学科教师辅导讲义
2．(
)(
)
3342a b a b -+-r
r
r
r
；
3.()()
52423a b c a b c -+-+-r r r r r r
；
【例3】如果a r +b r =3c r ,a r -b r =-c r ,那么a r 与b r
是平行向量吗？如果是，求a b
r r .
12
【例4】如图，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点.
（1） 用向量AB u u u r 、AC u u u r 表示向量EF u u u r ,用向量DB u u u r 、DC u u u
r 表示向量HG u u u r ;
（2） 由AC AB BC -=u u u r u u u r u u u r ，DC DB BC -=u u u r u u u r u u u r ，可推出向量EF u u u r 与HG u u u r
相等吗？四边形EFGH 是平行四边形吗？
【借题发挥】
1．如果2a
r
+b
r
=3c
r
，a
r
+2b
r
=c
r
，那么a
r
与b
r
是平行向量吗? 如果是，求
a
b
r
r.
2．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB CD
=，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD边的中点，用向量的方法证明四边形EFGH是菱形.
【例5】已知非零向量a
r
，求作-2a
r
，2a
r
.
【例6】如图，已知向量a
r
、b
r
，求作向量()
2a b
-+
r
r
.
【例7】如图，已知向量OA u u u r 、OB uuu r 和a r 、b r
，求作： （1） 向量a r 分别在OA u u u r 、OB uuu r
方向上的分向量； （2） 向量b r 分别在OA u u u r 、OB uuu r
方向上的分向量.
【借题发挥】
1． 如图，已知两个不平行的向量a r 、b r .求作：2a r +3b r ,2a r -3b r
.
2． 已知两个不平行的向量a r 、b r ，求作：3a r +52b r ，3a r 52
b r
.
【例8】如果向量a r
、b r
满足关系式(
)
560a b x +-=r
r
r
r
，试用a r
、b r
表示向量x r
.
【例9】如图，已知ABCD Y 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 交于点F ，设AD a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，分别求向量AE u u u r
、AF u u u r 、BF u u u r 、DF u u u r
关于a r 、b r 的分解式.
【借题发挥】
1．如果向量a r 、b r 满足关系式()()
8374a x b x -=-r r r r ，试用a r 、b r 表示向量x r
.
2．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边BA 、CA 的延长线上，DE ∥BC ,
2
3
AD AB =，试用向量BC uuu r 表示向量DE u u u r .
3．如图，点1B 、2B 、3B 在AB 上，1C 、2C 、3C 在AC 上，11223BB B B B B ==3B A =，
11223CC C C C C ==3C A =，试用向量AB u u u r 表示向量11B C u u u u r 、22B C u u u u u
r 、33B C u u u u r .
【随堂练习】
填空题：
1．已知m 、n 是实数，r a 、r
b 是向量，对于命题： ①-=-()r r r r m a b ma mb
②-=-()r r r
m n a ma na
③若=r r ma mb ，则=r r a b
④若=r r
ma na ，则m n =
其中正确命题为_____________________．
2．（1）()()
b a b a ρρρρ
7253--+- = ；
（2）()()c c b a c b a ρ
ρρρρρρ2
53232223+-+++-=
3.已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC AB ∠==o
u u u r ，r a ，AC =u u u r r c ，BC =u u u r r
b ，则++=r r r a b
c ．
4．已知向量r a ，r b ，且3()2(2)4()0x a x a x a b ++---+=r r r r r r r r
，则x r =__________．
5．若向量x r 、y u r 满足+=-=23,32u r u r r u r u r r x y a x y b ，r a 、r
b 为已知向量，则x r =__________； y u r =___________．
1．已知向量,,a b c r r r ；求作：（1）1232
a b c -+r
r r
（2）225
a b c --r r r
2．如图，13
AM AB =u u u u r u u u r ，13AN AC =u u u
r u u u r ．求证：13MN BC =u u u u r u u u r ．
3．如图，已知平行四边形ABCD ，点 M 、N 是边DC 、BC 的中点，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r 分别求向量MN u u u u r 、BN u u u r 关于a r
、b r
的分解式.
D
C A
B
M N
4． 如图，△ABC 中，F 为AC 的中点，D 、E 分别在BA 、
CA 的延长线上，且DE ∥BC ，1
3
AE AC =，设FB =u u u r a r ， AC =u u u r b r
，试用a r 、b r 的线性组合表示.
A
N
M
C
B
c
b
a
5． 如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，1
2
AD DC =，E 、F 、G 分别是AD 、BD 、BC 的中点，设AB =u u u r a r ，
AC u u u r =b r
，试用a r 、b r 的线性组合表示.
6． 在梯形ABCD 中，DC AB //，E 是BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线与点F ，已知a AB ρ
=，
a DC ρ2=，
b AD ρ=，求向量AF 、AE 、DE 关于a ρ、b ρ
的分解式.
7．在梯形ABCD 中，AB∥CD，且AB=2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，联结MN 、DN.已知AB u u u r =a ，AD u u u r
=b ，求出向量BC MN u u u r u u u u r
、
关于a 、b 的分解式. D M C
A N B
二、综合提高训练：
1．如图，AD 是△ABC 的中线，G 是△ABC 的重心，设AB u u u r a =r ，AC b =u u u r r ，求向量AD u u u r 、AG u u u
r 、DG u u u r 关于a r 、b r
的分解式.
2．如图，在同一平面内的ABCD Y 、AEFD Y 、BCFE Y ，设AB u u u r =a r ,AE u u u r =b r ,试用向量a r 或b r
表示向量BE u u u r 、CF uuu r .。