等差数列的其它性质
1.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
am+an=ap+aq
在等差数列中，与首末两项距离相等的两项 和等于首末两项的和，即
a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2
特别地,若 mn,则2p aman 2ap
注意：以上三个，反之不一定成立
2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项
这是一个以和d为未知数的二元 一次方程组。 a1=4,d=1.5 即这个等差数列的首项是 4，
公差是 1.5
方法2:an d a5 a15 1.5
mn
5 15
a5 a1 4d a1 4
变式一：已 an知 中等 a， 51差 ,0a15数 2,5列
10
●
9 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
8
●
7
6
●
5
4
●
3
2
●
1
●
0 1234
5 6 7 8 9 10
●
10
9 （2）数列：7，4，1，-2，…
8
7
●
6
5
4
●
3
2
●
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
10 9 （3）数列：4，4，4，4，4，4，4，… 8
7 6
5
4
等差数列通项的性质
复习提问
1:什么叫等差数列:
2.通项公式: ana1(n1)d
通项公式的拓展: (1)a.nam(nm )d
(2)d aman mn
同学们请画出以下三个等差数列的图像 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，… （2）数列：7，4，1，-2，… （3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
求 a25 .
由于 P（5，10) Q（15，25）R（25,x) 在同一直线上，
故有：
x—2-25—5-15=
2—5-—10 15-5
则x=35
变式二：已a知 n中等 a， 5差 1,0a数 123列 ,7
判7别 是 9 否是该数 ,若列 是中 是的 第 . 项 几
由等差数列的几何意义可知：等差数列的图 象是一条直线上一群孤立的点。
b ac 2
2b= a+c
注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；
②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目的项， 如a1+a2=a3 成立吗？
例 1 ：已知 an等 中a5 差 ， 1,a 0 数 15 2列 ,5
求首 a1和项 公 d. 差
解：由题意可知
解这个方程组，得 a1+4d=10 (1) a1+14d=25 (2)
a101=154
例2： 已知一个直角三角形的三边的长成等差数列， 求证： 它们的比是3:4:5.
证法1 设三边为：a , a+d , a+2d (d >0) 证法2 设三边为： a-d , a , a+d (d >0)
比较这两种设法哪一种更好。
证明： 将成等差数列的三条边的长从小到大排列，
它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d>0,d>0)
求 a2 a8的值.
(2)若 .a5a,a10 b,则 a15 _2b_ -a __
(3 )若 .a 1a2a530
a6a7a10 80
a11 a12a15 130
(4) 若a59=70，a80=112，求a101； d=2, (5) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q
d= -1, ap+q =0
● ● ●● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
已知数 an的 列通项 an 公 pn 式 q(p,q为常数）
数列是否是如 等果 差是 数， 列其 ，是 首什 项么 和
得出结论:
等差数列以项数为自变量，向为函数的图 像是一些孤立的点，并且这些点在一条直线 上。
由勾股定理，得到
(ad)2a2(ad)2
解得 a4d
从而这三边的长是
3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
学生归纳：
问题：若有5个数成等差数列，我们如何设这5 个数。
课后探究：若有4个数成等差数列，我们如何 设这4个数。
小结
本节学习了等差数列通项公式的性质：
(1)d am an mn
2.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
am+an=ap+aq
3. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项
b ac 2
2b= a+c
4.等差数列通 an项 pn 公 q(p,q式 为： 常数
同学们，再见！
由于 P（5，10) Q（15，25）R（n,79) 在同一直线上，
故有：
7—n9--—1255
=
2—5-—10 15-5
则n=51
能力训练
（1）已知等差数列 a n 中， a3a1530,
求 a 9 ；a7 a11；a7 a9 a11； a7a8a10a11 ；… …
（4）已知等差数列 a n 中，a3a4a5a6a715 ,