黄金分割专项练习21定义：如图1，点C 在线段AB 上，若满足AC =BC?AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点.如图 2, △ ABC 中，AB=AC=1 , / A=36 ° BD 平分/ ABC 交 AC 于点 D .(1) 求证：点D 是线段AC 的黄金分割点;2 .如图，用长为 40cm 的细铁丝围成一个矩形 ABCD (AB > AD ).99cm 2,求 AB 的长度；101cm 2吗？若能，求出 AB 的长度，若不能，说明理由;AD 与AB 之比等于黄金比 逅二丄)，求该矩形的面积.9.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形， 如在矩形ABCD 中，当-'_ J 时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD .请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.40cw(1) 若这个矩形的面积等于 (2) 这个矩形的面积可能等于 (3) 若这个矩形为黄金矩形((结果保留根号)(2)求出线段AD 的长.10.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD ;取AD的中点E，连接EB;延长DA至F,使EF=EB ; 以线段AF为边作正方形AFGH .则点H是AB的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说.12 .已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求「的值.AC14.五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C, D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD15•人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段.一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？17.如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且 AP >BP ,设以AP 为边长的正方形面积为 S 1,以PB 为宽和以AB 为 长的矩形面积为S 2，试比较S 1与S 2的大小.20.(如图1),点P 将线段AB 分成一条较小线段 AP 和一条较大线段詈罟k ，则k就是黄金比，并且k战618.(1) 以图1中的AP 为底，BP 为腰得到等腰△ APB (如图2),等腰△ APB 即为黄金三角形，黄金三角形的定义为: 满足 寺石一耳亍0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：(2) 如图1,设AB=1，请你说明为什么 (3) 由线段的黄金分割点联想到图形的3),点P 是线段AB 的黄金分割点，那么直线 CP 是厶ABC 的黄金分割线吗？请说明理由;18.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边AD 延长线上的一点，且r -] D 为AE 的黄金分割点，即 仙——AE ，k 约为 0.618;黄金分割线”，类似地给出 黄金分割线”的定义：直线I 将一个面积为S 的图形分成面积为 S 1和面积为S 2的两部分(设 I 为该图形的黄金分割线. (如图BP ,如果那么称点P 为线段AB 的黄金分割点，设S 1V S 2),如果 那么称直线(4)图3中的△ ABC的黄金分割线有几条？21 •在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感•张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）23.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E,再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA 上，折出点B的新位置B',因而EB'=EB .类似地，在AB上折出点B〃使AB 〃=AB 这时B〃就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.25.如图，在△ ABC 中，点D 在边AB 上，且DB=DC=AC，已知 / ACE=108 ° BC=2 .（1）求/ B的度数；（2）我们把有一个内角等于36 °勺等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比—L2①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P （点A、B除外），使△ PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P,简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由.28 •折纸与证明——用纸折出黄金分割点：第一步：如图(1),先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF;再折出矩形BCFE的对角线BF • 第二步：如图(2),将AB 边折到BF上，得到折痕BG,试说明点G为线段AD的黄金分割点(AG > GD )P A D29.