数 学H 单元 解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 6.,,[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2+(y -3)2=4的圆心,且与直线x +y +1=0垂直,则l 的方程是( )A .x +y -2=0B .x -y =2=0C .x +y -3=0D .x -y +3=06.D [解析] 由直线l 与直线x +y +1=0垂直,可设直线l 的方程为x -y +m =0. 又直线l 过圆x 2+(y -3)2=4的圆心(0,3),则m =3,所以直线l 的方程为x -y +3=0,故选D.20.、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2,2),圆C :x 2+y 2-8y =0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP |=|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积. 20.解:(1)圆C 的方程可化为x 2+(y -4)2=16, 所以圆心为C (0,4),半径为4.设M (x ,y ),则CM =(x ,y -4),MP =(2-x ,2-y ). 由题设知CM ·MP =0,故x (2-x )+(y -4)(2-y )=0,即(x -1)2+(y -3)2=2. 由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是(x -1)2+(y -3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP |=|OM |,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3,所以直线l 的斜率为-13,故l 的方程为y =-13x +83.又|OM |=|OP |=2 2,O 到直线l 的距离为4105,故|PM |=4105,所以△POM 的面积为165.21.、、、[2014·重庆卷] 如图1-5,设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点D 在椭圆上,DF 1⊥F 1F 2,|F 1F 2||DF 1|=22,△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程.(2)是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.21.解:(1)设F 1(-c ,0),F 2(c ,0),其中c 2=a 2-b 2.由|F 1F 2||DF 1|=2 2得|DF 1|=|F 1F 2|2 2=22c .从而S △DF 1F 2=12|DF 1||F 1F 2|=22c 2=22,故c =1.从而|DF 1|=22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2=|DF 1|2+|F 1F 2|2=92,因此|DF 2|=3 22,所以2a =|DF 1|+|DF 2|=2 2,故a =2,b 2=a 2-c 2=1.因此,所求椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)如图所示,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22+y 2=1相交,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是两个交点,y 1>0,y 2>0,F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性,易知,x 2=-x 1,y 1=y 2.由(1)知F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1P 1=(x 1+1,y 1),F 2P 2→=(-x 1-1,y 1).再由F 1P 1⊥F 2P 2得-(x 1+1)2+y 21=0.由椭圆方程得1-x 212=(x 1+1)2,即3x 21+4x 1=0,解得x 1=-43或x 1=0. 当x 1=0时,P 1,P 2重合,题设要求的圆不存在.当x 1=-43时,过P 1,P 2分别与F 1P 1,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0,y 0),由CP 1⊥F 1P 1,得y 1-y 0x 1·y 1x 1+1=-1.而y 1=|x 1+1|=13,故y 0=53.圆C 的半径|CP 1|=⎝⎛⎭⎫-432+⎝⎛⎭⎫13-532=4 23.综上,存在满足题设条件的圆,其方程为x 2+⎝⎛⎭⎫y -532=329.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 6.,,[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2+(y -3)2=4的圆心,且与直线x +y +1=0垂直,则l 的方程是( )A .x +y -2=0B .x -y =2=0C .x +y -3=0D .x -y +3=06.D [解析] 由直线l 与直线x +y +1=0垂直,可设直线l 的方程为x -y +m =0. 又直线l 过圆x 2+(y -3)2=4的圆心(0,3),则m =3,所以直线l 的方程为x -y +3=0,故选D.18.、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示,为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m .经测量,点A 位于点O 正北方向60 m 处,点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸),tan ∠BCO =43.(1)求新桥BC 的长.(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大?图1-618.解: 方法一:(1)如图所示, 以O 为坐标原点, OC 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170,0),直线 BC 的斜率k BC =-tan ∠BCO =-43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB =34.设点 B 的坐标为(a ,b ),则k BC =b -0a -170=-43, k AB =b -60a -0=34,解得a =80, b =120,所以BC =(170-80)2+(0-120)2=150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM =d m (0≤d ≤60). 由条件知, 直线BC 的方程为y =-43(x -170),即4x +3y -680=0.由于圆M 与直线BC 相切, 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ,即r =|3d - 680|42+32=680-3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r -d ≥80,r -(60-d )≥80,即⎩⎨⎧680-3d5-d ≥80,680 - 3d5-(60-d )≥80,解得10≤d ≤35.故当d =10时, r =680 - 3d5最大, 即圆面积最大,所以当OM =10 m 时, 圆形保护区的面积最大. 方法二:(1)如图所示, 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO =43,所以sin ∠FCO =45, cos ∠FCO =35.因为OA =60,OC =170,所以OF =OC tan ∠FCO =6803, CF =OC cos ∠FCO =8503, 从而AF =OF -OA =5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45.