u
=
⎧⎨⎩uu−+((xx))==[[−εε−−aa11xx11++((cc11−−aa22))xx22]]//bb, ,
s(x) > 0 s(x) < 0
对非线性系统通常求解方法
Ud通常是符号函数 34
滑模变结构控制的特点
（1）滑动模态运动具有完全自适应性。 不受系统摄动和外界扰动的影响。滑模变结构控制系统
A.滑动模态的概念
3
4
针对上面控制器，如果任意选择一种情况做系统设计的 控制规律，原系统都无法达到稳定。即原点要么是不稳定的 焦点，那么是不稳定的鞍点。
5
6
其结构改变的规律具有如下形式： 实例: 滑动模态的概念
7
8
9
B. 滑动模态变结构的定义 有了上述概念之后，可以给出大家公认的变结构控制系统
为满足滑模条件
u
=
⎧u ⎨ ⎩u
+ −
( (
x) x)
> <
[−a1x1 [−a1x1
+ +
(c1 (c1
− −
a2 a2
) )
x2 x2
] ]
/ /
b, b,
s( s(
x) x)
> <
0 0
33
当取等速趋近率时
− a1x1 + (c1 − a2 ) x2 − bu = −ε signs ( x)
2.滑动模态变结构的概念和定义
本章研究对象是一类特殊的变结构系统，其特殊之处在于， 系统的控制有切换，而且在切换面上系统会沿着固定的轨迹产 生滑动运动。这类特殊的变结构系统，叫滑动模态变结构控制 系统，简称为滑模变结构控制系统。以后提到变结构系统，或 变结构控制，除非有特殊说明，都是指的这一类有滑动模态的 变结构系统。
设计一个滑膜变结构控制器。其中α1(t)=0.3,α2(t)=0.5,b(t)=2
对系统在不同轨线的性能做仿真（你可以用一个正弦参考 模型产生这些轨线）。
（计算机作业）
36
选择控制律 : 使正常运动段的品质得到提高。 选择切换函数 : 使滑动模态运动段的品质改善。
此处，讨论正常运动段的品质问题（滑动模态运动段 由其微分方程决定），要求趋近过程良好，可采用趋近 律方法来保证品质。
31
几种常见趋近律：
（1）等速趋近律 s& = −ε sgn( s) ε > 0
（2）指数趋近律 s& = −ε sgn(s) − ks ε > 0, k > 0
从这个图可以看出，相轨迹都指向滑动面，且一旦达到滑 动面上，相点不再脱离它的条件为:
lim s& < 0 s→0+
lim s& > 0 s→0−
或 ss& < 0
17
2. 滑动模态方程 消除约束法
实例: 二阶继电系统
18
上述方程就是用来描述s(x)=0上的滑动运动的。 等效控制法
19
真实控制
等效控制通常是 真实控制的平均 值 非力波夫的 研究结果
的最突出的优点，成为它受到重视的最主要原因。 （2）存在的问题—抖振。 不可避免的惯性等原因使得系统在光滑滑动模态上叠加
了一个自振，这是滑模变结构控制理论尚存在的一些问题中 最突出的问题。
4.4 滑模变结构控制抖振问题
抖振问题产生的原因（只能减轻，无法消除）
1. 时间滞后开关（控制作用对状态准确变化有滞后）
滑模控制可以用于多种线性及非线性系统，构成滑模控 制系统，目前已广泛应用于各种工业控制对象之中。
4.1 变结构系统的基本概念
1.变结构系统的定义
广义地说，在控制过程(或瞬态过程)中，系统结构(或叫
模型)可发生变化的系统，叫变结构系统。
1
实例1: 一般意义下的变结构系统
2
在上例中，a是根据x1、x2的符号来切换的，它并不维持不 变，但只在间断的时刻切换。这个系统，满足广义变结构系 统的定义，但是，像这样一些广义的变结构系统还很多。
时间内到达切换面；
(2) 滑动模态存在性；
(3) 保证滑动模态运动的渐近稳定性
(4) 具有良好的动态品质。
22
(1) 滑模存在性 实际使用时,常常把等号去掉
lim s ds ≤ 0 s→0 dt (2) 可达性
lim s ds < 0 s→0 dt
即 s ds ≤ 0 dt
(3) 稳定性
渐近稳定性
第1种情况 第2种情况
26
例1
27
28
2) 切换线与两直线平行的情况
29
30
滑模变结构控制的品质
滑模变结构控制的品质取决于这两段运动的品质。由 于尚不能一次性地改善整个运动过程品质，因而要求选 择控制律使正常运动段的品质得到提高。
选择切换函数使滑动模态运动段的品质改善。两段运 动各自具有自己的高品质。
20
真实控制
