭借的点、线和面被分别称为 对称中心（C）、对称轴（Ln）和对 称面（P）。
晶体对称 的有限性 所决定
3.对称中心（C）
对称中心为一假想 的点，相对应的对称操 作是对于此点反向延 伸 ，通过此点，等距 离两端必能找到相对应 的点 。
在晶体中可以 没有对称中心，若 有则只能有1个， 出现在晶体的中心。
规律
若晶体具有对称中心，其相应 的晶面、晶棱、角顶都体现反向平 行。其晶面必然都是两两平行而且 相等的，这一点可以用来作为判别 晶体有无对称中心的依据。
※其辅助的对称操作有2个※ 旋转+反伸
Li1=C Li2=P Li3=L3+C Li4 Li6=L3+P⊥
各种旋转反伸轴的图解
5.旋转反映轴(映转轴)（Lsn）
旋转反映轴为一假想的直线和垂直 此直线的一个平面 ，相对应的对称操 作是围绕此直线的旋转后对对垂直此直 线上的一个平面的反映的复合操作，操 作后可使图形相等的部分重复。
当n为偶数时，例：Li42 L22P；L i63 L23P 当n为奇数时，例：L i33 L23P＝L33L2 3PC
定理4逆定理：如果有一个L2与一个 P斜交，则P的法线与L2的交角为δ，则 平行于P且垂直于L2的直线必为一Lin， n＝360°/ 2δ。
定理5(欧拉定理,对称轴之间的组合)
两个对称轴的适当组合将产生第三 个对称轴
同一单形的晶面特征（3）
对实际晶体而言,同一单 形的晶面的其它性质（如硬 度、解理的发育等等）以及 晶面花纹、蚀象等也都相同。
由单形概念得出的推论①
以单形中任意一个晶面为原始晶面,通 过对称型中全部对称要素的作用,一定会 导出该单形的全部晶面。即:不同对称型 可以导出不同的单形。
如：以立方体任意一个晶面为原始 晶面,通过3L44L36L29PC中全部对称要素 的作用,能导出立方体的全部晶面。
定理4（ P和Lin的组合,倒转面式组合）
如果有1个L2垂直于n次旋转反伸轴Lin，或 有一个P包含n次旋转反伸轴Lin时，则当n为奇 数时，必有n个共点的L2垂直此Lin和n个P同时 包含此Lin；当n为偶数时，必有n/2个共点的 L2垂直此Lin和n/2个P同时包含此Lin。
Lin × P(‖) = Lin × L2（⊥）→ Linn L2 n P 或 Lin n / 2 L2 n / 2 P
个L2同时垂直此Ln; ②相邻两个L2的夹角 为Ln的基转角的一半。
Ln × L2（⊥）→ Ln n L2 例：3L2、L33L2、L44L2、L66L2
逆定理：如果两个L2相交,在交点上并垂 直两个L2必产生一个Ln，其基转角是两个 L2夹角的2倍,并导出其他n个在垂直Ln平面 内的L2。
定理2 ( P、 Ln和C的组合,中心式组合) 如果有一个对称面P垂直偶次对称轴Ln（n为偶
各种旋转反映轴的图解
四 对称要素的组合
在结晶多面体中，当几种对称要素 同时存在时，任意两种对称要素的组合 必定要导出第三种对称要素。其作用等 于前两种对称要素作用之和。但对称要 素的组合不是任意的, 必须符合对称要 素的组合规律。
定理1（ L2和Ln的组合,轴式组合） 如 果 一 个 L2 垂 直 于 Ln 时 ， 则 ① 必 有 n
第四章 单形和聚形
一 单形
(一)单形概念 它是由对称要素所联系的一组晶面的组合。
即：单形是一个晶体上能够由该晶体 的所有对称要素操作而使它们相互重复的 一组晶面。
如：四方柱、立方体等通过对称要素 操作，单形上的所有晶面能够相互重复。
同一单形的晶面特征（1）
同一单形的 所有晶面在理 想情况下同形、 等大。
L1无实际意义，高于2次的对称轴称为 高次轴（L3、L4、L6）
轴次（n）:旋转一周重复的次数； 基转角（α）:重复时所旋转的
最小角度。 n = 360°/α
对称轴的分布
通过晶棱中点且垂直该晶棱的直线——L2; 通过晶面中心且垂直该晶面的直线——L4; 通过角顶的直线——L3
晶体的对称定律：晶体中只能出现轴 次为1、2、3、4、6的对称轴，而不 能出现5次或高于6次的对称轴。
3 与四次轴垂直,与位2成45°角(a+b）
1 x轴方向(a)
斜方晶系
2
y轴方向(b)
3 c轴方向(c)
单斜晶系
1
y轴方向(b)
三斜晶系
1
任意方向
低级晶族晶体的对称分类
中级晶族晶体的对称分类
高级晶族晶体的对称分类
八.对称型的圣弗利斯符号
Schoenflies早期根据对称要素组合
