(1)n ( x n)
n
comb( x)exp( j x ) comb( x) (1)n ( x n) ( x n)
n
n
0 n为奇数
2 ( x 2n)
n
1.4 计算下面两个函数的一维卷积
h( x) 1 x
f (x) 1 x
1
0
x
解：（1）改变量
h( )
0
1
x
f ( )
e xp(
x2
2 2
)
e xp
x2
2
2
2
?
2 exp 2 2 2
2 exp 2 2 2 2
1.7 计算积分
(1) sinc4( x) ? (2) sinc2( x)cos x ?
解：利用广义巴塞伐定理求解
f ( x, y)g (x,y)dx dy F ( , )G ( , )d d
2
2
2
2
1 rect( x
3 1 2)
1 rect ( x 2.5 )
2
2
2
2
(2) rect( x 1) rect( x 1)
2
2
rect( x 1)
2
rect( 1)
2
2 x
2 x0
0 x2
1 x2 2
2 x
g( x) 0 d x 2
2
g( x) x d 2 x
0
其它
1.5 计算下列一维卷积
(1) (2 x 3) rect( x 1)
2
(2) rect( x 1) rect( x 1)
2
2
(3) com b( x) rect( x)
解（1）
(1) (2 x 3) rect( x 1) 1 ( x 3 ) rect( x 1)
1.9 设 f ( x) exp( x ), 0 求
f ( x( )
0
exp( x)exp( j2 x)dx
exp( x)exp( j2 x)dx
0
2 2 (2 )2
f ( x) dx
2 2 (2 )2
0
2
1.10设线性平移不变系统的原点响应为 h( x) exp( x)step( x) 试计算系统对阶跃函数step(x)的响应。
第一章
1.2 证明 comb( x ) comb( x)exp( j x ) comb( x)
2
证：comb( x )
( x n) 2
( x 2n)
2
2 n
n
ccomb( x)exp( j x ) ( x n)exp( j x)
n
( x n)exp( j n)
n
0
32 6
当 0 x 1 如图
f ( )
相乘、积分得卷积
h( x )
1
g( x) x f ( )h( x )d
0x 1
1
x (1 )(1 x )d
1 1 x 1 x3 32 6
g( x)
1 1 x 1 x3 32 6 1 1 x 1 x3 32 6
1 x 0 0 x1
0
（2）折叠
1
（3）位移 当 1 x 0
0
1
h( x ) f ( )
0 1 x 1
（3）位移 当 1 x 0 如图
h( x )
f ( )
相乘、积分得卷积
1 x
g( x) 0 f ( )h( x )d
0 1 x 1
1 x
(1 )(1 x )d
1 1 x 1 x3
2
2
1 1
2
-1
1 3
1
2
1
2
2
1 1
2
G( ) 1
2
1
12d 2
1 2
G( ) 1
1
2 d
3
2 1
42
G( ) 1
2
1
1 d 2
3
42
G( )
3
42 1/2
3
42 0
3 1
2
2
1 1
2
2
1 3
2
2
其它
G( ) 3 ( ) 1 ( )
4 3/ 2 4 1/ 2
=
1.6 已知 exp( x2 ) 的傅里叶变换为 exp( 2 ) 试求
exp( x2 ) ?
x2
e xp(
2
2
)
?
解： 利用傅里叶变换的坐标缩放性质可求得答案
f (ax, by) 1 F ( , )
ab a b
exp( x2 )
e xp(
x
2
)
exp( 2 2 )
x1
2
2 x
2 x0
g( x) 2 x
0 x2
0
1 x 2
=2 1 x 2
0
其它 2 x0
0 x2 其它
g(x) 2 ( x ) 2
(3) comb( x) rect( x) ( x n) rect( x)
comb( x)
n
comb( x) rect( x)
rect( x)
h( ) 1
f ( ) 1
01
0
（2）、将h() h(-)只要将h()曲线相对纵轴折叠便得到其镜
像h(-)曲线。
f ( )
h(- ) 1
1
01
0
（3）、将曲线h(-)沿x轴平移x便得到h(x-)， 当x 0时, f ( )h( x ) 0 因此 g(x)=0
当x 0时,计算积f(α)h(xα)曲线下面的面积
f ( )
1
h( x - )
0x
g( x)
x
g( x) 0 f ( )h( x )d
x
-( x )
0 1 e d
g( x0 )
x
-( x )
1 e d
1 ex
0
x 0 x0
1.11 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为 h1( x) sinc( x) 和 h2 ( x) sinc(3 x) 试计算各自对输入函数 f ( x) cos 2 x 的响应 g1 ( x) 和 g2 ( x)
(1)
sinc4( x)
( ) ( )d
( )
1
1
0 (1 )2d 1 (1 )2d 2
1
0
3
(2)
sinc2( x)cos xdx
1 ( ) ( 1 )d 1 ( ) ( 1 )d
2
2
2
2
1 ( 1) 1 (1) 1 2 222 2
1.8应用卷积定理求 f (x) sinc(x)sinc(2x) 的傅里叶变换
解： sinc(x)sinc(2x) sinc(x) sinc(2x)
1 rect( ) rect( ) G( )
2
2
1
1
1 1
2
2
3 1
2
2
1
1 3
2
2
1 1
2
2
1
2
3 1
解： h( x) exp( x)step( x) exp( x) g(x) step( x) h( x) f ( x) h( x)
x0 x0
f (x)
1, x 0 0, 其它
h( x)
1
h( x )
ex , x 0 0, 其它
f (x)
1
x 01
x 0
（1）、将f (x)和h (x)变为f ()和h ()，并画出相应的曲线