第七章 非线性控制系统分析练习题及答案7-1 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x+-= 试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。

解 令 x =0 得-+=-=-+=x x x x x x x 321110()()()系统平衡状态x e =-+011,,其中：0=e x ：稳定的平衡状态；1,1+-=e x ：不稳定平衡状态。

计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。

可见：当x ()01<时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x ()01>时，系统发散；1)0(-<x 时，x t ()→-∞; 1)0(>x 时，x t ()→∞。

注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个 ~xx 平面上任意分布。

7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。

(1) x xx ++=0 (2) ⎩⎨⎧+=+=2122112x x x x x x解 （1） 系统方程为图解7-1 系统相轨迹⎩⎨⎧<=-+II >=++I )0(0:)0(0:x x x x x x x x令0x x ==，得平衡点：0e x =。

系统特征方程及特征根：21,221,21:10,()2:10, 1.618,0.618()s s s s s s I II ⎧++==-±⎪⎨⎪+-==-+⎩稳定的焦点鞍点(, ) , , x f x x x x dxdxxx x dx dx x x x x x==--=--==--=-+=ααβ111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>--=)0(11:II )0(11:I x x βαβα计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a ）所示。

图解7-2（a ）系统相平面图（2）xx x 112=+ ① 2122x x x+= ② 由式①： x xx 211=- ③ 式③代入②： ()( )x x x x x 111112-=+- 即 x x x 11120--= ④ 令x x 110== 得平衡点： x e =0 由式④得特征方程及特征根为 ⎩⎨⎧-==--414.0414.20122,12λs s （鞍点） 画相轨迹，由④式x x dxdx x x x 1111112===+α x x112=-α计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b ）所示。

7-3 已知系统运动方程为 sin x x +=0，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。

解 求平衡点，令 x x==0 得 sin x =0平衡点 x k k e ==±±π(,,,012 )。

将原方程在平衡点附近展开为台劳级数，取线性项。

设 F x x x ()sin =+=0∂∂∂∂F x x Fx x xx ee∆∆+=0∆∆cos x x x e +⋅=0 ⎩⎨⎧±±±===∆-∆±±===∆+∆),5,3,1(0),4,2,0(0k k x x x k k x x x e e ππ特征方程及特征根： k 为偶数时 s j 21210+==±λ, （中心点）k 为奇数时 s 212101-==±λ, （鞍点）用等倾斜线法作相平面sin sin sin xdxdx x xx xx +=⋅+==α01作出系统相平面图如图解7-3所示。

7-4 若非线性系统的微分方程为(1) ( .) x xx x x +-++=30502 (2) xxx x ++=0 试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。

解（1） 由原方程得(, )( .) . x f x x x x x x x x x x ==----=-+--305305222 令x x 110== 得 x x x x +=+=210()解出奇点 x e =-01,在奇点处线性化处理。

在x e =0处：(, )(, ) ()( .) . x f x xxx f x xxxx x x x x x x xx xx x x x =⋅+⋅=--⋅+-+⋅=-+========∂∂∂∂0000001260505即 . xx x -+=050 特征方程及特征根s j 1220505420250984,....=±-=± （不稳定的焦点）在x e =-1处x x xxx x xxx xx 5.0)5.06()21(0101+=⋅+-+⋅--==-==-= 即 . xx x --=050 特征根 ⎩⎨⎧-=+±=718.0218.1245.05.022,1s （鞍点） 概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4（1）所示：（2） 由原方程(, ) x f x x xx x ==-- 令 x x==0 得奇点 x e =0,在奇点处线性化( ) xfxx fxxx x x x x xx xx x x x =⋅+⋅=--⋅-⋅========∂∂∂∂00001得 x x =- 即 xx +=0 特征根 s j 12,=±。

奇点x e =0（中心点）处的相轨迹如图解7-4(2)所示。

7-5 非线性系统的结构图如图7-36所示。

系统开始是静止的，输入信号)(14)(t t r ⨯=，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。