的规律创立的符号。 Cn表示Ln，如C1、C2、C3、C4、C6 h表示水平，v表示直立；如C2h ，C6v Dn表示Ln × L2（⊥）组合，如D3，D3h i表示反伸；s表示反映；V代表D2， T代表3L24L3；O代表3L44L36L2等
五 32个对称型(点群)及其推导
1.对称型的概念
晶体形态中，全部对称要素的组 合称为该晶体的对称型。
由于全部对称要素都通过一点(几 何点)，进行对称操作时该点不移动， 因此对称型也称为点群。
2.32种对称型
由于晶体对称要素的有限性， 对称要素组合的有规律性，因此， 晶体中的对称型也是有限的。这种 有限性表现在实际晶体中只有32种 对称型（赫赛尔 Hessel，1830）。
定理3（ P和Ln的组合,面式组合） 如果有一个对称面（P）包含一个对称
轴Ln，则①必有n个P同时包含此Ln；② 相邻两个P的夹角为Ln的基转角的一半。
Ln × P(‖) → Ln n P 例：L22P、L33P、L44P、L66P 逆定理：如果有两个对称面相交，则 P的交线必为一个Ln，其基转角等于相邻 两个P的夹角的2倍，并导出其他n个包含 Ln的P。
同一单形的晶面特征（2）
同一单形的各晶面与相同对称要素间的 取向关系（平行、垂直、某一角度相交） 相互一致。 相同对称要素：借助其它对称要素，相 同对称要素间可以重复。
如：L44L25PC中的两种L2（分别指穿 过面中心和棱中点的）不是相同对称要 素。3L44L36L29PC中的3L4则是相同对称 要素。
3.各晶族的单形
⑴.低级晶族的单形（7种）
单面、平行双面、双面、斜方柱、斜方锥、 斜方双锥、斜方四面体。
注意：通过斜方柱、斜方锥、斜方双锥、斜 方四面体中心的横切面为菱形。
⑵.中级晶族的单形（25种）
B类对称型——推导从略
共有5种： 原始式 3L24L3
中心式 3L24L33PC 轴 式 3L24L36L2 面 式 3Li44L36P 面轴式 3L44L36L29PC
4.对称型的符号
习惯符号:（全面符号）以对称要 素总和的形式来代表对称型。
如：3L23PC 这种表示方法可以使全部对称要素一 目了然，但它不能反映出各对称要素间 的组合关系。 国际符号和圣利斯符号祥见后
数），则在其交点存在对称中心C。 Ln × C = Ln ×P（⊥）→ LnPC （n为偶数） 例：L2PC、L4PC、L6PC 逆定理：如果有一个偶次对称轴L2n与对称中
心共存，则通过C且垂直该对称轴必有一对称面P。 或如果有一个对称面P与对称中心C共存，则过C 且垂直P必有一个L2（这个L2可能包含在其他偶次 轴中而不独立出现）。
六 晶体的对称分类
晶类：属于同一对称性（点群）的晶体 为一晶类。
晶体的对称分类
根据晶体的对称特点，可以将其 划分为三个晶族（根据是否有高次 轴或高次轴的多少来划分）、七个 晶系（在晶族中，根据对称型的特 点来划分晶系）。
各晶族、晶系晶体对称的特点
晶族 晶族特点 高级晶族 多个高次轴
晶系 等轴晶系
由单形概念得出的推论②
在同一对称型中，由于晶面与对 称要素之间的位置不同，可以导 出不同的单形。
如：在3L44L36L29PC中，如果晶 面和L4垂直→立方体、晶面和L3垂直 →八面体、晶面和L2垂直→菱形十二 面体。
属于同一对称型的晶体，其晶面在 空间上的位置不同时，导致晶面外形上 的差异，即：同一对称型中可以出现不 同的几何形态。
等轴晶系
2
三次轴方向(a+b+c)
3 x、y或x、z或y、z轴之间(a+b)
三方及六
1
六次或三次轴，即z轴方向(c)
方晶系
2 与六次或三次轴垂直,在x或y或u轴方向上(a)
3 与六次或三次轴垂直,与位2的方向成30°角(2a+b)
1 四次轴,即z轴方向(c)
四方晶系
2
与四次轴垂直,在x或y轴方向(a)
第三章 晶体的宏观对称
一 对称的概念
对称就是物体（或图形）中，
其相同部分之间的有规律的重复.
例：蝴蝶、 花冠、建筑物、面容、雪花
各
各
种
种Hale Waihona Puke 各各样样
的
的
对
对
称
称
二 晶体对称的特点
晶体的对称表现为晶 面、晶棱、角顶作有规 律的重复——宏观对称。
晶体的对称性是 由晶体的格子构造所 决定的，研究晶体的 对称性对于认识晶体 的各项性质和晶体分 类具有重要意义。
3.32种对称型的推导
32种对称型可以分成A类（27种） 和B类（5种）。
A、B类对称型都可以用投影的方式 表达（推导）出来。32种对称型要 求重点掌握的对称型有11种。
A类对称型的推导
原始式: L1、L2、L3、L4、L6