钻石常见晶形
(立方体、八面体)
绿柱石常见晶形 (六方柱)
电气石常见晶形 复三方柱
石榴石常见晶形 四角三八面体
对称操作（对称变换）：借助某种几何要素，
能使物体（或对称图形）恢复原状所施行的 某种规律的动作，就称为“对称操作”。如
旋转、反映（镜面对称）、反演（中心对称）
等。
对称元素（对称要素）：对物体（或图形）
3）旋转轴（国际符号n）：为一假想的直线，相 应的对称变换为围绕此直线的旋转：每转过一定 角度，各个相同部分就发生一次重复。 整个物体复原需要的最小转角则称为基转角 （用a表示）； n为轴次，n=360 °/ a 。 晶体对称定律：在晶体中，只可能出现轴次为 一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不 可能存在五次及高于六次的对称轴。 国际符号：1，2，3，4，6
群的定义：
若有一个元素的集合G＝（E，A，B，……）满 足以下条件，则称该集合G构成一个群。
（1）封闭性； （2）G中有单位元E； （3）逆元素；
（4）结合律 A（BC）＝（AB）C
若干个点对称操作Oi（又称对称元素，注意 与对称性区别）的组合C（集合），满足：
（1）封闭性：Oj Oi C = Oj (Oi C) = Oj C； （2）单位元：全同操作1； （3）逆元：Oi-1 C = Oi-1 Oi C = 1 C = C；
进行对称操作所凭借的几何元素。如旋转轴、 反映面、反演中心 有旋转轴、反映 面、反演中心的 格点分布图
仅仅从“有限的晶体图形”（宏观晶体）的
外观上的对称点、线或面，对其所施行的对称操
作，即称“宏观对称操作”；这时所借助参考的
几何元素，即称“宏观对称元素”。 从晶体内部空间格子中相应“格点”的对称 性进行考查而施行的对称操作，则称为“微观对 称操作”；而借以动作的“几何要素”即称为
组合的两条限制：对于宏观对称元素而言，这
些元素组合时必受以下两条的限制： (1)晶体多面体外形是有限图形，故对称元素组合时必 通过质心，即通过一个公共点。 (2)任何对称元素组合的结果不允许产生与点阵结构不
相容的对称元素，如5 、7…。
组合程序：
组合时先进行对称轴与对称轴的组合，再在此基础 上进行对称轴与对称面的组合，最后为对称轴、对 称面与对称中心的组合。
a=bc
中 六 方
23

c6h
D6
c3h c6v
D 3h D 6h
c6
6
6
6(3, m)
6
a = = 90 = 120

24
25 26 27 28
622
6 6 m
6, m, i
6,62
6mm
6m2 622 mmm
6,6m
6(3, m),32,4m
6,62,7m, i
T
Th
高
在立方 立 的体对 方 角线方 向
’)
定理五：如有一个二次旋转轴与垂直它的对称面
共同存在时，则二者之交点恒为对称中心。
证明：L2P L2// Li2 =0 a==180° cos(/2)=-1 =360 °
正轴和反轴相交，产生反轴
所以产生一个Li1（C）
推理一：偶次旋转轴和垂直它的对称面以
及对称中心，三者之中任意二者之组合必
16 17 18 19 20
a = =
c3 c3i
D3
3
3
3
3 2 3m
2 3m
3, i
3,32 3,3m 3,32,3m, i
3
120 90
六方晶胞
a =bc
a = = 90 = 120
c3v
D 3d
续表：
对称 性的 高低 晶 系 特征对 晶胞类型 称元素 序 号 21 22 点 群 对称元素 熊夫里 国际记号 斯记号
晶体的32个对称型（点群）
晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶 体形态的对称型或点群。一般来说，当强调对称 要素时称对称型，强调对称操作时称点群。 为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构 成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时 有一点不动，所以称为点群。
根据晶体中可能存在的对称要素及按照以上程序、限制 及组合定理进行组合，推导出晶体中可能出现的对称型 （点群）是非常有限的，仅有32个。
相应的对称变换就是围绕此直线旋转一定的角 度及对于此定点的反演。 象转轴的轴次n及基转角 a都与其所包含的旋转轴 相同（即n=360 °/ a ， a = 360 °/ n）。）
象转轴的复合构成及与其它基本对称元素间的关系
1=i
(x, y, z)
(-x, -y, -z)
2=m 2m
3= 3+i
43
a=b=c
29

