As1
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
A2 1
1 2
31.
所以
1 0 0
A1
5 0
1
1
0
2
3
例3 设 A 的伴随矩阵
1 0 0 0
A
0
1
0
0
0 0 1 0
0 0 1 8
且ABA－1 = BA－1 + 3E, 求矩阵B.
解 由 | A* | = |A|n-1, 有|A|3= 8 , 得 |A| = 2.在 ABA－1 = BA－1 + 3E 的两边左乘 A*，右乘 A 得
a13 a24
a31
a32
a33
a34
A11
a11
4
a21
a31
A12
a12
a22
a32
A13 A14
a13 a23
a14 a24
A11 A21
a33
a34
A31
二、分块矩阵的运算
1、分块矩阵的加法： 同型矩阵,分法相同,对应子块相加.
设 A 和 B 均为 m×n矩阵,分法下:
a21x1 a22x2
a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amnxn bm
记
A = (aij )mn ,
x1
x=
xxn2 ,
b1
b=
bbm2 ,
a11 a12
B=
a21
am1
a22 am2
a1n b1
a2n amn
bbm2 .
其中 A 称为系数矩阵, x 称为未知向量 , b 称为 常数项向量 , B称为增广矩阵, 记为:
显然
A A1 A2 As .
若 Ai 0(i＝1,2, , s), 则 A 0,
所以
A11
A1
A2 1
. AS 1
例2 设
5 0 0
A 0
3
1
,
求A
1
0 2 1
解
5 0 0
A 0
0
3 2
1 1
A1 0
0 A2
A1 5,
A11
1 5
;
A2
3 2
11,
B
Bi1
Bij
Bir
A st
Bt1
Btj
Btr
其中Ai1, Ai2 , , Ait列数分别等于
B1 j , B2 j , , Btj的行数，那么
C11 C12
AB
C21 C s1
C22 Cs2
C1r
C2r
Csr
其中
Cij Ai1B1 j Ai2B2 j Ait Btj
A11 A1r
B11 B1r
A
B
As1 Asr
Bs1 Bsr
其中Aij与Bij的行数相同, 列数 相同, 那末
A11 B11 AB
As1 Bs1
A1r B1r
Asr Bsr
其运算律与矩阵的加法相同.
2.分块矩阵的数乘 设分块矩阵
A11 A
B ( A b),
或 B = ( A,b ) = ( β1, β2,… , β n , b )
利用矩阵的乘法,此方程可记为:
Ax = b
按行分块矩阵, Ax = b又可写成:
1T
T 2
mT
x
b1
b2
,
M
bm
即 αi Tx = bi ( i = 1, 2, … , m ) .
(i 1,2, ,s;j 1,2, ,r)
例1.设
1 0 0 0
1 0 1 0
A
0 1 1
1 2 1
0 1 0
100 ,
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
1
1 0
求AB.
解 把A,B分块成
1 0 0 0
1 0 1 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
0 1 1
1 2 1
0 1 0
100 ,
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
1
1 0
E 0
A1
E
B11 B21
E B22
所以
E
AB＝
A1
0
E
B11 B21
E B22
B11 A1B11
B21
A1
E B22
其中
1 2 1 0 1 0 A1B11 B21 1 1 1 2 1 1
3 0
24
1 1
01
2 1
14,
1 2 4 1 3 3 A1 B22 1 1 2 0 3 1
按列分块矩阵, Ax = b又可写成
x1
1 ,2 ,L
n
x2 xn
b
即 x1β1+ x2 β2 + … + xn βn = b
矩阵 主 要 知 识网 络图
2B = A*B + 6E
即
( 2E － A* )B = 6E
故
B = 6 (2E－A* )－1
1 0 0 0
由于
2E－A*
＝
0 0
1 0
0 1
0
0
0 0 1 6
所以
1 0 0 0
(2E－A*)－1
=
0 0
1 0
0 1
0
0
0
0
1 6
1 6
因此
6 0 0 0
B
0
6
0
0
0 0 6 0
1 0 1 0
于是
AB
1 2 1
2 4 1
0 3 3
113 .
4.分块矩阵的转置 设分块矩阵
A11 A1r
A
As1 Asr
则
AT11 ATs1
AT
.
AT1r
AT
sr
5.分块对角矩阵（准对角矩阵）. 设
A1
A
A2
As
其中
Ai (i＝1,2, , s)都是方子块.