c
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法 1. 设计切换函数，使得所确定的滑动模态运动渐近 设计切换函数， 稳定且具有良好的动态品质。 稳定且具有良好的动态品质。 1) 二阶单输入系统（规范空间） 二阶单输入系统（规范空间） 线性切换函数为
& s = cx + x
(3以，只有 c > 0 时， 在切换面上的状态运动轨迹才会渐近趋向原点， 在切换面上的状态运动轨迹才会渐近趋向原点，即 保证了系统为渐近稳定。 保证了系统为渐近稳定。
【注】规范空间：以状态和状态变化率为坐标构成的空间 规范空间：
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法 值时， 而选择不同的 c 值时，切换面上的状态运动轨迹趋 向原点的速度是不同的， 越大， 向原点的速度是不同的， c 越大，对于相同的 x ， x 的变化率越大，从而趋近速度越快。 的变化率越大，从而趋近速度越快。 图3.4.1，切换函数的参数分别选取c = 0.8和 c = 1.7 ， 作出图示说明。 作出图示说明。 & x
3） （3）当系统同时存在外干扰和不确定性时
& x = Ax + ∆Ax + B + Df
(3.3.7)
若同时满足匹配条件式（ ），则 若同时满足匹配条件式（3.3.2）和（3.3.5），则 ） ）， 系统可化为 (3.3.8) % % & x = Ax + B(u + ∆Ax + Df ) 通过设计控制律实现同时对不确定性和外干扰的完 全补偿。 全补偿。
第3章 连续时间系统滑模变结构控制
3.1 滑动模态到达条件 滑动模态到达条件 3.2 等效控制及滑动模态运动方程 等效控制及 3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性 滑模变结构控制匹配条件 匹配条件及 3.4 滑模变结构控制器设计基本方法 滑模变结构控制器设计基本方法 3.5 基于比例切换的滑模变结构控制 基于比例切换的滑模变结构控制 3.6 基于趋近律的滑模变结构控制 基于趋近律的滑模变结构控制 3.7 基于准滑动模态的滑模变结构控制 基于准滑动模态的滑模变结构控制
% & x = Ax + B(u + Df )
(3.3.3)
% 其中有 BD = D，通过设计控制律 u 可实现对干扰的 完全补偿。 完全补偿。
条件式(3.3.2)称为干扰和系统的完全匹配条件。 称为干扰和系统的完全匹配条件。 条件式 称为干扰和系统的完全匹配条件 （2）当系统存在不确定性时 ）
& x = Ax + Bu + ∆Ax
取切换函数为
& s = ce + e
根据比例切换控制方法， 根据比例切换控制方法，取控制律为
& u = (α e + β e ) sgn( s )
(3.5.5) (3.5.6)
为大于零的常数。 其中 α 和 β 为大于零的常数。
3.6 基于趋近律的滑模变结构控制 系统运动包括趋近运动和滑动模态运动两个过程。 系统运动包括趋近运动和滑动模态运动两个过程。 根据滑模变结构控制原理， 根据滑模变结构控制原理，滑动模态到达条件仅保证 状态运动点由状态空间中任意初始位置在有限时间内 到达切换面， 到达切换面，而对于趋近运动的具体轨迹未做任何限 若采用趋近律的方法， 制，若采用趋近律的方法，则可以改善趋近运动的动 态品质。 态品质。 节中介绍了常见的几种趋近律。 在2.3.4节中介绍了常见的几种趋近律。 节中介绍了常见的几种趋近律 3.6.1 基于趋近律的调节系统 1. 控制器的设计 系统的状态方程如下： 系统的状态方程如下： & x = Ax + Bu
3.1 滑动模态到达条件 若系统初始状态点 x (0) 处在切换面 s ( x ) = 0 之外， 之外， 则要求系统的运动必须趋向切换面， 则要求系统的运动必须趋向切换面，且在有限时间内 到达切换面，即满足到达条件。否则， 到达切换面，即满足到达条件。否则，系统就无法启 动滑动模态运动。 动滑动模态运动。 & x 一般滑动模态的到达条件 到达条件为 一般滑动模态的到达条件为
& x = Ax + Bu + Df
(3.3.1)
表示系统所受的外干扰。 其中 f 表示系统所受的外干扰。 滑动模态运动不受干扰影响的充要条件为
rank ( B , D ) = rankB
(3.3.2)
3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性 假如式(3.3.2)满足，则系统可化为 满足， 假如式 满足
(3.3.4)
滑动模态与不确定性无关的充分必要条件为 (3.3.5) rank ( B,∆A ) = rankB 假如式(3.3.5)满足，则系统可化为 满足， 假如式 满足
3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性