又因为 AB ⊥BC ,所以BF =AF cos ∠AFB =4003, 从而BC =CF -BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ,连接 MD ,则MD ⊥BC ,且MD 是圆M 的半径,并设MD =r m ,OM =d m (0≤d ≤60).因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO =cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO =MD MF =MD OF -OM =r 6803-d =35, 所以r =680-3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r -d ≥80,r -(60-d )≥80,即⎩⎨⎧680-3d5-d ≥80,680-3d5-(60-d )≥80,解得10≤d ≤35.故当d =10时, r =680 - 3d5最大,即圆面积最大,所以当OM =10 m 时, 圆形保护区的面积最大. 22.、、[2014·全国卷] 已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,直线y =4与 y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且|QF |=54|PQ |.(1)求C 的方程;(2)过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求l 的方程.22.解:(1)设Q (x 0,4),代入y 2=2px ,得x 0=8p ,所以|PQ |=8p ,|QF |=p 2+x 0=p 2+8p.由题设得p 2+8p =54×8p,解得p =-2(舍去)或p =2,所以C 的方程为y 2=4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为x =my +1(m ≠0). 代入y 2=4x ,得y 2-4my -4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4. 故线段AB 的中点为D (2m 2+1,2m ), |AB |=m 2+1|y 1-y 2|=4(m 2+1).又直线l ′的斜率为-m ,所以l ′的方程为x =-1m y +2m 2+3.将上式代入y 2=4x ,并整理得y 2+4m y -4(2m 2+3)=0.设M (x 3,y 3),N (x 4,y 4),则y 3+y 4=-4m ,y 3y 4=-4(2m 2+3).故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m 2+2m 2+3,-2m , |MN |=1+1m 2|y 3-y 4|=4(m 2+1)2m 2+1m 2. 由于线段MN 垂直平分线段AB ,故A ,M ,B ,N 四点在同一圆上等价于|AE |=|BE |=12|MN |,从而14|AB |2+|DE |2=14|MN |2,即 4(m 2+1)2+⎝⎛⎭⎫2m +2m 2+⎝⎛⎭⎫2m 2+22=4(m 2+1)2(2m 2+1)m 4,化简得m 2-1=0,解得m =1或m =-1.所求直线l 的方程为x -y -1=0或x +y -1=0.21.、、、[2014·重庆卷] 如图1-5,设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点D 在椭圆上,DF 1⊥F 1F 2,|F 1F 2||DF 1|=22,△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程.(2)是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.21.解:(1)设F 1(-c ,0),F 2(c ,0),其中c 2=a 2-b 2. 由|F 1F 2||DF 1|=2 2得|DF 1|=|F 1F 2|2 2=22c . 从而S △DF 1F 2=12|DF 1||F 1F 2|=22c 2=22,故c =1.从而|DF 1|=22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2=|DF 1|2+|F 1F 2|2=92,因此|DF 2|=3 22,所以2a =|DF 1|+|DF 2|=2 2,故a =2,b 2=a 2-c 2=1.因此,所求椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)如图所示,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22+y 2=1相交,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是两个交点,y 1>0,y 2>0,F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性,易知,x 2=-x 1,y 1=y 2.由(1)知F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1P 1=(x 1+1,y 1),F 2P 2→=(-x 1-1,y 1).再由F 1P 1⊥F 2P 2得-(x 1+1)2+y 21=0.由椭圆方程得1-x 212=(x 1+1)2,即3x 21+4x 1=0,解得x 1=-43或x 1=0. 当x 1=0时,P 1,P 2重合,题设要求的圆不存在.当x 1=-43时,过P 1,P 2分别与F 1P 1,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0,y 0),由CP 1⊥F 1P 1,得y 1-y 0x 1·y 1x 1+1=-1.而y 1=|x 1+1|=13,故y 0=53.圆C 的半径|CP 1|=⎝⎛⎭⎫-432+⎝⎛⎭⎫13-532=4 23.综上,存在满足题设条件的圆,其方程为x 2+⎝⎛⎭⎫y -532=329.H3 圆的方程 6.,,[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2+(y -3)2=4的圆心,且与直线x +y +1=0垂直,则l 的方程是( )A .x +y -2=0B .x -y =2=0C .x +y -3=0D .x -y +3=06.D [解析] 由直线l 与直线x +y +1=0垂直,可设直线l 的方程为x -y +m =0. 又直线l 过圆x 2+(y -3)2=4的圆心(0,3),则m =3,所以直线l 的方程为x -y +3=0,故选D.17.[2014·湖北卷] 已知圆O :x 2+y 2=1和点A (-2,0),若定点B (b ,0)(b ≠-2)和常数λ满足:对圆O 上任意一点M ,都有|MB |=λ|MA |,则(1)b =________; (2)λ=________.17.(1)-12 (2)12[解析] 设点M (cos θ,sin θ),则由|MB |=λ|MA |得(cos θ-b )2+sin 2θ=λ2[](cos θ+2)2+sin 2θ,即-2b cos θ+b 2+1=4λ2cos θ+5λ2对任意的θ都成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧-2b =4λ2,b 2+1=5λ2.又由|MB |=λ|MA |,得λ>0,且b ≠-2,解得⎩⎨⎧b =-12,λ=12. 18.、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示,为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m .经测量,点A 位于点O 正北方向60 m 处,点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸),tan∠BCO =43.(1)求新桥BC 的长.