23 43,32 2 43,32,3m, i m3
432 43,34,62
43m 2 4
a = = = 90
30
31 32
O Td Oh
43,34,6m
m 3 m 43,34,62,9m, i
根据晶胞类型的不同，即与其相对应的平 行六面体形状的差异，可将32点群分为7类， 即7个晶系。 七个晶系按照对称性的高低又可并归为三 个晶族，即：
c1 ci c2
1
m
1 2 m 2
2
i
m 2, m, i
32 2, 2
2
a = = = 90
a=bc
7 8 9 10
222 mm 2
m
D2h
中
四 方
4
a = = = 90 11
12
c4 s4
222 32, 3 m, i mmm 4 4
4 4 , m, i 422 4 , 4 2 4 4 m
cosu=cos=0
u= =90 ° OC垂直两二次反轴，即OC垂直两对 称面的法线OC平行于两对称面，OC是两对称面的交线
定理四：通过二次旋转轴与对称面之交点并垂直 于该二次旋转轴的对称面上的直线恒为一倒转轴， 后者之基转角等于该二次旋转轴与对称面交角之
余角的两倍。
证明：二次轴与对称面之交角可看作二次轴与二次反轴交 角之余角 a==180° =2 （L2与Li2的交角） ’=90 °- =2(90 °cosu=cos=0 u= =90 ° OC垂直两二次反轴OC平行于对称面
欧拉定理：通过两旋转轴的交点必能找到第三根 旋转轴，新轴的作用等于原两旋转轴的作用之积。 新轴之轴次，以及新轴与两原始旋转轴之夹角取 决于两原始轴的基转角及其夹角。
OA,OB为两个旋转轴， 基转角依次为a,， 它们之间的交角为。
如果把上述关系进一步应用球面三角原理进行 分析计算，就可以得出如下一系列定量关系：
对称轴的种类
名 称 国际 符号 1 2 3 4 6 基 转 角（a） 轴 次（n）作图符号
一次对称 二次对称 三次对称 四次对称 六次对称
360 ° 180 ° 120 ° 90 ° 60 °
1 2 3 4 6
4）象转轴（国际符号：n ）：亦称旋转反伸轴， 又称反轴或反演轴等，是一种复合的对称元素。 它的辅助几何要素有两个：一根假想的直线和此 直线上的一个定点。
a，分别为OA,OB的基转角 为OA,OB的交角 OC的基转角为 OC与OA,OB之间交角为和u
欧拉定理适用范围：
两正轴组合产生正轴 两反轴组合产生正轴
一个正轴与一个反轴组合产生反轴
定理二：通过两个二次旋转轴的交点并与它们垂
直的直线恒为一旋转轴，后者之基转角为该两个
二次旋转轴交角之两倍。
“微观操作称元素”。
总体来说，对称操作（包括宏观和微观在
内），经研究得知，总共只有七种独立的形式。
一、宏观对称元素
1）反演中心或对称中心（国际符号i）：为一假想
的几何点，相应的对称变换是对于这个点的反演
（倒反，反伸）。
F1 1 C 2 F2
2）反映面或对称面（国际符号m）：为一假想的 平面，相应的对称操作为对此平面的反映。
3 // 3
Li4
象转轴中仅有4次象转轴是独立的基本对称元素
6= 3+m 3 // 6, m 3
总结：描述晶体宏观对称性的对称操作所凭借的 独立对称元素只有：1，2，3，4，6；i,m, 4
共八个
宏观晶体对称要素
二、晶体宏观对称元素的组合
晶体的独立的宏观对称元素只有八种，但在某一晶 体中可以只存在一个独立的宏观对称元素，也可能 有由一种或几种对称元素按照组合程序及组合定律 进行合理组合的形式存在。
产生第三者。
推理二：当有对称中心存在时，偶次旋转 轴的个数之和必等于对称面的个数之和， 且每一个偶次旋转轴，各自垂直于一个对 称面。
三，结晶多面体中对称要素组合的所有可能的情况
两性质相同的n次轴组合时的轴间夹角
sin(/2)=cos(n/2)• sin(an/2)
任意两轴组合时之轴间夹角
sin(n /2)=cos(90°-)• sin(am/2) sin= sin(n /2)/ sin(am/2)
对称 晶 性的 高低 系 三 斜 单
特征对 晶胞类型
点
群 对称元素
称元素
无
序 熊夫里 国际记号 号 斯记号 1 2 3 4 5 6

abc
a 90
abc
2 或m
斜 低 正 两个互相垂 直的m或三 交 个互相垂的
a = = 90
abc
cs c2h
D2
D2v
c4h
D4
对称 晶 性的 高低 系 四 方
特征对 晶胞类型 称元素 序 号 13 14
点 熊夫里 斯记号
群 国际记号 对称元素
4
a=bc