2 n
表1 描述晶体宏观对称性与分子对称性时常用 对称元素及与其相应的对称操作对照表
除了对称元素和对称操作的符号和名称的不完全相同外，晶 体的宏观对称性与有限分子的对称性最本质的区别是：晶体的点 阵结构使晶体的宏观对称性受到了限制，这种限制主要表现在两 方面： 在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴(包括旋转轴、反轴 以及以后介绍的螺旋轴)都必与一组直线点阵平行，与一组 平面点阵垂直(除一重轴外)；任何对称面(包括镜面及微观对 称元素中的滑移面)都必与一组平面点阵平行，而与一组直 线点阵垂直。 晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不是 可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中，任何 对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、四 重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴次， 这一原理称为“晶体的对称性定律”。 所以，综合前面的讨论，由于点阵结构的限制，晶体中实际 存在的独立的宏观对称元素总共只有八种，见表2：
点
群 对称元素
称元素
无
序 熊夫里 国际记号 号 斯记号 1 2 3 4 5
abc
90
abc
斜
90
abc
cs c2 h
D2
D 2v
c1 ci c2
1
m
1 2 m 2
2
i
m 2, m, i
32 2, 2
低
正 两个互相垂 直的m或三 交 个互相垂的
组合程序： 组合时先进行对称轴与对称轴的组合，再在此基础上进行 对称轴与对称面的组合，最后为对称轴、对称面与对称中心 的组合。 按照以上程序及限制进行组合，我们可以得到的对称元 素系共32种，即32个点群：
表3 7个晶系的划分和32晶体学点群
对称 晶 性的 高低 系 三 斜 单
2 或m
特征对 晶胞类型
6

2
90
abc
7 8 9
222 mm 2
m
D 2h
中
四 方
4
10
90 11
12
c4 s4
222 32, 3 m, i mmm 4 4
4 4 4 4 , m, i m 422 4 , 4 2
c4 h
D4
续表：
对称 晶 性的 高低 系 四 方 特征对 晶胞类型 称元素 序 号 13 14 15 点 熊夫里 斯记号 群 国际记号 对称元素
L(60 )
L(90 ) I
4
表2 晶体中的宏观对称元素
注： 因为1 : L(0 ) I I；2 : L(180 ) I M ； 3 : 3 3 i ； 6 3 m ，所以 均未单独列入表中，而 4 4 i ，所以只有 4 是独立存在的， 不能用其它对称元素组合的方式代替，故单独列入。
说明：
1 : L(0 ) I I
2 : L(180 ) I M
i;
m;
3:
E
L(120 ) I ;
3
L(120 ) I ; L(120 ) I L(240 ) I ;
5
L(120 )I L(240 ); L(120 ) I L(120 );
对称元素
对称中心
反映面(镜面) 一重旋转轴
国际符号
对称操作
倒反
反映 旋转
等同元素或组合成分
1
i
m
1
I M
L(0 ) L(180 ) L(120 ) L(90 )
3 i 3
2
二重旋转轴
三重旋转轴 四重旋转轴 六重旋转轴 四重反轴
2 3 4 6
旋转
旋转 旋转 旋转 旋转倒反
3 m 6
120 90
六方晶胞
abc
90 120
c3v
D 3d
3m
2 3m
续表：
对称 性的 高低 晶 系 特征对 晶胞类型 称元素 序 号 点 群 对称元素 熊夫里 国际记号 斯记号
21
22
abc
中
六 方
23

c6h
D6
c3h c6v
D 3h D 6h
c6
6
6
6(3, m)
6
90 120

24 25 26 27 28
ˆn c ˆn ˆh s
在晶体中反轴 n 对应的操作是先绕(轴)线旋转α度，然后 再通过线上(中心)点进行倒反(或先倒反再旋转)，即能产生等 价图形。这种连续性操作的符号为 “ L( ) I ”, 其中“ ”为 倒反 ” 为旋转. L( ), “ n 与Sn都属于复合对称操作，且都由旋转与另一 由此可知， 相连的操作组合而成。
晶体的宏观对称元素
晶体的对称性 与有限分子的对称性一样也是点对称，具有 点群的性质，如都有对称轴、对称面、对称中心等对称元素。 但是，由于习惯的原因，讨论晶体对称性时所用的对称元 素和对称操作的符号和名称与讨论分子对称性时不完全相同， 具体对比见表1： 从表中我们发现 晶体学中我们常用反轴而不用象转轴。 在分子点群中有象转轴 sn , 其对称操作是旋转反映，即：
4
abc
c4 v
D 2d D 4h
4 mm
4,4m
90
菱面体晶胞
4 2m 4,22,2m 422 mmm 4,42,5m, i
abc
中 三 方
16
17 18 19 20

c3 c3i
D3
3
3
3
3 2
3, i
3,32 3,3m 3,32,3m, i
3
I
分子对称性
对称元素及符号 对称操作及符号
晶体宏观对称性
对称元素及符号 对称操作及符号
对称轴
对称面
cn

旋转
反映
ˆn c
旋转轴
n 旋转
L( )
实 操 作
ˆ
ˆ i
反映面或镜面 m 反映
M
I
虚
对称中心 i
象转轴
反演
旋轴反映
对称中心
反轴
i 倒反
操
作
sn
ˆn s
n 旋转倒反 L( ) I
以上 为基转角.

2


4

3 3 i
同理
6 3 m
但是
4 4i
这说明在反轴中，只有4 是独立的。
晶体宏观对称元素的组合
晶体的独立的宏观对称元素只有八种，但在某一晶体中 可以只存在一个独立的宏观对称元素，也可能有由一种或几 种对称元素按照组合程序及其规律进行合理组合的形式存在。
两பைடு நூலகம்限制：
对于宏观对称元素而言，这些元素组合时必受以下两条的限制： (1)晶体多面体外形是有限图形，故对称元素组合时必通过质心， 即通过一个公共点。 (2)任何对称元素组合的结果不允许产生与点阵结构不相容的对 称元素，如5、7、…。