(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大?图1-618.解: 方法一:(1)如图所示, 以O 为坐标原点, OC 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170,0),直线 BC 的斜率k BC =-tan ∠BCO =-43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB =34.设点 B 的坐标为(a ,b ),则k BC =b -0a -170=-43, k AB =b -60a -0=34,解得a =80, b =120,所以BC =(170-80)2+(0-120)2=150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM =d m (0≤d ≤60). 由条件知, 直线BC 的方程为y =-43(x -170),即4x +3y -680=0.由于圆M 与直线BC 相切, 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ,即r =|3d - 680|42+32=680-3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r -d ≥80,r -(60-d )≥80,即⎩⎨⎧680-3d5-d ≥80,680 - 3d5-(60-d )≥80,解得10≤d ≤35.故当d =10时, r =680 - 3d5最大, 即圆面积最大,所以当OM =10 m 时, 圆形保护区的面积最大. 方法二:(1)如图所示, 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO =43,所以sin ∠FCO =45, cos ∠FCO =35.因为OA =60,OC =170,所以OF =OC tan ∠FCO =6803, CF =OC cos ∠FCO =8503, 从而AF =OF -OA =5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45.又因为 AB ⊥BC ,所以BF =AF cos ∠AFB =4003, 从而BC =CF -BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ,连接 MD ,则MD ⊥BC ,且MD 是圆M 的半径,并设MD =r m ,OM =d m (0≤d ≤60).因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO =cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO =MD MF =MD OF -OM =r 6803-d =35, 所以r =680-3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r -d ≥80,r -(60-d )≥80,即⎩⎨⎧680-3d5-d ≥80,680-3d5-(60-d )≥80,解得10≤d ≤35.故当d =10时, r =680 - 3d5最大,即圆面积最大,所以当OM =10 m 时, 圆形保护区的面积最大. 20.、、[2014·辽宁卷] 圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图1-5所示).(1)求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线l :y =x +3交于A ,B 两点,若△P AB 的面积为2,求C 的标准方程.20.解:(1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则切线斜率为-x 0y 0,切线方程为y -y 0=-x 0y 0(x -x 0),即x 0x +y 0y =4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝⎛⎭⎫4x 0,0,⎝⎛⎭⎫0,4y 0,其围成的三角形的面积S =12·4x 0·4y 0=8x 0y 0.由x 20+y 20=4≥2x 0y 0知当且仅当x 0=y 0=2时x 0y 0有最大值,即S 有最小值,因此点P 的坐标为(2,2).(2)设C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由点P 在C 上知2a2+2b2=1,并由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2+y 2b 2=1,y =x +3,得b 2x 2+43x +6-2b 2=0. 又x 1,x 2是方程的根,所以⎩⎨⎧x 1+x 2=-43b2,x 1x 2=6-2b 2b2.由y 1=x 1+3,y 2=x 2+3,得|AB |=4 63|x 1-x 2|=2·48-24b 2+8b 4b 2.由点P 到直线l 的距离为32及S △P AB =12×32|AB |=2,得|AB |=4 63,即b 4-9b 2+18=0,解得b 2=6或3,因此b 2=6,a 2=3(舍)或b 2=3,a 2=6,从而所求C 的方程为x 26+y 23=1.20.、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2,2),圆C :x 2+y 2-8y =0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP |=|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积. 20.解:(1)圆C 的方程可化为x 2+(y -4)2=16, 所以圆心为C (0,4),半径为4.设M (x ,y ),则CM =(x ,y -4),MP =(2-x ,2-y ). 由题设知CM ·MP =0,故x (2-x )+(y -4)(2-y )=0,即(x -1)2+(y -3)2=2. 由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是(x -1)2+(y -3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP |=|OM |,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3,所以直线l 的斜率为-13,故l 的方程为y =-13x +83.又|OM |=|OP |=2 2,O 到直线l 的距离为4105,故|PM |=4105,所以△POM 的面积为165.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 5.[2014·浙江卷] 已知圆x 2+y 2+2x -2y +a =0截直线x +y +2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( )A .-2B .-4C .-6D .-85.B [解析] 圆的标准方程为(x +1)2+(y -1)2=2-a ,r 2=2-a ,则圆心(-1,1)到直线x +y +2=0的距离为|-1+1+2|2= 2.由22+(2)2=2-a ,得a =-4, 故选B.6.[2014·安徽卷] 过点P (-3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0,π6B.⎝⎛⎦⎤0,π3C.⎣⎡⎦⎤0,π6D.⎣⎡⎦⎤0,π36.D [解析] 易知直线l 的斜率存在,所以可设l :y +1=k (x +3),即kx -y +3k -1=0.因为直线l 圆x 2+y 2=1有公共点,所以圆心(0,0)到直线l 的距离|3k -1|1+k 2≤1,即k 2-3k ≤0,解得0≤k ≤3,故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0,π3.7.[2014·北京卷] 已知圆C :(x -3)2+(y -4)2=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m >0).