% & x = Ax + B(u + ∆Ax )
(3.3.6)
% 其中有 B∆A = ∆A 。通过设计控制律可实现对不确定 性的完全补偿。 性的完全补偿。 条件式(3.3.5)称为不确定性和系统的完全匹配条件。 称为不确定性和系统的完全匹配条件 条件式 称为不确定性和系统的完全匹配条件。
(3.6.1)
3.6.1 基于趋近律的调节系统 采用趋近律的控制方式， 采用趋近律的控制方式，设切换函数为 从而
s = Cx
& & s = Cx = slaw
(3.6.2) (3.6.3)
其中slaw代表趋近律，例如，采用指数趋近律，则有 代表趋近律，例如，采用指数趋近律， 其中 代表趋近律
& slaw = s = −ε sgn s − ks
u = u0 sgn( s ( x ))
(3.4.5)
为待求常数。 其中 u 0 为待求常数。 2) 函数切换控制
u = ueq + u0 sgn( s ( x ))
(3.4.6)
这是以等效控制为基础的控制结构形式。 这是以等效控制为基础的控制结构形式。 3) 比例切换控制 k (3.4.7) u = ∑ψ i x i k<n
3.1 滑动模态到达条件 为了保证在有限时刻到达， 为了保证在有限时刻到达，避免渐近趋近的情况出 可对式(3.1.1)进行修正，取为 进行修正， 现。可对式 进行修正 & ss < −δ (3.1.3) 为任意小正数。 其中 δ 为任意小正数。 通常将式(3.1.1)表达成李雅普诺夫函数型到达条件 表达成李雅普诺夫函数型到达条件 通常将式 表达成
(3.4.3)
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法 通过Ackermann公式来求解其参数，具体方法如下： 公式来求解其参数，具体方法如下： 通过 公式来求解其参数
c = e T P( A)
(3.4.4)
−1
其中 e T = ( 0L 0 1) ( b AbL An−1b )
P ( A) = ( A − λ1 I )( A − λ2 I )L ( A − λn −1 I )
(3.5.3)
3.5 基于比例切换的滑模变结构控制 2. 控制器设计（以位置跟踪系统为例） 控制器设计（以位置跟踪系统为例） 设位置给定信号为 r ，将系统的位置误差 & 作为状态变量， 位置误差变化率 e 作为状态变量，即：
e = r − x1 & & e = r − x 2
e
和
(3.5.4)
(
)
(3.2.8)
为单位矩阵。 其中 I 为单位矩阵
3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性 不变性：实现滑动模态运动不依赖于外部扰动和参数 不变性： 摄动的性质，也可叫鲁棒性、自适应性。 摄动的性质，也可叫鲁棒性、自适应性。是滑模变结 构控制受到重视的最主要原因。 构控制受到重视的最主要原因。 对于线性系统， 对于线性系统，不变性的成立需满足滑动模态的 匹配条件。对于扰动和摄动的作用的不同情况， 匹配条件。对于扰动和摄动的作用的不同情况，分三 种情况予以讨论： 种情况予以讨论： （1）当系统受到外干扰时 ）
λ1 , λ 2 , L ,λ n −1 为期望选取的特征值。 为期望选取的特征值。
2. 设计控制律，使到达条件得到满足，从而在切 设计控制律，使到达条件得到满足， 换面上形成滑动模态区。 换面上形成滑动模态区。 下面给出几种常用的控制结构形式
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法 1) 常值切换控制（bang-bang控制） 常值切换控制（ 控制） 控制
x = f ( x, ueq , t ) & s( x ) = 0
x ∈ℜn , u ∈ℜ
(3.2.7)
将式(3.2.6)代入式 代入式(3.2.3) 可得线性系统的滑动模态 可得线性系统的滑动模态 将式 代入式 运动方程如下 运动方程如下： 如下
x = I − b ( cb )−1 c Ax & s ( x ) = cx = 0
x
& s2 = 0.8 x + x = 0
& s1 = 1.7 x + x = 0
图3.4.1
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法 2) 高阶单输入系统（一般状态空间） 高阶单输入系统（一般状态空间） 线性切换函数为 s ( x ) = c1 x1 + c2 x2 + L + cn −1 xn −1 + xn (3.4.2)
& & s = cx = c ( Ax + bueq ) = 0
ueq = − ( cb ) cAx
−1
(3.2.5)
则可解出等效控制 若矩阵 ( cb ) 满秩， 满秩， (3.2.6)
3.2.2 滑动模态运动方程 代入系统的状态方程式(3.2.1)， 将等效控制 ueq 代入系统的状态方程式 ， 可得系统滑动模态运动方程