第七章 向量代数与空间解析几何（一） 空间直角坐标系、向量及其线性运算一、判断题1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。
（ ） 2． 任何向量都有确定的方向。
（ ） 3． 任二向量,=.则a =b 同向。
( ) 4． 若二向量,+,则,同向。
（ ） 5． 若+=+,则= ( ) 6． 向量b a ,b a ,同向。
（ ）7．若={z y x a a a ,,}，则平行于向量的单位向量为||a a x a ||a z }。
（ ）8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。
( ） 二、填空题1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。
4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量与方向相反，且||2||a b =，则由表示为= 。
6．，与轴l 的夹角为6π，则al prj =7． 已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。
以及它的对角线交点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为 ，则顶点D 的坐标为 。
8． 设向量与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =ο60，β=ο120。
则γ= 9． 设a 的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，a 垂直于 坐标面。
三、选择题1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ）225)3(+-（C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC、2121-21--2121-,⊥b++-+<-+>-yoz2AOB∠42222)(b a b a ⋅=⋅a ϖb a ϖϖ⋅2a b ϖ⋅a ϖ⨯b ωc a ρρ⨯0ϖϖ≠a c b ϖϖ=b a ϖϖ=baϖϖ⨯222b b a a +⋅+ϖϖa b b a ϖϖϖρ⨯=⨯c b a ϖϖϖ、、a c b c b a ϖϖϖϖϖϖ⨯=⨯=,c b a ϖϖϖ、、ba ϖϖ,111,,γβα222,,γβαba ∧(212121cos cos cos cos cos cos γγββαα++)(b a ϖ∧3π,8,5==b a ϖϖb a ϖϖ-24,19,13=+==b a b a ϖϖρϖa b -vv 32)(π=∧b ϖ2,1==b a ϖϖa b ⨯vv 72,26,3=⨯==b a b a ϖϖϖϖb a ϖϖ⋅}1,2,2{},4,3,4{=-=b a ϖϖa }4,6,4{},2,3,2{--=-=b a ϖϖ)(b ϖ∧b a ϖϖ,λb a P ϖϖϖ5+=λb a Q ϖϖϖ-=3MNP ∠π43π2π4π2a =0=⋅b a ϖϖ0ϖϖ=a 0ϖϖ=b c a b a c b a ϖϖϖϖϖϖϖ-=-)(0ϖϖ≠a c a b a ϖϖϖϖ=cb ϖϖ=}.4,4,1{},2,3,{-==b x a ϖϖba ϖϖ//}1,3,1{1},1,1,2{-=-=b a ϖϖba ϖϖ、}2,1,2{}3,2,1{}1,3,2{=-=-=cb a ϖϖϖ、、dϖba ϖϖ,.14d c ϖϖ，求向量上的投影是312123a a ab b b ==2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++=++∆..a C B c A B ϖϖϖϖ==c a c a SABDρϖϖϖ⨯⋅=∆l l πππ⊥πππθ2ππππ5πd22212C B A D D ++-51232-==-z y x {7421253=+--=-+z y x z y x 13241zy x =+=-300{x y z x y z ++=--={1240322=+--=+-+z y x z y x 233211+=+=-z y x 10101zy x =-=+{04404=--=--y x z x ⎪⎩⎪⎨⎧==+=4321z t y tx {7272=-+=++-z y x z y x{836302=-+=--z y x z y x ⊥37423z y x =-+=-+ππt z t y t x =+=+=,12,1112112-=+=-z y x 332(1,1,1)1L zy x 236==2L 431221-=-=-z y x 32121-=-=+z y x 225235-+==-z y x 03221111=--+-=-=-z y x z y x ：与平面π求证Ｌ与π相交，并求交点坐标（２）. 求Ｌ与π交角。