若圆C 上存在点P ,使得∠APB =90°,则m 的最大值为( )A .7B .6C .5D .47.B [解析] 由图可知,圆C 上存在点P 使∠APB =90°,即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点,所以32+42-1≤m ≤32+42+1,即4≤m ≤6.11.,[2014·福建卷] 已知圆C :(x -a )2+(y -b )2=1,平面区域Ω:⎩⎪⎨⎪⎧x +y -7≤0,x -y +3≥0,y ≥0.若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切,则a 2+b 2的最大值为( )A .5B .29C .37D .4911.C [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -7≤0,x -y +3≥0,y ≥0表示的平面区域Ω(如下图阴影部分所示,含边界),圆C :(x -a )2+(y -b )2=1的圆心坐标为(a ,b ),半径为1.由圆C 与x 轴相切,得b =1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -7=0,y =1,得⎩⎪⎨⎪⎧x =6,y =1,即直线x +y -7=0与直线y =1的交点坐标为(6,1),设此点为P .又点C ∈Ω,则当点C 与P 重合时,a 取得最大值, 所以,a 2+b 2的最大值为62+12=37,故选C.21.[2014·福建卷] 已知曲线Γ上的点到点F (0,1)的距离比它到直线y =-3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程.(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ,直线y =3分别与直线l 及y 轴交于点M ,N .以MN 为直径作圆C ,过点A 作圆C 的切线,切点为B .试探究:当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时,线段AB 的长度是否发生变化?证明你的结论.21.解:方法一:(1)设S (x ,y )为曲线Γ上任意一点.依题意,点S 到点F (0,1)的距离与它到直线y =-1的距离相等, 所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点,直线y =-1为准线的抛物线, 所以曲线Γ的方程为x 2=4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时,线段AB 的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线Γ的方程为y =14x 2.设P (x 0,y 0)(x 0≠0),则y 0=14x 20,由y ′=12x ,得切线l 的斜率k =y ′|x =x 0=12x 0,所以切线l 的方程为y -y 0=12x 0(x -x 0),即y =12x 0x -14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y =12x 0x -14x 20,y =0,得A ⎝⎛⎭⎫12x 0,0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =12x 0x -14x 20,y =3,得M ⎝⎛⎭⎫12x 0+6x 0,3. 又N (0,3),所以圆心C ⎝⎛⎭⎫14x 0+3x 0,3, 半径r =12|MN |=⎪⎪⎪⎪14x 0+3x 0, |AB |=|AC |2-r 2 =⎣⎡⎦⎤12x 0-⎝⎛⎭⎫14x 0+3x 02+32-⎝⎛⎭⎫14x 0+3x 02= 6.所以点P 在曲线Γ上运动时,线段AB 的长度不变. 方法二:(1)设S (x ,y )为曲线Γ上任意一点,则|y -(-3)|-(x -0)2+(y -1)2=2.依题意,点S (x ,y )只能在直线y =-3的上方,所以y >-3,所以(x -0)2+(y -1)2=y +1, 化简得,曲线Γ的方程为x 2=4y . (2)同方法一. 6.[2014·湖南卷] 若圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2-6x -8y +m =0外切,则m =( ) A .21 B .19 C .9 D .-11 6.C [解析] 依题意可得C 1(0,0),C 2(3,4),则|C 1C 2|=33+42=5.又r 1=1,r 2=25-m ,由r 1+r 2=25-m +1=5,解得m =9.9.[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,直线x +2y -3=0被圆(x -2)2+(y +1)2=4截得的弦长为________.9.25 55 [解析] 由题意可得,圆心为(2,-1),r =2,圆心到直线的距离d =|2-2-3|12+22=355,所以弦长为2r 2-d 2=2 4-95=2555 .18.、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示,为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m .经测量,点A 位于点O 正北方向60 m 处,点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸),tan ∠BCO =43.(1)求新桥BC 的长.(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大?图1-618.解: 方法一:(1)如图所示, 以O 为坐标原点, OC 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170,0),直线 BC 的斜率k BC =-tan ∠BCO =-43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB =34.设点 B 的坐标为(a ,b ),则k BC =b -0a -170=-43, k AB =b -60a -0=34,解得a =80, b =120,所以BC =(170-80)2+(0-120)2=150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM =d m (0≤d ≤60). 由条件知, 直线BC 的方程为y =-43(x -170),即4x +3y -680=0.由于圆M 与直线BC 相切, 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ,即r =|3d - 680|42+32=680-3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r -d ≥80,r -(60-d )≥80,即⎩⎨5680 - 3d5-(60-d )≥80,解得10≤d ≤35.故当d =10时, r =680 - 3d5最大, 即圆面积最大,所以当OM =10 m 时, 圆形保护区的面积最大. 方法二:(1)如图所示, 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO =43,所以sin ∠FCO =45, cos ∠FCO =35.因为OA =60,OC =170,所以OF =OC tan ∠FCO =6803, CF =OC cos ∠FCO =8503, 从而AF =OF -OA =5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45.又因为 AB ⊥BC ,所以BF =AF cos ∠AFB =4003, 从而BC =CF -BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ,连接 MD ,则MD ⊥BC ,且MD 是圆M 的半径,并设MD =r m ,OM =d m (0≤d ≤60).