高中解析几何专题(精编版)1、 (天津文)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2。
点(,)P a b 满足212||||.PF F F = (Ⅰ)求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线PF 2与椭圆相交于A,B 两点,若直线PF 2与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且5||||8MN AB =,求椭圆的方程。
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力,满分13分。
(Ⅰ)解:设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->,因为212||||PF F F =,2c =,整理得2210,1c c c a aa ⎛⎫+-==- ⎪⎝⎭得(舍)或11,.22c e a ==所以(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知2,a c b ==,可得椭圆方程为2223412x y c +=,直线FF 2的方程为).y x c =-A,B 两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理,得2580x cx -=。
解得1280,5x x c ==,得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设8,55A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,(0,)B ,所以16||.5AB c == 于就是5||||2.8MN AB c ==圆心(-到直线PF 2的距离|||2|.22c d +== 因为222||42MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以223(2)16.4c c ++=整理得2712520c c +-=,得267c =-(舍),或 2.c =所以椭圆方程为221.1612x y += 2、 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>右焦点为(,0),斜率为I 的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2)、(I)求椭圆G 的方程; (II)求PAB ∆的面积、 【解析】解:(Ⅰ)由已知得c c a ==解得a =又222 4.b a c =-=所以椭圆G 的方程为221.124x y += (Ⅱ)设直线l 的方程为.m x y += 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=141222y x m x y 得.01236422=-++m mx x设A 、B 的坐标分别为),)(,(),,(212211x x y x y x <AB 中点为E ),(00y x ,则,432210mx x x -=+=400mm x y =+=因为AB 就是等腰△PAB 的底边, 所以PE ⊥AB 、所以PE 的斜率.143342-=+--=m m k 解得m=2。
此时方程①为.01242=+x x 解得.0,321=-=x x 所以.2,121=-=y y 所以|AB|=23、此时,点P(—3,2)到直线AB:02=+-y x 的距离,2232|223|=+--=d 所以△PAB 的面积S=.29||21=⋅d AB3、 (全国大纲文)已知O 为坐标原点,F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点,点P 满足0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r(Ⅰ)证明:点P 在C 上;(II)设点P 关于O 的对称点为Q,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。
【解析】22.解:(I)F(0,1),l 的方程为21y x =-+,代入221y x +=并化简得 242210.x x --=…………2分设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y则122626,44x x == 12121222()21,x x y y x x +=+=++=由题意得3123122()() 1.x x x y y y =-+==-+=- 所以点P 的坐标为2(1).2-- 经验证,点P 的坐标为2(1)-满足方程 221,2y x +=故点P 在椭圆C 上。
(II)由2(1)P -与题设知, 2Q PQ 的垂直一部分线1l 的方程为2.y x = ①设AB 的中点为M,则21()42M ,AB 的垂直平分线为2l 的方程为 21.24y x =+ ②由①、②得12,l l 的交点为21(,)88N -21||8||||||||||8NPAB x xAMMNNA===-======故|NP|=|NA|。
又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|,所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|,由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上。
4、 (全国新文)在平面直角坐标系xOy中,曲线261y x x=-+与坐标轴的交点都在圆C上.(I)求圆C的方程;(II)若圆C与直线0x y a-+=交于A,B两点,且,OA OB⊥求a的值.【解析】解:(Ⅰ)曲线162+-=xxy与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为().0,223(),0,223-+故可设C的圆心为(3,t),则有,)22()1(32222tt+=-+解得t=1、则圆C的半径为.3)1(322=-+t所以圆C的方程为.9)1()3(22=-+-yx(Ⅱ)设A(11,yx),B(22,yx),其坐标满足方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022yxayx消去y,得到方程.012)82(222=+-+-+aaxax由已知可得,判别式.0416562>--=∆aa因此,,441656)28(22,1aaax--±-=从而212,422121+-=-=+aaxxaxx①由于OA⊥OB,可得,02121=+yyxx又,,2211axyaxy+=+=所以.0)(222121=+++axxaxx②由①,②得1-=a,满足,0>∆故.1-=a5、 (辽宁文)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(I)设12e=,求BC与AD的比值;(II)当e变化时,就是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.【解析】解:(I)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y xC C a ba b a a+=+=>>设直线:(||)l x t t a=<,分别与C1,C2的方程联立,求得2222(),().a bA t a tB t a tb a--………………4分当13,,,2A Be b y y==时分别用表示A,B的纵坐标,可知222||3||:||.2||4BAy bBC ADy a===………………6分(II)t=0时的l不符合题意、0t≠时,BO//AN当且仅当BO的斜率k BO与AN的斜率k AN相等,即2222,b aa t a ta bt t a--=-解得222221.ab et aa b e-=-=-⋅-因为2212||,01,1, 1.2et a e ee-<<<<<<又所以解得所以当20e<≤时,不存在直线l,使得BO//AN;当212e<<时,存在直线l使得BO//AN、………………12分6、 (江西文)已知过抛物线()y px p=2>0的焦点,斜率为22(,)A x y11与(,)()B x y x x2212<两点,且AB=9,(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若λ+=,求λ的值.【解析】19.(本小题满分12分)(1)直线AB 的方程就是22()2py x =-,与22y px =联立,从而有22450,x px p -+=所以:1254px x +=由抛物线定义得:12||9,AB x x p =++=所以p=4,从而抛物线方程就是28.y x = (2)由224,450p x px p =-+=可简化为212540,1,4,x x x x -+===从而1222,42,y y =-=从而(1,22),(4,42)A B - 设33(,)(122)(4,42)(41,4222)OC x y λλλ==-+=+-u u u r又22338,[22(21)]8(41),y x λλ=-=+即即2(21)41λλ-=+ 解得0, 2.λλ==或7、 (山东文)22.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:13x C y +=.如图所示,斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为E ,射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3,)D m -. (Ⅰ)求22m k +的最小值;(Ⅱ)若2OG OD =∙OE ,(i)求证:直线l 过定点;(ii)试问点B ,G 能否关于x 轴对称？若能,求出此时ABG V 的外接圆方程;若不能,请说明理由.【解析】22.(I)解:设直线(0)l y kx t k =+>的方程为,由题意,0.t >由方程组22,1,3y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(31)6330k x ktx t +++-=, 由题意0∆>, 所以2231.k t +>设1122(,),(,)A x y B x y ,由韦达定理得1226,31kt x x k +=-+所以1222.31ty y k +=+由于E 为线段AB 的中点,因此223,,3131E E kt tx y k k ==++此时1.3E OE E y k x k ==-所以OE 所在直线方程为1,3y x k=- 又由题设知D(-3,m),令x=-3,得1m k=,即mk=1,所以2222,m k mk +≥=当且仅当m=k=1时上式等号成立, 此时 由0∆>得02,t <<因此 当102m k t ==<<且时, 22m k +取最小值2。
(II)(i)由(I)知OD 所在直线的方程为1,3y x k=-将其代入椭圆C 的方程,并由0,k >解得(G ,又2231(,),(3,)3131k t E D k k k --++,由距离公式及0t >得22222291||(,31||||31k OG k OD kOE k +=+=+====+由2||||||,OG OD OE t k =⋅=得 因此,直线l 的方程为(1).y k x =+ 所以,直线(1,0).l -恒过定点(ii)由(i)得(G 若B,G 关于x 轴对称,则(B代入2(1)31y k x k =+-=整理得即426710k k -+=,解得216k =(舍去)或21,k =所以k=1,此时3131(,),(,)2222B G ---关于x 轴对称。