（3）分配律
A(

B )

( A B )
（4）
A A A,
A A A
掌握两个集合相等的证明
1 例题 1：设（1）Ai x | 0 x 1 , i 1, 2,... i
则
1 Ai x | 0 x 1 i 1 n
n n i 1
i 1
Ai x | 0 x 1
Ai x | 0 x 2
1 1 A x | x （2）设 i , i 1, 2,.... i i
则
1 1 Ai x | x , n n i 1
相等：两个集合有完全一致的元素时称为相等，记
为A=B。
空集：不含任何元素的集合，记为
子集：A的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集， 记为A B 真子集：若A是B的子集但不等于B，则称A为B的真子集。
注意
和
的区别：
：表示集合和它的元素之间的关系。
：表示集合与集合之间的关系。
S
S
(2) A 痧 S A S, A S A (3) 痧 S ( S A) A (4) A \ B A ðS B (5) 若 A B, 则 痧 S A SB (6) 痧 S ( A B)
S
A痧 S B,
S
( A B) 痧 S A SB
5、上限集、下限集 上限集：设A1 ，A2 ，…An，…是任意列集，由属于上述
§2 集合的运算
1、和集或并集 A B x | x A 或 x B

A x | 存在某个 使x A
2、交集
A B x | x A 且 x B

A x | 对一切 有x A
显然有(1)
(A B) A (A B)
则
A B
(2)若 A B ,
，



A

B
定理1 （1）交换律 A B B A,
（2）结合律
A B B A
A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) ( A B) ( A C )
集合表示方法：
列举法：将其元素一一列举出来。
特征描述法：将元素所具有的特征义命题的形式描述出来。
p Q {x | x q , p Z , q Z , q 0}
定理1：对任何集合A、B、C，均有
（1）A A
（2）A B，B A，则A = B
（3）A B，B C，则A C 其中（2）是经常用于证明两个集合相等。
集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一
集列的上限集或上极限，记为 limAn 或 lim sup An n
n
limAn x | 存在无穷多个An , 使x An
n
下限集：设A1 ，A2 ，…An，…那种除有限个下标外，属 于集列中每个集的元素的全体所组成的集称为这一集列的
作用：
是普通微积分学的继续，其目的是想克服牛顿-莱布尼兹 所建立的微积分学存在的缺点，是微分和积分的运算更加 完美对称。
缺点：黎曼意义下可积的函数类太小。
1 例如： D( x) 0
x为有理数 x为无理数
黎曼意义下不可积。
黎曼积分的缺陷（内填外包法）
m X f ( )X M X
下限集或下极限，记为 lim An 或 lim inf An
lim An x | 当n充分大以后都有x An
n
n
n
显然有
lim An
n

limAn
n
An ，则称集列{An}收敛，将这一 极限：如果 lim An lim n
n
集列称为{An}的极限，记为 lim An
n
6、单调集列
若An An1, 则称 An 为增加集列.
若An An1, 则称 An 为减少集列.
例题 2 设An如下一列点集：
1 A 2 m1 0, 2 , m 0,1, 2,... 2m 1
单调集列是收敛的。
1 A 2 m 0,1 , m 1, 2,... 2m
试确定An的上极限和下极限。
1 例题 3 An 0,1 , n 1, 2,3,... 试确定An的上极限和下极限。 n
1 A x , y | 0 x 2 n , 0 y , n 1, 2,... 例题 4 2n 2n 1 A2 n1 x, y | 0 x , 0 y 2n 1 , n 0,1, 2,... 2n 1
i i i i i i i i
i
L
集合
测度（集合的长度）
L积分
第一章 集合
§1. 集合概念
•
§2. 集合的运算
§3. 对等与基数
§4. 可数集合
§5. 不
集合是指在一定范围内可以相互区别的事物的汇集，将 它们看作一个整体时，就称这个整体为一个集合，用大写 字母A、B、C…表示。其中每个个体事物成为该集合的元 素或点，用小写字母a、b、c…表示。
n
i 1
Ai {0},
n i 1
Ai {1 x 1}
3、差集 C A B A \ B x | x A 但 x B
注意：这里并不要求 A B
( A \ B) B ？ A
4、余集 设 S A ,则 S \ A 表示A关于S的余集，记为 ðS A 定理3： (1) 痧 S S ,
实变函数
• 第一章 集合
• 第二章 点集
泛函分析
• 第七章 度量空间和赋 范线性空间
• 第三章 测度论
• 第四章 可测函数
• 第八章 有界线性算子
和连续线性泛函
• 第五章 积分论
第一篇 实变函数
实变函数论是19世纪末、20世纪初，主要由法国数学家勒
贝格（Lebesgue，1875-1941）创立的。