因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO =cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO =MD MF =MD OF -OM =r 6803-d =35, 所以r =680-3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r -d ≥80,r -(60-d )≥80,即⎩⎨5680-3d5-(60-d )≥80,解得10≤d ≤35.故当d =10时, r =680 - 3d5最大,即圆面积最大,所以当OM =10 m 时, 圆形保护区的面积最大. 16.、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线.若l 1与l 2的交点为(1,3),则l 1与l 2的夹角的正切值等于________.16.43 [解析] 如图所示,根据题意知,OA ⊥P A ,OA =2,OP =10,所以P A =OP 2-OA 2=2 2,所以tan ∠OP A =OA P A =22 2=12,故tan ∠APB =2tan ∠OP A 1-tan 2∠OP A =43,即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.12.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN =45°,则x 0的取值范围是( )A. [-1,1]B. ⎣⎡⎦⎤-12,12C. [-2,2]D. ⎣⎡⎦⎤-22,22 12.A [解析] 点M (x 0,1)在直线y =1上,而直线y =1与圆x 2+y 2=1相切.据题意可设点N (0,1),如图,则只需∠OMN ≥45°即可,此时有tan ∠OMN =|ON ||MN |≥tan 45°,得0<|MN |≤|ON |=1,即0<|x 0|≤1,当M 位于点(0,1)时,显然在圆上存在点N 满足要求,综上可知-1≤x 0≤1.20.、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2,2),圆C :x 2+y 2-8y =0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP |=|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积. 20.解:(1)圆C 的方程可化为x 2+(y -4)2=16, 所以圆心为C (0,4),半径为4.设M (x ,y ),则CM =(x ,y -4),MP =(2-x ,2-y ). 由题设知CM ·MP =0,故x (2-x )+(y -4)(2-y )=0,即(x -1)2+(y -3)2=2. 由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是(x -1)2+(y -3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP |=|OM |,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3,所以直线l 的斜率为-13,故l 的方程为y =-13x +83.又|OM |=|OP |=2 2,O 到直线l 的距离为4105,故|PM |=4105,所以△POM 的面积为165.14.[2014·山东卷] 圆心在直线x -2y =0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为23,则圆C 的标准方程为________.14.(x -2)2+(y -1)2=4 [解析] 因为圆心在直线x -2y =0上,所以可设圆心坐标为(2b ,b ).又圆C 与y 轴的正半轴相切,所以b >0,圆的半径是2b .由勾股定理可得b 2+(3)2=4b 2,解得b =±1.又因为b >0,所以b =1,所以圆C 的圆心坐标为(2,1),半径是2,所以圆C 的标准方程是(x -2)2+(y -1)2=4.14.[2014·重庆卷] 已知直线x -y +a =0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x -4y -4=0相交于A ,B 两点,且AC ⊥BC ,则实数a 的值为________.14.0或6 [解析] ∵圆C 的标准方程为(x +1)2+(y -2)2=9,∴圆心为C (-1,2),半径为 3.∵AC ⊥BC ,∴|AB |=3 2.∵圆心到直线的距离d =|-1-2+a |2=|a -3|2,∴|AB |=2r 2-d 2=29-⎝ ⎛⎭⎪⎫|a -3|22=3 2,即(a -3)2=9,∴a =0或a =6. 9.、[2014·四川卷] 设m ∈R ,过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx -y -m +3=0交于点P (x ,y ),则|P A |+|PB |的取值范围是( )A .[5,2 5 ]B .[10,2 5 ]C .[10,4 5 ]D .[25,4 5 ]9.B [解析] 由题意可知,定点A (0,0),B (1,3),且两条直线互相垂直, 则其交点P (x ,y )落在以AB 为直径的圆周上,所以|P A |2+|PB |2=|AB |2=10,即|P A |+|PB |≥|AB |=10. 又|P A |+|PB |=(|P A |+|PB |)2= |P A |2+2|P A ||PB |+|PB |2≤ 2(|P A |2+|PB |2)=2 5,所以|P A |+|PB |∈[10,2 5],故选B.21.、、、[2014·重庆卷] 如图1-5,设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点D 在椭圆上,DF 1⊥F 1F 2,|F 1F 2||DF 1|=22,△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程.(2)是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.21.解:(1)设F 1(-c ,0),F 2(c ,0),其中c 2=a 2-b 2. 由|F 1F 2||DF 1|=2 2得|DF 1|=|F 1F 2|2 2=22c . 从而S △DF 1F 2=12|DF 1||F 1F 2|=22c 2=22,故c =1.从而|DF 1|=22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2=|DF 1|2+|F 1F 2|2=92,因此|DF 2|=3 22,所以2a =|DF 1|+|DF 2|=2 2,故a =2,b 2=a 2-c 2=1.因此,所求椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)如图所示,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22+y 2=1相交,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是两个交点,y 1>0,y 2>0,F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性,易知,x 2=-x 1,y 1=y 2.由(1)知F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1P 1=(x 1+1,y 1),F 2P 2→=(-x 1-1,y 1).再由F 1P 1⊥F 2P 2得-(x 1+1)2+y 21=0.由椭圆方程得1-x 212=(x 1+1)2,即3x 21+4x 1=0,解得x 1=-43或x 1=0. 当x 1=0时,P 1,P 2重合,题设要求的圆不存在.当x 1=-43时,过P 1,P 2分别与F 1P 1,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0,y 0),由CP 1⊥F 1P 1,得y 1-y 0x 1·y 1x 1+1=-1.