（３）. 通过Ｌ与π交点且与Ｌ垂直的平面方程。
（４）. 通过Ｌ且与π垂直的平面方程。
（５）.Ｌ在π上的投影直线方程。
（五）空间曲线及其方程一、填空题１．方程组{1532+=-=x y x y 在平面解析几何中表示 ，在空间解析几何表示 。
２．曲面x 2+y 2-92z =0与平面z=3的交线圆的方程是 ，其圆心坐标是 ，圆的半径为 。
３．曲线222221(1)(1)1x y x y z ⎧+=⎨+-+-=⎩在ＹＯＺ面上的投影曲线为 。
４．螺旋线x=acos θ,y=asin θ,z=b θ在ＹＯＺ面上的投影曲线为 。
５．上半锥面Ｚ＝22y x +（０1≤≤z ）在ＸＯＹ面上的投影为 ，在ＸＯＺ面上的投影为 ，在ＹＯＺ面上的投影为 。
6． 曲线2121x t y t z t =+⎧⎪=⎨⎪=+⎩的一般式方程为 。
二、 选择题１．方程{19422=+=yx zy 在空间解析几何中表示 。
（Ａ）、椭圆柱面 （Ｂ）、椭圆曲线 （Ｃ）、两个平行平面 （Ｄ）、两条平行直线２．已知曲线{2222=++=++z y x az y x 在ＹＯＺ坐标面上的投影曲线为{122=++=z y yz x ，则a ＝ 。
（Ａ）、－１ （Ｂ）、０ （Ｃ）、１ （Ｄ）、２ ４．参数方程⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 的一般方程是 。
（Ａ）、x 2+y 2=a 2(B)、x=acos b z (C)、y=asin b z (D)、cos sin {zx a b z y a b== 三、化曲线2229{y xy x z ++==为参数方程。
（六） 曲面及其方程一、填空题1．以原点为球心，且过点Ｐ（１，１，１）的球面方程是 。
2．设球面的方程为x 2+y 2+z 2-2x-4y+2z=0，则该球面的球心坐标是 ，球面的 半径 为 。
3．将zox 面上的抛物线z 2=5x,绕ox 轴旋转而成的曲面方程是 。
4．圆锥为x 2+y 2=3z 2的半顶角α＝ 。
5．方程y 2=z 表示的曲面是平行与 轴的 柱面。
6．方程y=x+1在平面解析几何中表示 ，而在空间解析几何中表示 。
7．抛物面Z=x 2+y 2与平面y+z=1的交线在XOY 面上的投影曲线方程是 。
8．当k= 时，平面x = k 与曲面1494222=-+z y x 的交线是一对相交直线。
9．圆{253222=++=z y x x 的圆心坐标为 ，半径为 。
二、选择题１．设球面的方程是x 2+y 2+z 2+Ｄx+Ey+Fz+G=0,若该球面与三个坐标系都相切，则方程 的系数应满足条件 。
（Ａ）、Ｄ＝Ｅ＝Ｆ＝０ （Ｂ）、Ｄ２+Ｅ２+Ｆ２＝６Ｇ （Ｃ）、Ｄ２+Ｅ２+Ｆ２+６Ｇ＝０ （Ｄ）Ｇ＝０２．XOZ 坐标面上的直线x=z-1 绕oz 轴旋转而成的圆锥面的方程是 。
（Ａ）x 2+y 2＝z-1 （Ｂ）2z ＝x 2+y 2+１ (Ｃ）2)1(-z = x 2+y2( D )2)1(+x =y 2+z 23．方程x=2在空间表示 。
（Ａ）、ＹＯＺ坐标面。
（Ｂ）、一个点。
（Ｃ）、一条直线。
（Ｄ）、与ＹＯＺ面平行的平面。
4．下列方程中 表示母线平行与oy 轴的双曲柱面。
（Ａ） x 2－y 2＝１ （Ｂ） x 2+z 2＝１ （Ｃ） x 2+z=1 (D) xz=1 5．方程y 2+z 2-4x+8=0 表示 。
(A)、单叶双曲面 （B ）、双叶双曲面 （C ）、锥面 （D ）、旋转抛物面6．二次曲面Z = 2222by a x +与平面y = h 相截其截痕是空间中的 。
（A ）、抛物线 （B ）、双曲线 （C ）、椭圆 （D ）、直线 7．双曲抛物面x 2-y 2=z 在XOZ 坐标面上的截痕是 。
（A ）、x 2=z (B)、⎩⎨⎧=-=02x z y （C ）、⎩⎨⎧==02y z x （D ）、⎩⎨⎧==-022z y x8．曲面x 2 + y 2 + z 2 = a 与x 2+y 2= 2 a z (a>0) 的交线是 。
（A ）、抛物线 （B ）、双曲线 （C ）、圆周 （D ）、椭圆9．旋转双叶双曲面1222222-=+-az b y a x 的旋转轴是 。
（A ）、OX 轴 （B ）、OY 轴 （C ）、OZ 轴 （D ）、直线⎩⎨⎧==0x zy三、已知两点Ａ（５，４，０）、Ｂ（－４，３，４）=的轨迹方程。
四、说明下列旋转曲面是怎样形成的。
１．Ｚ＝２（ x 2+y 2） 2. 4x 2+9y 2+9z 2=36五、证明：单叶双曲面03215416222=+-=-+z x z y x 与平面的交线在XOY 坐标面上的投影曲线是椭圆。
并求出该椭圆的中心和长、短半轴的大小。
六、画出下列方程表示的曲面。
１．4422y x z += ２。
64416222=-+z y x 3。
Y 2=2px (p>0)。