由此得到了一个等价的系统及最优指标：
~ A *~ ~ x 11 x1 A 12 x2 T J (~ x1 Q *11 ~ x1 V T Q22V )dt 0
式中， Q11 Q11 Q12Q22 Q21 , A11 A11 A12Q22 Q12
1 1 1 T ~ Q22 A12 Px1 Q22 Q21 ~ x1 ~ x2
4
整理后得
T ( A11 P Q21 ) ~ x1 Q22 ~ x2 0
上式正是切换面
~ [C1C2 ] X 0
这样我们就完全确定了阵 C：
T C ( A12 P Q21 ), Q22
u ( x) u L ( x) u N ( x) u L ( x) Lx, u N
可以看到： （1） u L Lx 是一线性反馈，它将改变系统（1-16）的动力学，即 S 0 以外部分的运动 过程。因为 S 0 以外系统是连续系统，没有什么切换面、滑动模态，用 Lx 改变其性能正像线 性系统中所研究的状态反馈一样。 （2）变结构控制
因为取 u 的范数式（1-17）给出
u
故称这种控制为单位向量控制。
Cx Cx
1
现在来个说明系统（1-16）在控制（1-17）下，当 x S 0 时，系统是连续系统，不存在滑动
5
模态，而在 S 0 上才是滑动模态区。 我们的任务是寻求控制，包括确定矩阵 C，使得： （1）任一轨线均到达 S 0 ； （2） S 0 存在良 好的滑动模态。 控制（1-17）的确能生成变结构控制使得 S 0 上有滑动模态区，而 S 0 外没有，从而可能形成 最终滑动模态控制，但是要满足上述两个条件往往是不够的，应该再增加一线性控制部分， 令


现在阵 C 是完全确定的，当然前提是我们认为阵 Q 已完全给定了。
（2）滑动模态控制器的设计
这里采用最终滑动模态控制器， 在最终滑动模态控制中， 系统状态从任一初始值出发一直到 进入最终滑模区域 S0 之前都不发生滑模运动，只有在进入最终滑动模态区域 S0 之后，才发 生滑模运动。这种控制的优点是除区域 S0 之外，系统控制都是连续的，从而使控制器的分 析与设计都十分简单。下面介绍一种最常用的最终滑动模态控制——单位向量控制。 考虑多输入系统
设式（1-5）的二次型最优化指标为
（1-11）
3
J ~ x T Q~ x dt t1
（1-12）
T
这里没有对能量提出要求，积分指标中去掉了 u Ru 项 式中， Q 示：
Q11Q12 正定，且 Q11 及 Q12 非奇，Q12=Q21，将式（1-12）的被积函数作分块表 Q21Q22
1
Cx Cx
（1-19）
利用式（1-3）的等效控制法，取 L (CB ) CA ，则 u L ( x) 就是等效控制 ueq ，由此上式可 写成
u ( x) (CB ) 1 CAx K ( x, t )
选取李亚普诺夫函数
Cx Cx
（1-20）
V ( x)
1 T s s 2
（1-21）
* * 1 1
（1-13）
式（1-13）形成了一个典型的二次型指标最优控制问题。 如果 ( A11 , A12 ) 可控，Q 正定，则 Q22 及 Q11 正定，由此最优控制问题（1-13）有解，存在唯 一的最优控制，此解为
1 T ~ V Q22 A12 Px1 * *
（1-14）
其中 P 是黎卡提代数方程
最终滑动模态的一个很大的优点是：不连续控制可以连续化以消除自振（抖振） ，效果是很 好的。
4.系统设计及仿真
考虑下面的简单二阶系统
x 0.25 x u x
状态空间方程可表示为
（1-24）
1 x2 x 2 0.25 x1 x2 u x
为设计最优切换函数，选取下面的优化指标
J
1 T x (t0 ) P (t0 ) x(t0 ) 2
T
对状态完全可观的系统，如果 Q 可以分解为 Q S S ，且（A,S）可观，那么最优控制存在， 并且闭环系统是渐进稳定的。 设系统已表示为式（1-5） ，滑模方程为
~ A ~ ~ x 11 x1 A 12 x2 ~ ~ s C1 x1 C2 x2 0
对上式微分，并利用式（1-2） ，得到
( x) s T s s T CAx s T CBu V
（1-22）
6
将式（1-20）代入上式得
( x) K ( x, t )CB s 0 V s
即当 K ( x, t )CB 0 时，就能实现稳定的滑模运动。
2
（1-23）
其中 ~ x1 R
nm
(1-5)
,~ x2 R m ， B2 为 m m 可逆方阵。