而y 1=|x 1+1|=13,故y 0=53.圆C 的半径|CP 1|=⎝⎛⎭⎫-432+⎝⎛⎭⎫13-532=4 23.综上,存在满足题设条件的圆,其方程为x 2+⎝⎛⎭⎫y -532=329.H5 椭圆及其几何性质21.、、、[2014·重庆卷] 如图1-5,设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点D 在椭圆上,DF 1⊥F 1F 2,|F 1F 2||DF 1|=22,△DF 1F 2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程.(2)是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.21.解:(1)设F 1(-c ,0),F 2(c ,0),其中c 2=a 2-b 2. 由|F 1F 2||DF 1|=2 2得|DF 1|=|F 1F 2|2 2=22c . 从而S △DF 1F 2=12|DF 1||F 1F 2|=22c 2=22,故c =1.从而|DF 1|=22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2=|DF 1|2+|F 1F 2|2=92,因此|DF 2|=3 22,所以2a =|DF 1|+|DF 2|=2 2,故a =2,b 2=a 2-c 2=1.因此,所求椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)如图所示,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22+y 2=1相交,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是两个交点,y 1>0,y 2>0,F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性,易知,x 2=-x 1,y 1=y 2.由(1)知F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1P 1=(x 1+1,y 1),F 2P 2→=(-x 1-1,y 1).再由F 1P 1⊥F 2P 2得-(x 1+1)2+y 21=0.由椭圆方程得1-x 212=(x 1+1)2,即3x 21+4x 1=0,解得x 1=-43或x 1=0. 当x 1=0时,P 1,P 2重合,题设要求的圆不存在.当x 1=-43时,过P 1,P 2分别与F 1P 1,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0,y 0),由CP 1⊥F 1P 1,得y 1-y 0x 1·y 1x 1+1=-1.而y 1=|x 1+1|=13,故y 0=53.圆C 的半径|CP 1|=⎝⎛⎭⎫-432+⎝⎛⎭⎫13-532=4 23.综上,存在满足题设条件的圆,其方程为x 2+⎝⎛⎭⎫y -532=329.20.、[2014·安徽卷] 设函数f (x )=1+(1+a )x -x 2-x 3,其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性;(2)当x ∈[0,1]时,求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值. 20.解: (1)f (x )的定义域为(-∞,+∞), f ′(x )=1+a -2x -3x 2.令f ′(x )=0,得x 1=-1-4+3a3,x 2=-1+4+3a 3,且x 1<x 2,所以f ′(x )=-3(x -x 1)(x -x 2). 当x <x 1或x >x 2时,f ′(x )<0; 当x 1<x <x 2时,f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-1-4+3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+4+3a 3,+∞内单调递减,在⎝⎛⎭⎪⎫-1-4+3a 3,-1+4+3a 3内单调递增.(2)因为a >0,所以x 1<0,x 2>0,①当a ≥4时,x 2≥1,由(1)知,f (x )在[0,1]上单调递增,所以f (x )在x =0和x =1处分别取得最小值和最大值.②当0<a <4时,x 2<1,由(1)知,f (x )在[0,x 2]上单调递增,在[x 2,1]上单调递减,因此f (x )在x =x 2=-1+4+3a3处取得最大值.又f (0)=1,f (1)=a ,所以当0<a <1时,f (x )在x =1处取得最小值;当a =1时,f (x )在x =0和x =1处同时取得最小值; 当1<a <4时,f (x )在x =0处取得最小值. 19.[2014·北京卷] 已知椭圆C :x 2+2y 2=4. (1)求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点,若点A 在直线y =2上,点B 在椭圆C 上,且OA ⊥OB ,求线段AB 长度的最小值.19.解:(1)由题意,椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1.所以a 2=4,b 2=2,从而c 2=a 2-b 2=2. 因此a =2,c = 2.故椭圆C 的离心率e =c a =22.(2)设点A ,B 的坐标分别为(t ,2),(x 0,y 0), 其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ,所以OA →·OB →=0, 即tx 0+2y 0=0,解得t =-2y 0x 0.又x 20+2y 20=4,所以 |AB |2=(x 0-t )2+(y 0-2)2=⎝⎛⎭⎫x 0+2y 0x 02+(y 0-2)2 =x 20+y 20+4y 20x 20+4=x 20+4-x 202+2(4-x 20)x 2+4 =x 202+8x 20+4 (0<x 20≤4). 因为x 202+8x 20≥4(0<x 20≤4),当x 20=4时等号成立,所以|AB |2≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2.20.、[2014·广东卷] 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点P (x 0,y 0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.20.、、[2014·湖南卷] 如图1-5所示,O 为坐标原点,双曲线C 1:x 2a 21-y 2b 21=1(a 1>0,b 1>0)和椭圆C 2:y 2a 22+x 2b 22=1(a 2>b 2>0)均过点P ⎝⎛⎭⎫233,1,且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C 1,C 2的方程.(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A ,B 两点,与C 2只有一个公共点,且|OA →+OB →|=|AB | ?证明你的结论.20.解: (1)设C 2的焦距为2c 2,由题意知,2c 2=2,2a 1=2,从而a 1=1,c 2=1.因为点P ⎝⎛⎭⎫233,1在双曲线x 2-y 2b 21=1上,所以⎝⎛⎭⎫2332-1b 21=1,故b 21=3. 由椭圆的定义知2a 2=⎝⎛⎭⎫2332+(1-1)2+⎝⎛⎭⎫2332+(1+1)2=2 3.于是a 2=3,b 22=a 22-c 22=2.故C 1,C 2的方程分别为x 2-y 23=1,y 23+x 22=1.(2)不存在符合题设条件的直线.(i)若直线l 垂直于x 轴,因为l 与C 2只有一个公共点,所以直线l 的方程为x =2或x =- 2.当x =2时,易知A (2,3),B (2,-3),所以 |OA →+OB →|=22,|AB →|=2 3.此时,|OA →+OB →|≠|AB →|.当 x =-2时,同理可知,|OA →+OB →|≠|AB →|.