高考模拟试卷1(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，设集合A ＝{0,1,2}，B ＝{1,2,3}，则A ∩(∁U B )等于( ) A ．{3} B ．∅ C ．{1,2} D ．{0} 答案 D解析 ∵U ＝{0,1,2,3,4}，B ＝{1,2,3}，∴∁U B ＝{0,4}，且A ＝{0,1,2} ，∴A ∩(∁U B )＝{0}． 2．设复数z 满足i·z ＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 z ＝2＋i i ＝1－2i ，复平面内该复数对应的点的坐标为(1，－2)，它在第四象限．3．已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(0<a <2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.263 C. 3 D ．2答案 D解析 由双曲线方程可知渐近线方程为y ＝±2a x ，由渐近线夹角为π3，0<a <2，可知渐近线倾斜角为π3，∴2a ＝3，∴a ＝63，∴c ＝263，∴e ＝ca＝2.4．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为( ) A.18 B.14 C.38 D.12 答案 C解析 抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故概率为38.5．(2019·浙江三校联考)已知log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，则2a ＋b 取到最小值时，ab 等于( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．9 答案 D解析 由log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，可得a －2>0， b －1>0且(a －2)(b －1)≥2.所以2a ＋b ＝2(a －2)＋(b －1)＋5≥22(a －2)(b －1)＋5≥22×2＋5＝9， 当且仅当2(a －2)＝b －1且(a －2)(b －1)＝2时等号成立，解得a ＝b ＝3. 所以2a ＋b 取到最小值时，ab ＝3×3＝9.6．已知函数f (x )＝e x (|ln x |－m )－x 有两个零点，则m 的取值范围为( ) A ．(－e ，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－1e ，＋∞ C ．(－1，＋∞) D ．(0，＋∞)答案 B解析 令f (x )＝0，可化为xex ＋m ＝|ln x |，令g (x )＝xe x ＋m ，g ′(x )＝1－x e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0， 所以g (x )max ＝g (1)＝1e＋m .g (x )先增后减，即从m 增大到1e ＋m ，然后递减到m ，而函数y ＝|ln x |，x ∈(0,1)时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大，所以1e ＋m >0，即m >－1e.7．为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示，工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( )A.110B.715C.815D.1315 答案 C解析 根据频率分布直方图，可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A ，B ，生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C ，D ，E ，F ，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种，2位工人不在同一组的结果有(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，共8种，故选取的2位工人不在同一组的概率为815.8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫1，12，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.12 C.14 D.32答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫1，12，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1. ∵PF ∥l ，∴k PF ＝k l ＝－b c ＝y 1－y 2x 1－x 2.又x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，∴2a 2＋－bc b 2＝0， 可得2bc ＝a 2，∴4c 2(a 2－c 2)＝a 4，化为4e 4－4e 2＋1＝0， 解得e 2＝12，0<e <1.∴e ＝22. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9．下列说法不正确的是( )A.AB →∥CD →表示AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫作相等向量 C ．零向量的长度等于0D ．共线向量是在一条直线上的向量 答案 ABD解析 AB →∥DC →表示AB →所在的直线平行于DC →所在的直线，或AB →所在的直线与DC →所在的直线重合；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A ，B ，D 均错误． 10．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( ) A ．a 10＝0 B ．S 7＝S 12 C ．S 10最小 D ．S 20＝0答案 AB解析 因为{a n }是等差数列，设公差为d ，由a 1＋5a 3＝S 8， 可得a 1＋9d ＝0，即a 10＝0，即选项A 正确；又S 12－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝5a 10＝0，即选项B 正确；当d >0时，则S 9或S 10最小，当d <0时，则S 9或S 10最大，即选项C 错误； 又S 19＝19a 10＝0，a 20≠0，所以S 20≠0，即选项D 错误． 11．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论正确的有( ) A ．函数f (x )的最大值为2B ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称 C ．函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度可得函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象 D ．函数f (x )的图象与函数h (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －2π3的图象关于x 轴对称 答案 ACD解析 由函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3可得最大值为2，故A 对；可令x ＋π3＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π－π3，k ∈Z ，即对称中心为⎝⎛⎭⎫k π－π3，0，k ∈Z ，故B 错；f (x )的图象向左平移π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3，即y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故C 对；与函数f (x )的图象关于x 轴对称的函数为y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －2π3，故D 对．