解 由结构图，线性部分传递函数为C s M s s()()=12 得 ()()ct m t = ①由非线性环节有⎪⎩⎪⎨⎧III -<+II>-I ≤=22)(22)(20)(e t e e t e e t m ②由综合点得c t r t e t e t ()()()()=-=-4 ③ 将③、②代入①得⎪⎩⎪⎨⎧-<-->-≤=III2)(2II 2)(2I 20)(e t e e t e e t e开关线方程为 e t ()=±202:)(0)(:=-+II ==I e ec e t e常数令 e e ==0 得奇点 e 02II =特征方程及特征根 s s j 21210+==±,, （中心点）III ： ee ++=20 令 ee ==0 得奇点 e 02III=- 特征方程及特征根 s s j 21210+==±,, （中心点）绘出系统相轨迹如图解7-5所示，可看出系统运动呈现周期振荡状态。

7-6 图7-37所示为一带有库仑摩擦的二阶系统，试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单位阶跃响应的影响。

解 由系统结构图有⎩⎨⎧<->+±+⋅=0:0:215.015)()(ccs s s E s C s s C s E s (.)()()05125+±=⎩⎨⎧<=->=+II055.0I0535.0ce c cc e c c① 因为 c r e e =-=-1 ② ②代入①式有 ⎩⎨⎧>=+-<=++II00102I00106e e e eee e e 特征方程与特征根⎪⎩⎪⎨⎧±==+-±-==++)(310102:II )(30106:I 2,122,12不稳定的焦点稳定的焦点j s s s j s s s依题意 0)0(,0)0(==c c 可得0)0()0(1)0(1)0(===-=c ec e以)0,1(为起点概略作出系统相轨迹。

可见系统阶跃响应过程是振荡收敛的。

7-7 已知具有理想继电器的非线性系统如图7-38所示。

图7-38 具有理想继电器的非线性系统试用相平面法分析：（1）T d =0时系统的运动；（2）T d =05.时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用； （3）T d =2时系统的运动特点。

解 依结构图，线性部分微分方程为c u = ① 非线性部分方程为 ⎩⎨⎧II <+-I >+=0101eT e eT e u d d ②开关线方程： eT e d=-1 由综合口： c r e e =-=-1 ③ ③、②代入①并整理得⎩⎨⎧II<++I >+-=0101d d eT e eT e e在 I 区： ee dede ==-1 解出： ()e e e 220=-> （抛物线） 同理在 II 区可得：()ee e 220=< （抛物线）开关线方程分别为T d =0时， e =0; T d =05.时， e e =-2;T d =2 时， .e e =-05.概略作出相平面图如图解7-7所示。

图习题集P178 T8-10由相平面图可见：加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡性减小，响应加快。

7-8 具有饱和非线性特性的控制系统如图7-39所示，试用相平面法分析系统的阶跃响应。

解 非线性特性的数学表达式为III-<II >I <⎪⎩⎪⎨⎧-=ae a e a e M Me y || 线性部分的微分方程式为Ky c cT =+ 考虑到e c r =-，上式又可以写成rr T Ky e e T +=++ 输入信号为阶跃函数，在0>t 时有，0==r r，因此有 0=++Ky e eT 根据已知的非线性特性，系统可分为三个线性区域。

Ⅰ区：系统的微分方程为)(0a e Ke e e T <=++按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点（0，0），奇点的类型为稳定焦点。

图解7-8（a ）为Ⅰ区的相轨迹，它们是一簇趋向于原点的螺旋线。

Ⅱ区：系统的微分方程为)(0a e KM e eT >=++设一般情况下，初始条件为00)0(,)0(e ee e ==。

则上式的解为 KMt Te KM e T KM ee t e T t -+-++=-)()()(000 对上式求一次导数，得KM e KM e t eT t -+=-)()(0 故当初始条件KM e -=0'时，相轨迹方程为KM e -='。

当KM e -≠0'时，相轨迹方程为KM eKM eKMT T e ee e +++-+=000ln )(图7-39 非线性系统结构图由此可作出该区的相轨迹，如图解7-8(b )所示，相轨迹渐进于直线KM e-= 。

Ⅲ区：此时系统的微分方程为)(0a e KM e e T -<=-+将Ⅱ区相轨迹方程中的KM 改变符号，即得Ⅲ区的相轨迹方程⎪⎩⎪⎨⎧≠++--+===)(ln )()(00000KM eKM e KM e KMT T e e e e KM e KM e该区的相轨迹如图解7-8（b ）所示。