(ii)若直线l 不垂直于x 轴,设l 的方程为y =kx +m ,由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 2-y 23=1得(3-k 2)x 2-2kmx -m 2-3=0. 当l 与C 1相交于A ,B 两点时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个实根,从而x 1+x 2=2km3-k 2,x 1x 2=m 2+3k 2-3.于是y 1y 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3k 2-3m 2k 2-3.由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,y 23+x 22=1得(2k 2+3)x 2+4kmx +2m 2-6=0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k 2m 2-8(2k 2+3)(m 2-3)=0.化简,得2k 2=m 2-3.因此OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=m 2+3k 2-3+3k 2-3m 2k 2-3=-k 2-3k 2-3≠0,于是OA →2+OB →2+2OA →·OB →≠OA →2+OB →2-2OA →·OB →,即|OA →+OB →|2≠|OA →-OB →|2. 故|OA →+OB →|≠|AB →|.综合(i),(ii)可知,不存在符合题设条件的直线.17.、[2014·江苏卷] 如图1-5所示,在平面直角坐标系xOy 中,F 1,F 2分别是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0,b ),连接BF 2并延长交椭圆于点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43,13,且BF 2=2,求椭圆的方程; (2)若F 1C ⊥AB ,求椭圆离心率e 的值.图1-517.解: 设椭圆的焦距为2c, 则 F 1(-c, 0), F 2(c, 0).(1)因为B (0, b ), 所以BF 2=b 2+c 2=a .又BF 2=2, 故a = 2. 因为点C ⎝⎛⎭⎫43,13在椭圆上,所以169a 2+19b 2=1,解得b 2=1. 故所求椭圆的方程为x 22+y 2=1.(2)因为B (0, b ), F 2(c, 0)在直线 AB 上,所以直线 AB 的方程为 x c +yb=1.解方程组⎩⎨⎧x c +yb=1,x 2a 2+y 2b 2=1,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=2a 2c a 2+c2,y 1=b (c 2-a 2)a 2+c2,⎩⎪⎨⎪⎧x 2=0,y 2=b ,所以点 A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2+c 2,b (c 2-a 2)a 2+c 2.又AC 垂直于x 轴, 由椭圆的对称性,可得点 C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2+c 2,b (a 2-c 2)a 2+c 2.因为直线 F 1C 的斜率为b (a 2-c 2)a 2+c 2-02a 2c a 2+c 2-(-c )=b (a 2-c 2)3a 2c +c3,直线AB 的斜率为-bc ,且F 1C ⊥AB ,所以b (a 2-c 2)3a 2c +c3·⎝⎛⎭⎫-b c =-1.又b 2=a 2-c 2,整理得a 2=5c 2,故e 2=15, 因此e =55. 14.[2014·江西卷] 设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,过F 2作x轴的垂线与C 相交于A ,B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D .若AD ⊥F 1B ,则椭圆C 的离心率等于________.14.33[解析] 由题意A ⎝⎛⎭⎫c ,b 2a ,B ⎝⎛⎭⎫c ,-b 2a ,F 1(-c ,0),则直线F 1B 的方程为y -0=-b 2a 2c(x +c ). 令x =0,得y =-b 22a,即D ⎝⎛⎭⎫0,-b 22a ,则向量DA =⎝⎛⎭⎫c ,3b 22a ,F 1B →=⎝⎛⎭⎫2c ,-b 2a .因为AD ⊥F 1B ,所以DA →·F 1B →=2c 2-3b 42a2=0,即2ac =3b 2=3(a 2-c 2),整理得(3e -1)(e +3)=0,所以e =33(e >0).故椭圆C 的离心率为33.20.、、[2014·辽宁卷] 圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图1-5所示).(1)求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线l :y =x +3交于A ,B 两点,若△P AB 的面积为2,求C 的标准方程.20.解:(1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则切线斜率为-x 0y 0,切线方程为y -y 0=-x 0y 0(x -x 0),即x 0x +y 0y =4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝⎛⎭⎫4x 0,0,⎝⎛⎭⎫0,4y 0,其围成的三角形的面积S =12·4x 0·4y 0=8x 0y 0.由x 20+y 20=4≥2x 0y 0知当且仅当x 0=y 0=2时x 0y 0有最大值,即S 有最小值,因此点P 的坐标为(2,2).(2)设C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由点P 在C 上知2a2+2b2=1,并由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2+y 2b 2=1,y =x +3,得b 2x 2+43x +6-2b 2=0. 又x 1,x 2是方程的根,所以⎩⎨⎧x 1+x 2=-43b2,x 1x 2=6-2b 2b2.由y 1=x 1+3,y 2=x 2+3,得|AB |=4 63|x 1-x 2|=2·48-24b 2+8b 4b 2.由点P 到直线l 的距离为32及S △P AB =12×32|AB |=2,得|AB |=4 63,即b 4-9b 2+18=0,解得b 2=6或3,因此b 2=6,a 2=3(舍)或b 2=3,a 2=6,从而所求C 的方程为x 26+y 23=1.9.[2014·全国卷] 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点为F 1,F 2,离心率为33,过F 2的直线l 交C 于A ,B 两点.若△AF 1B 的周长为4 3,则C 的方程为( )A.x 23+y 22=1B.x 23+y 2=1 C.x 212+y 28=1 D.x 212+y 24=1 9.A [解析] 根据题意,因为△AF 1B 的周长为43,所以|AF 1|+|AB |+|BF 1|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a =43,所以a = 3.又因为椭圆的离心率e =c a =33,所以c =1,b 2=a 2-c 2=3-1=2,所以椭圆C 的方程为x 23+y 22=1.20.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直.直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率;(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且|MN |=5|F 1N |,求a ,b .20.解:(1)根据c =a 2-b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ,b2a ,2b 2=3ac . 