12.如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，点E ，F ，G ，H 分别为P A ，PD ，PC ，PB 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论，其中正确的有( )A ．平面EFGH ∥平面ABCDB ．BC ∥平面P AD C ．AB ∥平面PCD D ．平面P AD ∥平面P AB 答案 ABC解析 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH ∥AB ，又EH ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴EH ∥平面ABCD .同理可证EF ∥平面ABCD ，又EF ∩EH ＝E ，EF ，EH ⊂平面EFGH ，∴平面EFGH ∥平面ABCD ；平面P AD ，平面PBC ，平面P AB ，平面PDC 均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AB ∥平面PCD .同理BC ∥平面P AD .三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤－1，x ＋1，x >－1，则不等式f (x )≥2的解集为________________．答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 由不等式f (x )≥2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，2－x ≥2，①或⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ＋1≥2，② 解①求得 x ≤－1，解②求得 x ≥1， 故不等式的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．14．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别是S n 与T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 7b 7＝________，a nb n ＝________.(本题第一空2分，第二空3分) 答案 1320 2n －13n －1解析a 7b 7＝S 13T 13＝2×133×13＋1＝1320， a n b n ＝(2n －1)a n (2n －1)b n ＝S 2n －1T 2n －1＝2(2n －1)3(2n －1)＋1＝2n －13n －1. 15．已知函数f (x )＝e |x |＋|x |，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 函数f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e |－x |＋|－x |＝e |x |＋|x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝e x ＋x 单调递增． 作出函数f (x )的图象如图所示，由题意知k >1.16.(2019·杭州14中月考)如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC →＝λDE →＋μAP →，则λ＋μ的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，5解析 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则C (1,1)，D (0,1)，A (0,0)，B (1,0). ∵E 为AB 的中点，得E ⎝⎛⎭⎫12，0，设 P (cos θ，sin θ)，∴AC →＝(1,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，AP →＝(cos θ，sin θ)． 再由向量AC →＝λ⎝⎛⎭⎫12，－1＋μ(cos θ，sin θ)＝⎝⎛⎭⎫λ2＋μcos θ，－λ＋μsin θ＝(1,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2＋μcos θ＝1，－λ＋μsin θ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ，μ＝32cos θ＋sin θ，∴λ＋μ＝3＋2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ＝(－2cos θ－sin θ)＋3sin θ＋32cos θ＋sin θ＝－1＋3sin θ＋32cos θ＋sin θ.由题意得0≤θ≤π2.∴0≤cos θ≤1,0≤sin θ≤1，设f (θ)＝－1＋3sin θ＋32cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2，则f ′(θ)＝6＋6sin θ－3cos θ(2cos θ＋sin θ)2>0，故f (θ)在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， 当θ＝0时，λ＋μ取最小值为3＋0－22＋0＝12， 当θ＝π2时，λ＋μ取最大值为3＋21＝5，故λ＋μ的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，5.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的最小正周期为π，且cos 2φ＋cos φ＝0. (1)求ω和f ⎝⎛⎭⎫π2的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝35(0<α<π)，求sin α.解 (1)∵函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2 的最小正周期为2πω＝π，∴ω＝2. ∵cos 2φ＋cos φ＝2cos 2φ－1＋cos φ＝0， ∴cos φ＝－1或cos φ＝12，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－32. (2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝35<32，∴α＋π3为钝角， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45， ∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π3＝35×12＋45×32＝3＋4310. 18．(12分)设正项等比数列{a n }，已知a 2＝2，a 3a 4a 5＝29. (1)求首项a 1和公比q 的值；(2)若数列{b n }满足b n ＝1n [lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n －1＋lg(ka n )]，问是否存在正数k ，使数列{b n }为等差数列？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)∵a 3a 4a 5＝(a 4)3＝29， 得a 4＝23＝8 (a 4＞0)， ∴a 4a 2＝q 2＝4，q ＝2. 又由a 4＝a 1q 3，即8＝a 1·23， 解得a 1＝1.(2)由(1)知，a n ＝2n －1.b n ＝1n [lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n －1＋lg(ka n )]＝1n lg(ka 1a 2…a n )＝1nlg(k ·20＋1＋2＋…＋(n －1)) ＝1n [lg k ＋lg 2n (n －1)2]＝lg k n ＋n －12lg 2，若数列{b n }为等差数列，则b n ＋1－b n ＝lg k n ＋1＋n 2lg 2－lg k n －n －12lg 2＝lg k ·⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋12lg 2＝－1n (n ＋1)lg k ＋12lg 2为常数． 