0 T 1 B B2
（1-6）
A A T 1 AT 11 12 , A21 A22
注：对系统进行非奇异线性变换 x
~ T~ x ，目的在于使 A 阵规范化，以便于揭示系统特性及分析计算，并
1 V Q22 Q21 ~ x1 ~ x2
1 T 1 ~ x T Q~ x~ x1T Q11 ~ x1 (V Q22 Q21 ~ x1 )T Q21 ~ x1 ~ x1 Q12 (V Q22 Q21 ~ x1 ) 将（1-12）化为： 1 1 * (V Q Q ~ x )T Q (V Q Q ~ x )~ xTQ ~ x V TQ V 22 21 1 22 22 21 1 1 11 1 22
滑模变结构控制系统的基本设计方法及抖振 王杨
1.滑模变结构控制系统的设计要求
对于多变量系统
Ax Bu, s Cx x x Rn , u Rm , s Rm
设计的基本要求是： （1）切换面存在滑动模态。 （2）所有的相轨线于有限时间内到达切换面。 （3）滑动模态渐进稳定，并具有良好的动态品质。
C ( F , I m )T 1
C 一旦确定了，切换函数也就确定了。
（1-10）
二次型性能指标最优化法 提示：线性二次型最优控制问题
[3]
给定连续定常系统的状态空间为 x' (t ) Ax(t ) Bu (t ) ,且 x(0) x0 ，最优控制的性能 指标函数为
J (u )
1 tf T ( x Qx u T Ru )dt t 2 0
（1-8）
从而滑模运动满足式（1-8）和下列降阶方程：
~ ~ A ~ x 1 11 x1 A 12 x2
（1-9）
于是线性系统的滑动模可是为是由式（1-9）描述且具有反馈式（1-8）的 n-m 维子系统， 从而可根据通常的线性反馈设计方法（如极点配置、最优化方法、特征矢量配置及几何方法
2
等）确定反馈系数矩阵 F，不失一般性，取 C2 I m ，因此
Ax Bu, s Cx, x R n , u R m , s R m x
单位向量控制可表示为
（1-16）
u
其中 表示模或范数。 记子空间
Cx Cx
(1-17)
S 0 x | Cx 0
显然有
Cx , 当x S 0 u Cx 不确定，当x S 0
2.设计变结构控制的基本步骤
它包括两个相对独立的部分： （1）寻求切换函数 s（x） ，现在为求上式中的矩阵 C，使它所确定的滑动模态渐进稳 定且有良好的品质， （2）寻求 u ( x) ，即变结构控制，使到达条件得到满足，从而使切换面上布满止点， 形成滑动模态区。 一旦切换函数 s （x） 和变结构控制 u ( x) 都得到了， 变结构控制系统就完全建立起来了。
（1-3）
x [ I B (CB ) 1 C ] Ax s Cx 0
设 rankB=m，故存在非奇异线性变换 x T~ x ，使得式（1-1）化为下列形式：
（1-4）
A A ~ ~ x x1 0 1 11 12 ~ ~ A21 A22 x2 x B2 2

3.滑模变结构控制系统的设计
（1）切换函数的设计 极点配置法
首先系统做基本假设：[2] （1）A,B 可控； （2）CB 为非奇 m m 方阵 对于线性系统
Ax Bu, x R n , u R m x
（1-1）
1
由等效控制方法可知
Cx CAx CBu 0 s
* * 1 T * PA11 A11 P PA12Q22 A12 P Q11 0 T
的解。 于是我们得到了优化的最终滑动模态的运动微分方程
~ ( A* A Q 1 AT P ) ~ x x1 1 11 12 22 12
T * *
(1-15)
并且可证明当 D D Q11 及 ( D, A11 ) 为可观对时， P 为正定， 而且滑模运动方程必渐进稳定。 将 V Q22 Q21 ~ x1 ~ x2 代入式（1-14）后得
不会改变系统的原有性质，故称为等价变换。
由线性系统理论可知（A，B）能控， ( A11 , A12 ) 必是能控的。 相应的切换面变为
s CT~ x C1 ~ x1 C2 ~ x2 0
其中 C2 为可逆方阵，在切换面上有
1 ~ x2 C2 C1 ~ x1 F~ x1
（1-7）
提示：
（1-2）
等效控制法是最早提出的补充确定不连续微分方程在不连续面上的定义的方法， 这个方 法的概念很简单的，即寻找一种控制，用来强迫系统在切换面上运动，就是说，在这种控制 的系统的运动，正好是切换面上的滑动模态的运动，所以常称它为等效控制。 可求得