将b 2=a 2-c 2代入2b 2=3ac , 解得c a =12,ca =-2(舍去).故C 的离心率为12.(2)由题意知,原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴,所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点,故b 2a=4,即b 2=4a .①由|MN |=5|F 1N |得|DF 1|=2|F 1N |. 设N (x 1,y 1),由题意知y 1<0,则⎩⎪⎨⎪⎧2(-c -x 1)=c ,-2y 1=2,即⎩⎪⎨⎪⎧x 1=-32c ,y 1=-1. 代入C 的方程,得9c 24a 2+1b2=1.②将①及c =a 2-b 2代入②得9(a 2-4a )4a 2+14a=1,解得a =7,b 2=4a =28,故a =7,b =27.21.,,[2014·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4105. (1)求椭圆C 的方程.(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ,B 两点(A ,B 不是椭圆C 的顶点).点D 在椭圆C 上,且AD ⊥AB ,直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ,N 两点.(i)设直线BD ,AM 的斜率分别为k 1,k 2,证明存在常数λ使得k 1=λk 2,并求出λ的值;(ii)求△OMN 面积的最大值.21.解:(1)由题意知,a 2-b 2a =32,可得a 2=4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2+4y 2=a 2. 将y =x 代入可得x =±5a 5. 因此2×25a 5=4105,即a =2,所以b =1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)(i)设A (x 1,y 1)(x 1y 1≠0),D (x 2,y 2),则B (-x 1,-y 1). 因为直线AB 的斜率k AB =y 1x 1,且AB ⊥AD ,所以直线AD 的斜率k =-x 1y 1.设直线AD 的方程为y =kx +m , 由题意知k ≠0,m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 24+y 2=1,消去y ,得(1+4k 2)x 2+8mkx +4m 2-4=0, 所以x 1+x 2=-8mk 1+4k 2,因此y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m =2m1+4k 2. 由题意知x 1≠-x 2, 所以k 1=y 1+y 2x 1+x 2=-14k =y 14x 1.所以直线BD 的方程为y +y 1=y 14x 1(x +x 1). 令y =0,得x =3x 1,即M (3x 1,0). 可得k 2=-y 12x 1.所以k 1=-12k 2,即λ=-12.因此,存在常数λ=-12使得结论成立.(ii)直线BD 的方程y +y 1=y 14x 1(x +x 1),令x =0,得y =-34y 1,即N ⎝⎛⎭⎫0,-34y 1. 由(i)知M (3x 1,0),所以△OMN 的面积S =12×3|x 1|×34|y 1|=98|x 1||y 1|. 因为|x 1||y 1|≤x 214+y 21=1,当且仅当|x 1|2=|y 1|=22时,等号成立, 此时S 取得最大值98,所以△OMN 面积的最大值为98.20.、[2014·陕西卷] 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0).(1)求椭圆的方程;(2)若直线l :y =-12x +m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足|AB ||CD |=534,求直线l 的方程.图1-520.解: (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b =3,c a =12,b 2=a 2-c 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =3,c =1,∴椭圆的方程为x 24+y 23=1.(2)由题设,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=1,∴圆心(0,0)到直线l 的距离d =2|m |5.由d <1,得|m |<52,(*) ∴|CD |=21-d 2=21-45m 2=255-4m 2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎨⎧y =-12x +m ,x 24+y 23=1得x 2-mx +m 2-3=0,由根与系数的关系得x 1+x 2=m ,x 1x 2=m 2-3, ∴|AB |=⎣⎡⎦⎤1+⎝⎛⎭⎫-122[]m 2-4(m 2-3)=1524-m 2.由|AB ||CD |=534,得4-m 25-4m 2=1,解得m =±33,满足(*).∴直线l 的方程为y =-12x +33或y =-12x -33.20.、[2014·四川卷] 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F (-2,0),离心率为63. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设O 为坐标原点,T 为直线x =-3上一点,过F 作TF 的垂线交椭圆于P ,Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积.20.解:(1)由已知可得,c a =63,c =2,所以a = 6.又由a 2=b 2+c 2,解得b =2,所以椭圆C 的标准方程是x 26+y 22=1.(2)设T 点的坐标为(-3,m ),则直线TF 的斜率k TF =m -0-3-(-2)=-m .当m ≠0时,直线PQ 的斜率k PQ =1m,直线PQ 的方程是x =my -2.当m =0时,直线PQ 的方程是x =-2,也符合x =my -2的形式.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得⎩⎪⎨⎪⎧x =my -2,x 26+y 22=1,消去x ,得(m 2+3)y 2-4my -2=0, 其判别式Δ=16m 2+8(m 2+3)>0.所以y 1+y 2=4mm 2+3,y 1y 2=-2m 2+3,x 1+x 2=m (y 1+y 2)-4=-12m 2+3.因为四边形OPTQ 是平行四边形,所以OP →=QT →,即(x 1,y 1)=(-3-x 2,m -y 2).所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=-12m 2+3=-3,y 1+y 2=4mm 2+3=m .解得m =±1.此时,四边形OPTQ 的面积S 四边形OPTQ =2S △OPQ =2×12·|OF |·|y 1-y 2|=2 ⎝⎛⎭⎫4m m 2+32-4·-2m 2+3=2 3. 18.、[2014·天津卷] 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,右顶点为A ,上顶点为B .已知|AB |=32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点F 1,经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ,|MF 2|=22,求椭圆的方程.18.解:(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ,0).由|AB |=32|F 1F 2|,可得a 2+b 2=3c 2.又b 2=a 2-c 2,则c 2a 2=12,所以椭圆的离心率e =22.(2)由(1)知a 2=2c 2,b 2=c 2,。