则lg k ＝0，k ＝1.∴存在正数k ＝1，使数列{b n }为等差数列．19．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝2，P A ＝1，P A ⊥平面ABCD ，点E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．(1)求证：BE ∥平面PDF ；(2)求直线BE 与平面P AD 所成角的正弦值． (1)证明 取PD 的中点为M ，连接ME ，MF .∵E 是PC 的中点， ∴ME 是△PCD 的中位线， ∴ME ∥CD 且ME ＝12CD .∵F 是AB 的中点且ABCD 是菱形，AB ∥CD 且AB ＝CD ， ∴ME ∥AB 且ME ＝12AB .∴ME ∥FB 且ME ＝FB .∴四边形MEBF 是平行四边形， ∴BE ∥MF .又BE ⊄平面PDF ，MF ⊂平面PDF ， ∴BE ∥平面PDF . (2)解 由(1)得BE ∥MF ，∴直线BE 与平面P AD 所成角就是直线MF 与平面P AD 所成角． 取AD 的中点G ，连接BD ，BG . ∵底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是正三角形， ∴BG ⊥AD ，∵P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BG ⊥AD ，BG ⊂平面ABCD ， ∴BG ⊥平面P AD .过F 作FH ∥BG ，交AD 于H ，则FH ⊥平面P AD ，连接MH ，则∠FMH 就是MF 与平面P AD 所成的角． 又F 是AB 的中点， ∴H 是AG 的中点．连接MG ，又M 是PD 的中点， ∴MG ∥P A 且MG ＝12P A .在Rt △MGH 中，MG ＝12P A ＝12，GH ＝14AD ＝12，∴MH ＝22. 在正三角形ABD 中，BG ＝3， ∴FH ＝12BG ＝32.在Rt △MHF 中， MF ＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫322＝52， ∴sin ∠FMH ＝FH FM ＝3252＝155，∴直线BE 与平面P AD 所成角的正弦值为155. 20．(12分)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815.(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X ，求X 的分布列和数字期望． 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)由已知数据得K 2的观测值k ＝30×(10×8－6×6)216×14×16×14≈1.158<2.706.所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关． (2)X 的可能取值为0,1,2， P (X ＝0)＝C 28C 214＝413，P (X ＝1)＝C 16C 18C 214＝4891，P (X ＝2)＝C 26C 214＝1591.所以X 的分布列为X 的期望为E (X )＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.21．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C 的离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与以线段F 1F 2为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D 两点，且|CD ||AB |＝837？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)根据题意，设F 1，F 2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)， 根据椭圆的几何性质可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在斜率为－1的直线l ， 那么可设为y ＝－x ＋m ，则由(1)知F 1，F 2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，可得以线段F 1F 2为直径的圆为x 2＋y 2＝1， 圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|m |2<1，得|m |＜2，|AB |＝21－d 2＝21－m 22＝2×2－m 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－x ＋m 得7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则Δ＝(8m )2－4×7×(4m 2－12)＝336－48m 2＝48(7－m 2)＞0， 得m 2＜7，x 1＋x 2＝8m7，x 1x 2＝4m 2－127， |CD |＝2|x 1－x 2|＝2×⎝⎛⎭⎫8m 72－4×4m 2－127＝2×336－48m 249＝467×7－m 2＝837|AB | ＝837×2× 2－m 2，解得m 2＝13＜2，得m ＝±33.即存在符合条件的直线l ：y ＝－x ±33.22．(12分)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－ax (a ∈R )． (1)若f (x )在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；(2)若f (x )存在极值，试求a 的取值范围，并证明所有极值之和小于－3＋ln 12；(3)设a n ＝1＋1n (n ∈N *)，求证：3(a 1＋a 2＋…＋a n )－(a 21＋a 22＋…＋a 2n )＜ln(n ＋1)＋2n . (1)解 f ′(x )＝1x ＋2x －a ，x ＞0，由已知得f ′(x )＞0对x ＞0恒成立， 即a ≤1x ＋2x ，x ＞0，由于1x ＋2x ≥21x×2x ＝22， 当且仅当x ＝22时等号成立， 所以a ≤2 2.(2)解 由已知得，f ′(x )＝0在(0，＋∞)内有零点， 即2x 2－ax ＋1＝0在(0，＋∞)内有零点， 记g (x )＝2x 2－ax ＋1，由于g (0)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－8>0，a 4>0，解得a ＞2 2.设f (x )的两个极值点为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝12，∴f (x 1)＋f (x 2)＝(ln x 1＋x 21－ax 1)＋(ln x 2＋x 22－ax 2)＝ln x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝ln 12－a 22＋a 24－1＝－a 24－1＋ln 12＜－3＋ln 12， ∴所有极值之和小于－3＋ln 12.(3)证明 令a ＝3，则f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，x ＞1， f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ＝(x －1)(2x －1)x＞0，即f (x )在(1，＋∞)上为增函数，∴f (x )＞f (1)＝－2， 即ln x ＋x 2－3x ＞－2,3x －x 2＜ln x ＋2，∴3(a 1＋a 2＋…＋a n )－(a 21＋a 22＋…＋a 2n )＜ln(a 1a 2…a n )＋2n ＝ln(n ＋1)＋2n .。