三角形中，顶角等于36 °勺等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ ABC中，已知：AB=AC，且/ A=36 °(1)在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD (保留作图痕迹，不写作法)；(2)△ BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；(3)设，试求k的值；AC(4)如图2,在厶A1B1C1中，已知A1B1=A1C1, / A仁108°且A1B仁AB，请直接写出"巴的值.黄金分割线”类似地给出 黄金分割线”的定义：直线I 将一个面积为S 的图形S i , S 2,如果—-_2,那么称直线I 为该图形的黄金分割线.S 3](1) 研究小组猜想：在 △ ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图 2),则直线CD 是厶ABC 的黄金分割 线.你认为对吗？为什么？(2) 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ (3)研究小组在进一步探究中发现： 过点C 任作一条直线交 AB 于点E ,再过点D 作直线DF// CE ，交AC 于点F , 连接EF (如图3),则直线EF 也是△ ABC 的黄金分割线.请你说明理由.(4) 如图4,点E 是平行四边形 ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点 E 作EF / AD ，交DC 于点F ，显然直线EFABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形 ABCD课题学习时，由黄金分割点联想到 分成两部分，这两部分的面积分别为是平行四边形ABCD 的黄金分割线•请你画一条平行四边形 各边黄金分割点.黄金分割专项练习30题参考答案:1.(1)证明：•/ AB=AC=1 ,••• / ABC= / C== (180°- / A )=丄(180 °- 36 ° =72 °2 3••• BD平分/ ABC交AC于点D,•/ ABD= / CBD=2/ ABC=36 °2•/ BDC=180 ° - 36°- 72°72 °•DA=DB , BD=BC,•AD=BD=BC ,易得△ BDC ABC ,2•BC : AC=CD : BC，即BC2=CD?AC ,2•AD =CD ?AC,•点D是线段AC的黄金分割点；(2)设AD=x，贝U CD=AC - AD=1 - x,2•/ AD 2=CD ?AC ,•x2=1 - x，解得x1= --- , x2= _ ',即AD的长为―一-22.解：(1)设AB=xcm，贝U AD= (20 - x) cm,根据题意得x (20 - x) =99 ,整理得x2- 20x+99=0 ,解得X1=9, x2=11,当x=9 时，20 - x=11 ;当x=11 时，20- 1仁9,而AB > AD,所以x=11，即AB的长为11cm;(2)不能.理由如下：设AB=xcm，贝V AD= (20 - x) cm,根据题意得x (20 - x) =101 ,整理得x2- 20x+101=0 ,因为△ =202 - 4X101=- 4V 0,所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2;(3)设AB=xcm，则AD= (20 - x) cm,丫斥"1根据题意得20 - x= ——x,2解得x=10 ( . 口- 1),贝U 20 - x=10 ( 3-肛),所以矩形的面积=10 ( - 1) ?10 (3-「,)= (400 !.- 800) cm2.3.解：(1) •/ / A=36 ° AB=AC ,•/ ABC= / ACB=72 °•/ BD 平分 / ABC ,•/ CBD= / ABD=36 ° / BDC=72 °•AD=BD , BC=BD,•△ ABC BDC ,•上丄:一 I"即—AB = BC ，AC rAD ，2• AD =AC?CD .•••点D 是线段AC 的黄金分割点. (2) •••点D 是线段AC 的黄金分割点， • AD=——AC ,2•/ AC=2 , • AD= . ■- 14. 解：(1)腰与底之比为黄金比为黄金比如图,(2) 作法：①画线段AB 作为三角形底边；② 取AB 的一半作 AB 的垂线 AC ,连接BC ,在BC 上取CD=CA . ③ 分别以A 点和B 点为圆心、以BD 为半径划弧，交点为 E ; ④ 分别连接EA 、EB ,则厶ABE 即是所求的三角形.(3) 证明：设 AB=2，贝U AC=1 , BC= 口，AE=BE=BD=BC - CD=「- 1, AE 出-1|■:.6 .解：(1)设 AC=x ，贝U BC=AB - AC=12•/ AC 2=BC ?AB ,2• x =1 X ( 1 - x), 整理得x 2+x -仁0,解得 X 1=U^, X 2=: 一(舍去)， 所以线段AC 的长度为「一5 .解：(1)由于P 为线段AB=2的黄金分割点, 「=>1 ,则 AP=2 2或 AP=2 -(「- 1) =3 -(2)设线段AD的长度为x, AC=I ,2••• AD =CD ?AC ,2••• X =| X ( I - x),••• X1=—^, X2= l「(舍去)，2 2•线段AD的长度——AC ;|2(3)同理得到线段AE的长度：l - \D ;2上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段AC和BC (AC > BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB : AC=AC : BC),则C点为AB的黄金分割点7.解：D是AC的黄金分割点.理由如下：•••在△ ABC 中，AB=AC , / A=36 °•••/ ABC= / ACB= _ 厂=72 °2•/ / 1 = / 2,•/ 1 = / 2=丄/ ABC=36 °2•在厶BDC 中，/ BDC=180。