2009年高考模拟试卷数学卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：第I卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1．已知复数12,3,z m i z i=+=-若12z z⋅是纯虚数，则实数m的值为A．13- B．-3 C．3 D．32（原创）2．设命题3:|23|1,:01xp x qx--<≤-，则p是q的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（原创）3．已知函数2sin1(0)y xωω=+>的最小正周期是2π，则ω的值为A．1 B．2 C．12D．4（原创）4．椭圆223(0)x ky k k+=>的一个焦点与抛物线212y x=的焦点重合，则该椭圆的离心率是A．2B．2C．3．3（原创）5．若函数32()22f x x x x=+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x+--=的一个近似根（精确到0.1）为（）.6．已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为12，则其外接球的体积为A． B．4π C D．8π（原创）7．计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，那么将二进制数216111111个（）转换成十进制形式是（ ）.A ．1722-B ．1622-C ．1621-D ．1521-（改编） 8． 5个人站成一排，若甲乙两人之间恰有1人，则不同站法有A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种（原创） 9．等差数列{}n a 的通项公式为21,n a n =+其前n 项和为n S ，则数列n s n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项为和 A ．120 B ．70 C ．75 D ．10010．已知函数32()3f x x ax x c =+-+是奇函数．则函数()f x 的单调减区间是A ．[-1，1] B.（1，+∞） C.(-∞,1) D.(-,)∞+∞ （2008北京卷，文17改编） 第Ⅱ卷(共100分)二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．计算dx e x )1(03-⎰= （原创）12．右图所示的伪代码输出的结果S 为 （原创）13．与圆22(4)x y +-=2 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有_______条。

（原创） 14．已知函数： c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 的事件为A ，则事件A 发生的概率为________.15．002012sin )212cos 4(312tan 3--= 16．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）……则前n 个图形的边数的总和为____________.(改编)17.若曲线y=f(x)上存在三点A 、B 、C,使AB BC =,则称点曲线有“中位点”，下列曲线：①y=cosx, ②1y x=,78223Pr int i WHILE i i i S i WEND S END=<=+=+③322y x x =+-,④y=cosx+x 2,⑤12y x x =-++,有“中位点”的有 （写出所有满足要求的序号）三、解答题（本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 18．（本小题14分）已知锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量 2(2sin(),3),cos 2,2cos 12B m A C n B ⎛⎫=+=-⎪ ⎭⎝，且向量m ,n 共线。

（1）求角B 的大小；（Ⅱ）如果b=1，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。

（改编）19．（本小题14分）学校要用三辆车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；汽车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1p -，若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响。

（I ）若三辆车中恰有一辆车被堵的概率为716，求走公路②堵车的概率； （Ⅱ）在（I ）的条件下，求三辆车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望。

（改编）20. （本小题14分）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形. （Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1? 如何组拼？试证明你的结论；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点为E, 求平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值.（改编）21．（本小题15分）已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量OA ，OB ，OC 满足：0)1ln()]1(2[=++'+-OC x OB f y OA 。

（Ⅰ）求函数)(x f y =的表达式；正视图 侧视图 俯视图（Ⅱ）若0>x ，证明：22)(+>x xx f ； （Ⅲ）若不等式2221()232x f x m bm -≤--对任意]1,1[-∈x 及]1,1[-∈b 都恒成立，求实数m 的值．（改编）22．（本小题15分）椭圆E 中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率32=e ,过点C （－1，0）的直线L 与椭圆E 相交于A 、B 两点，且2AC CB =.（1）用直线L 的斜率k(k≠0)表示△OAB 的面积； （2）当△OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程．萧山九中：黎荣华2009年高考模拟试卷 数学参考答案及评分评分标准二、填空题：（每小题4分，共28分）11．43-e 12．21 13．4 14. 8515．34- 16．41n - 17．①③⑤ 三、解答题（本大题共5小题，共72分。

18．（本题满分14分）解：（1）由向量,m n →→共线有： 22sin()2cos 12,2B A C B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即tan 2B = （3分） 又02B π<<，所以02B π<<，则2B =3π，即6B π= （3分）（Ⅱ）由余弦定理得2222cos ,b a c ac B =+-则221(2a c ac =+-≥，所以2ac ≤当且仅当a c =时等号成立 （ 4分）所以11sin (224ABC S ac B ∆=≤+。

（4分） 19．（本小题满分14分）解：（1）由已知条件得2121337(1)44416C p p ⎛⎫⋅⋅⋅-+⋅= ⎪⎝⎭即31p =，则p 的值为13。

（ 2分） （Ⅱ）解：ξ可能的取值为0，1，2，3 （ 2分）3323(0)4438P ξ==⋅⋅= （ 2分） 7(1)16P ξ== （ 2分）121121311(2)4434436P C ξ==⋅⋅+⋅⋅⋅= （2分） 1111(3)44348P ξ==⋅⋅= （ 2分）ξ的分布列为：所以E ξ3711501238166486=⋅+⋅+⋅+⋅= （2分）20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）该几何体的直观图是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 如右图中的四棱锥C 1-ABCD 。

其中底面ABCD 是边长为6的正方形，高为CC 1=6，故所求体积是 7266312=⨯⨯=V （4分） （Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍， 故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体， 其拼法如图2所示.证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的正方形，于是D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---== 故所拼图形成立. （4分）（Ⅲ）方法一：设B 1E ，BC 的延长线交于点G ， 连结GA ，在底面ABC 内作BH ⊥AG ，垂足为H ， 连结HB 1，则B 1H ⊥AG ，故∠B 1HB 为平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角或其补角的平面角. 在Rt △ABG 中，180=AG ，则512180126=⨯=BH ，5182121=+=BB BH H B ，32cos 11==∠HB HB HB B ，故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±（6分）方法二：以C 为原点，CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E （0，0，3），B 1（0，6，6），A （6，6，0）.A BC DD 1A 1B 1C 1 图2设向量n =（x ，y ，z ），满足n ⊥1EB ，n ⊥1AB ，于是⎩⎨⎧=+-=+066036z x z y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==z y zx 21.取z =2，得n =（2，-1，2）. 又=1BB （0，0，6），321812||||,cos 111==>=<BB n BB n BB n 故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±.（6分）21、（本小题满分15分）解：(Ⅰ)∵0)1ln()]1(2[=++'+-OC x OB f y OA ，∴OC x OB f y OA )1ln()]1(2[+-'+=，由于A 、B 、C 三点共线 即1)]1ln([)]1(2[=+-+'+x f y ， （2分） ∴)1(21)1ln()(f x x f y '-++==，11)(+='x x f ， （2分） ∴21)1(='f ，故)1ln()(+=x x f 。

（2分） （Ⅱ）令22)()(+-=x x x f x g ，由222)2)(1()2(2)2(211)(++=+-+-+='x x x x x x x x g ， ∵0>x ，∴0)(>'x g ，∴)(x g 在(0，＋∞)上是增函数 ， 故0)0()(=>g x g ， 即22)(+>x xx f 。

（4分） （Ⅲ） 令)1ln(21)(21)(2222x x x f x x h +-=-=， 由232112)(xxx x x x x h +-=+-=' ， 当]1,1[-∈x 时，0)(max =x h ， ∴0322≥--bm m ， （3分）令032)(2≥--=bm m b u ，则⎪⎩⎪⎨⎧≥-+=-≥--=032)1(032)1(22m m u m m u ， 得3≥m 或3-≤m 。