向量的线性运算知识点一、选择题1．已知a，b为非零向量，如果b＝﹣5a，那么向量a与b的方向关系是（）A．a∥b，并且a和b方向一致B．a∥b，并且a和b方向相反C．a和b方向互相垂直D．a和b之间夹角的正切值为5【答案】B【解析】【分析】根据平行向量的性质解决问题即可．【详解】∵已知a，b为非零向量，如果b＝﹣5a，∴a∥b，a与b的方向相反，故选：B．【点睛】本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．2．□ABCD中， -+等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果．【详解】∵在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，∴ = -∴ -+=- + =，故选A．【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出与是一对相反向量.3．已知向量，若与共线，则( ) A．B．C．D．或【答案】D【解析】【分析】要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答.【详解】 解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D.【点睛】 本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.4．在矩形ABCD 中，如果AB 模长为3, BC 模长为1，则向量（AB +BC +AC ） 的长度为（ ） A ．2B ．4C ．31-D ．31+ 【答案】B【解析】【分析】先求出AC AB BC =+，然后2AB BC AC AC ++=，利用勾股定理即可计算出向量（AB +BC +AC ）的长度为【详解】 22||3,||1||(3)122|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC ACAB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴故选：B.【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.5．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ，那么向量AO 用向量a b ⋅表示为（ ）A ．12a b B ．2133a b C ．2233a b D ．1124a b 【答案】B【解析】【分析】利用三角形的重心性质得到： 23AOAD ；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b ， ∴11BD BC b 22． ∴1b 2AD AB BD a又∵点O 是△ABC 的重心， ∴23AO AD ， ∴221AO AD a b 333． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AOAD 是解题的关键．6．下列式子中错误的是（ ）．A ．2a a a +=B ．()0a a +-=C ．()a b a b -+=--D ．a b b a -=- 【答案】D 【解析】【分析】根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解．【详解】A. a 与a 大小、方向都相同，∴2a a a +=，故本选项正确；B. a 与a -大小相同，方向相反，∴()0a a +-=，故本选项正确；C.根据实数对于向量的分配律，可知()a b a b -+=--，故本选项正确；D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+，故本选项错误.故选D.【点睛】本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.7．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于（ ）A ．BDB ．AC C ．DBD ．CA【答案】B【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =，然后由三角形法则，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∵AD b =，∴BC b =，∵AB a =，∴a b +=AB +BC =AC ．故选B ．8．化简()()AB CD BE DE -+-的结果是（ ）．A ．CAB ．AC C ．0D ．AE【答案】B【解析】【分析】根据三角形法则计算即可解决问题．【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+AE CE =-AE EC =+ AC =，故选：B ．【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．9．已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为、、，则向量等于 （ ）A ．++B ．-+C ．+-D ．--【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论．【详解】如图，，则 -+故选B ．【点睛】此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.10．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =，那么BA 用a 表示正确的是（ ） A ．34a B ．34a - C ．43a D ．43a - 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案.【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =，∴BA=43AC ， ∵BA 与AC 方向相反，∴BA =43a -， 故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.11．已知a 、b 、c 都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b 的是（ ） A ．a b = B ．3a b = C ．//a c ，//b c D ．2,2a c b c ==-【答案】A【解析】【分析】根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案．【详解】解：A 、||||a b =只能说明a 与b 的模相等，不能判定a ∥b ，故本选项符合题意; B 、3a b =说明a 与b 的方向相同，能判定a ∥b ，故本选项不符合题意; C 、a ∥c ，b ∥c ，能判定a ∥b ，故本选项不符合题意; D 、2a c =，2b c =-说明a 与b 的方向相反，能判定a ∥b ，故本选项不符合题意． 故选：A ．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．12．已知e 是单位向量，且2,4a e b e =-=，那么下列说法错误的是（ ） A ．a ∥bB ．|a |=2C ．|b |=﹣2|a |D ．a =﹣12b 【答案】C【解析】 【分析】【详解】解：∵e 是单位向量，且2a e =-，4b e =， ∴//a b ，2a =， 4b = ， 12a b =-， 故C 选项错误，故选C. 13．如图，向量OA 与OB 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n =OA +OB ，则||n =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2 【答案】B【解析】 根据向量的运算法则可得:n =()222OA OB +=,故选B.14．已知a ，b 和c 都是非零向量，下列结论中不能判定a ∥b 的是（ ）A ．a //c ，b //cB ．1,22a c b c ==C ．2a b =D ．a b = 【答案】D【解析】【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A.∵a //c ，b //c ，∴a ∥b ，故本选项错误；B.∵1,22a cbc ==∴a ∥b ，故本选项错误. C.∵2a b =，∴a ∥b ，故本选项错误；D.∵a b =，∴a 与b 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．15．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，下列式子中正确的是（ ）A ．DC a b =+B ．DC a b =-； C ．DC a b =-+D ．DC a b =--．【答案】C【解析】【分析】由平行四边形性质，得DC AB =，由三角形法则，得到OA AB OB +=，代入计算即可得到答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB =，∵OA a =，OB b =，在△OAB 中，有OA AB OB +=，∴AB OB OA b a a b =-=-=-+，∴DC a b =-+；故选择：C.【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．16．如果2a b =（a ，b 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）A ．a //bB ．a -2b =0C ．b =12aD ．2a b =【答案】B【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b -= 故错误.故选B.17．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知11(,OA x y =），22(,)OB x y =，如果12120x x y y +=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-；(3,4)OD =-B ．(2,3)OE =-； (3,2)OF =-C ．(3,1)OG =；(OH =-D ．(24)OM =；(2)ON =-【答案】D【解析】【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可.【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意；B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意；C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意；D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意；故选D.【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.18．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），向量OP 可以用点P 的坐标表示为：OP ＝（m ，n ）．已知OA ＝（x 1，y 1），OB ＝（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2＝0，那么OA 与OB 互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．OC ＝（3，20190），OD ＝（﹣3﹣1，1）B ．OE ﹣1，1），OF ，1）C ．OG 12），OH ）2，8）D ．OM ），ON 2，2） 【答案】A【解析】【分析】根据向量互相垂直的定义作答．【详解】A 、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则OC 与OD 互相垂直，故本选项符合题意．B ﹣1+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则OE 与OF 不垂直，故本选项不符合题意．C ）2+12×8＝4+4＝8≠0，则OG 与OH 不垂直，故本选项不符合题意．D 2）×2＝5﹣4+1＝2≠0，则OM 与ON 不垂直，故本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.19．已知a 、b 和c 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a ∥b 的是（ ） A ．=a bB ．a ∥c ，b ∥cC ．a +b ＝0D ．a +b ＝2c ，a ﹣b ＝3c【答案】A【解析】【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、该等式只能表示两a、b的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；B、由a∥c，b∥c可以判定a∥b，故本选项不符合题意；C、由a+b＝0可以判定a、b的方向相反，可以判定a∥b，故本选项不符合题意；D、由a+b＝2c，a﹣b＝3c，得到a＝52c，b＝﹣12c，则a、b的方向相反，可以判定a∥b，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.20．下列判断错误的是（）A．0•=0aB．如果a+b=2c，a-b=3c，其中0c ，那么a∥b C．设e为单位向量，那么|e|=1D．如果|a|=2|b|，那么a=2b或a=-2b【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答．【详解】A、0•=0a，故本选项不符合题意．B、由a+b=2c，a-b=3c得到：a＝52c，b＝﹣12c，故两向量方向相反，a∥b，故本选项不符合题意．C、e为单位向量，那么|e|=1，故本选项不符合题意．D、由|a|=2|b|只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．故选D．【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．。