(1) CB BA1;
A1
(2)
AC
CB
1 2
AA1;
(3) AA1 AC CB.
解：(1) CB BA1 CA1
A
(2)
AC
CB
1 2
AA1
AM
(3) AA1 AC CB BA1
B1 C1
M
B C
例 2 如图,M、N分别是四面体ABCD的棱AB、 CD的中点，求证：MN 1（AD BC） 2
C1 B1
AC AA1
D
C
AC CC1
A
AC1
B
结论：始点相同的三个不共面向量之和，等于以这 三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的 对角线所示向量
例
1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB AD AA1;
D1
D1
(2)DD1 AB BC;
(3) AB 解：(3) AB
AD AD
1 12
(
DD1
2 (DD1
BC)A. 1 BC )
AC
1 2
(CC1
CB)
D
AC
1 2
CB1
A
AC CM AM
C1 B1
M
C B
练习
1
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量。
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
例
1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB AD AA1;
D1
(2)DD1 AB BC;
(3) AB
AD
1 2
( DD1
BC)A. 1
解：(1) AB AD AA1
ⅱ.字母表示法：始点A终点B的向量 AB 或者表示为 。 ③零向a量：始点与终点重合的向量 。
④向量的模：表示向量的有向线段的长度。 ⑤相等向量：模相等、方向相同的向量。 ⑥相反向量：模相等、方向相反的向量。 ⑦共线向量：基线平行或重合的向量，也叫平行向量。
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
b a
算 (a b) c a (b c)
律 数乘分配律
k(a b) ka＋kb
( )a a a
加法交换律 a 成b 立 b吗？a
加法结合律 数乘分配律
k(a b) ka＋kb
( )a a a
加法结合律： (a b) c a (b c)
O
a
A
b B
C
c
O
a
b+c
C
A
B
O
A
结论：
1.空间任意两个向量都是共面向量，所 以它们可用同一平面内的两条有向线 段表示。
2. 凡是涉及空间任意两个向量的问题， 平面向量中有关结论仍适用于它们。
C
a+ b
B
b a
O
A
空间向量的加减法
OB OA AB
CA OA OC k a (k>0) 空间向量的数乘
k a (k<0)
复习回顾： 1.平面向量的相关概念：
①向量的定义； ②向量的表示方法； ③零向量； ④相等向量； ⑤共线向量； ⑥向量的模； ⑦相反向量。
复习回顾： 1.平面向量的相关概念：
①向量的定义：具有大小和方向的量Байду номын сангаас②向量的表示方法： ⅰ.几何表示法：有向线段
ⅱ.字母表示法：始点A终点B的向量 AB 或者表示为 。 ③零向a量：始点与终点重合的向量 。
b
c
B
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
例
A
M B
D N C
例 3 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足 下列各式的x的值。
(1) AB1 A1D1 C1C x AC
D1
A1
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
C1 B1
(3) AC AB1 AD1 x AC1
D
C
A
B
例 3 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足 下列各式的x的值。
证明： MN MA AD DN (1) A
MN MB BC CN (2) 由已知，得MB MA, DN CN. M
(1) (2)得2MN AD BC.
因此
MN 1（AD BC） B 2
D N C
练习2 如图,M、N分别是四面体ABCD的棱AB、 CD的中点，求证：4MN AC AD BC BD
1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB AD AA1;
D1
(2)DD1 AB BC;
A1
(3) AB
AD
1 2
( DD1
BC ).
D
C1 B1
C
A
B
a
D
D1 A1
C1 B1
CD
C
A
BA
B
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a
(2)DD1 AB BC;
(3) AB
AD
1 2
( DD1
BC)A. 1
解：(2)DD1 AB BC
DD1 ( AB AD)
D
DD1 DB
A
BD1
C1 B1
C B
例
1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB AD AA1;
2.空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
运
加法交换律 a b b a 加法结合律
④向量的模：表示向量的有向线段的长度。 ⑤相等向量：模相等、方向相同的向量。 ⑥相反向量：模相等、方向相反的向量。 ⑦共线向量：基线平行或重合的向量，也叫平行向量。
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
a
b
a
向量减法的三角形法则
k a (k>0)
k a (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘向量运算律
加法交换律： a b b a
加法结合律： (a b) c a (b c)
数乘分配律：k(a b) k a＋kb
( )a a a
知识讲解： 1.空间向量的相关概念：
①向量的定义：具有大小和方向的量 ②向量的表示方法： ⅰ.几何表示法：有向线段