若想在s(x)=0 上产生滑动模态，必须满足s.s’<0。此条 件对该系统而言，具体形式为：
(***)
3.滑动模态运动的稳定性判断方法 方法：获得滑动运动状态方程，然后构造系统的李亚普诺
夫函数，利用李亚普诺夫主稳定性定理判断。 线性定常系统的滑动运动的稳定性
定理: 为了使系统在超平面、s=0上的滑动运动具有渐近稳定 性，其充分必要条件是:系统在以s=0的条件下算出的 等效控制作用下的特征方程的所有根，应具有负实数。21
4.3 滑模变结构控制的设计
有一控制系统状态方程为
x& = f ( x,u,t) x ∈ℜn u ∈ℜ
需要确定切换函数
s(x) s ∈ℜ
求解控制作用
⎧⎪u+ ( x) , s( x) > 0
⎨ ⎪⎩u
−
(
x)
,
s(x) < 0
滑模变结构控制要素：
(1) 满足可达性条件，即在切换面以外的运动点都将在有限
2. 空间滞后开关（状态空间中的状态量变化死区）
3. 系统惯性的影响
4. 离散时间系统本身造成的抖振
35
抖振问题的削弱方法 1. 准滑动模态方法（系统运动轨迹被限制在边界层） 2. 趋近律方法（保证动态品质、减弱控制信号抖振）
习题：对系统
x(3) + α1(t)&x&2 + α2 (t)x&5 sin 4x = b(t)u
14
滑模运动在什么条件下是稳定的
15
4.2 滑动模态的存在条件及其数学描述
1. 滑动模态存在的条件 在切换面上的运动点有3种情况。
(1)常点——状态点处在切换面上附近时，从切换面上的这个点 穿越切换面而过，切换面上这样的点就称做作常点，如图中点A所 示。
(2)起点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两 边中的一边离开切换面上的这个点，切换面上这样的点就称做作起 点，如图中点B所示。
（3）幂次趋近律
s& = −k s α sgn( s)
0<α <1
（4）一般趋近律 s& = −ε sgn(s) − f (s) ε > 0
注：选取原则是保证系统状态点远离切换面时具有较快 趋近速度，由于过大趋近速度会导致剧烈抖振，是以适 当选择f(s)，使系统以适当速度趋近切换面。
32
例2 对下列系统设计滑模变结构控制器
x&1 = x2 x&2 = −a1x1 − a2 x2 − bu
试设计滑模控制u.
选择切换函数
s ( x ) = c1 x1 + x2 , c1 > 0
取函数控制
u
=
⎧u +
⎨ ⎩u
−
( (
x), x),
s( x) s( x)
பைடு நூலகம்
> <
0 0
s&(x) = c1x&1 + x&2 = −a1x + (c1 − a2 )x2 − bu
(4) 动态品质 利用趋近率
1. 不限制u时，控制的求法
23
2. 限制u时，控制的求法
因为控制受到限制，不能单靠控制去保证存在条件与进入条件，需要 依靠切换面中的参数的选取。
这些参数的选取不仅决定着滑动模态的稳定性，而且还影响到切换线 上的滑动模态区的大小，以及原点是否为全局稳定的问题。
24
25
(3)止点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两 边中的一边趋向该点，切换面上这样的点就称做作止点，如图中点 C所示。
16
若切换面上某一区域内所有点都是止点，则一旦状态点
趋近该区域，就会被“吸引”到该区域内运动。此时，称在切 换面上所有的点都是止点的区域为“滑动模态”区域。系统在 滑动模态区域中的运动就叫做“滑动模态运动”。滑动模态区 域上的点都必须是止点这一要求.
的定义。
10
C. 变结构控制系统设计的问题
切换函数的选择
11
D. 变结构控制系统设计的目标 设计的目标有3个，即变结构控制的三个要素:
(1) 所有轨迹于有限的时间内达到切换面;
(2) 切换面存在滑动模态区
(3) 滑动运动是渐近稳定的，并具有良好的动态品质。
12
进入切换线的运动情况
13
滑模运动的存在问题?
第四章 滑模变结构控制
20世纪50年代末，苏联学者叶米亚诺夫(Emelyanov)等人 首先提出了滑模控制方法，后经乌特金(Utkin)等人进一步研 究，现已发展成为自成体系的非线性控制系统的设计方法。
滑模控制是变结构控制系统的一种控制策略。这种控制与 常规控制的根本区别在于控制的不连续性，即一种使系统“结 构”随时间变化的控制方法。