， ∵ 三角形 CED 是直角三角形，点 P 为线段 CD 的中点， ∴ PD=PE， ∴ PC=PE； ∵ PD=PE， ∴ ∠ CDE=∠ PEB， ∵ 直线 m∥ n， ∴ ∠ CDE=∠ PCA， ∴ ∠ PCA=∠ PEB， 又∵ 直线 l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n， ∴ l∥ CE， ∴ AC=BE，
（1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点 P，使∠ APB＝90°，若存在，求出点 P 的横坐标，若不存在，说明理由； （3）连接 BQ，一动点 M 从点 B 出发，沿线段 BQ 以每秒 1 个单位的速度运动到 Q，再沿
线段 QD 以每秒 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 Q 的坐标是多少时，点 M 在整个 运动过程中用时 t 最少？
或
（3）解：如图，过点 D 作 DN⊥x 轴于点 N，
则 DN=5，ON=2，AN=3+2=5，∴ tan∠ DAB= 轴，则∠ KDQ=∠ DAB=45°，DQ= QG．
=1，∴ ∠ DAB=45°．过点 D 作 DK∥ x
由题意，动点 M 运动的路径为折线 BQ+QD，运动时间：t=BQ+ DQ，∴ t=BQ+QG，即运 动的时间值等于折线 BQ+QG 的长度值． 由垂线段最短可知，折线 BQ+QG 的长度的最小值为 DK 与 x 轴之间的垂线段． 过点 B 作 BH⊥DK 于点 H，则 t 最小=BH，BH 与直线 AD 的交点，即为所求之 Q 点． ∵ A（3，0），D（﹣2，5），∴ 直线 AD 的解析式为：y=﹣x+3，∵ B 点横坐标为﹣1， ∴ y=1+3=4，∴ Q（﹣1，4）． 【解析】【分析】（1）把点 B，D 的坐标代入二次函数中组成二元一次方程组，解方程组 即可得到抛物线的解析式；（2）先按照存在点 P 使∠ APB＝90°，先根据抛物线的解析式求 得点 A，B 的坐标，设出点 P 的坐标，根据点 P 的位置确定 m 的取值范围，再证 △ AHP∽ △ PHB，从而得到 PH2=BH•AH，即可列出关于 m 的方程，解方程即可得到 m 即点 P 的横坐标，且横坐标在所求范围内，从而说明满足条件的点 P 存在；（3）先证明 ∠ DAB=45°，从而证得 DQ= 2 QG，那么运动时间 t 值等于折线 BQ+QG 的长度值，再结合 垂线段最短确定点 Q 的位置，再求得点 Q 的坐标即可.
（2）连结 MN，猜想 MN 与 AB 的位置有关系，并给出证明． 【答案】（1）证明：∵ 直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，
，=,
即 是
的切线
（2）解：猜想：MN∥ AB． 证明：连结 CB．
∵ 直径 AB 经过弦 CD 的中点 E， ∴ =,=, ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴
∵
∵ ∴ ∴ ∴ MN∥ AB．
【解析】【分析】（1）要证 DF 是⊙O 的切线，由切线的判定知，只须证∠ ODF= 即
可。由垂径定理可得 AB⊥CD，则∠ BOD+∠ ODE= ，而∠ ODF=∠ CDF+∠ ODE，由已知易 得∠ BOD=∠ CDF，则结论可得证； （ 2 ） 猜 想 ： MN∥ AB ． 理 由 ： 连 结 CB ， 由 已 知 易 证 △ CBN∽ △ AOM ， 可 得 比 例 式
运动时间为 t 秒；设
，当 t 为何值时，s 有最小值，并求出最小值．
（3）在 的条件下，是否存在 t 的值，使以 P、B、D 为顶点的三角形与
若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由直线：
知：
、
；
∵
，
∴
，即
．
设抛物线的解析式为：
，代入
，得：
相似；
，解得
∴ 抛物线的解析式：
（2）解：在
5．已知直线 m∥ n，点 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点，CD 与直线 m、n 不垂 直，点 P 为线段 CD 的中点．
（1）操作发现：直线 l⊥m，l⊥n，垂足分别为 A、B，当点 A 与点 C 重合时（如图①所 示），连接 PB，请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系：________． （2）猜想证明：在图①的情况下，把直线 l 向上平移到如图②的位置，试问（1）中的 PA 与 PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）延伸探究：在图②的情况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得∠ APB=90°（如图③所 示），若两平行线 m、n 之间的距离为 2k．求证：PA•PB=k•AB． 【答案】（1）PA=PB （2）解：把直线 l 向上平移到如图②的位置，PA=PB 仍然成立，理由如下： 如图②，过 C 作 CE⊥n 于点 E，连接 PE，
，于是由已知条件可转化为
， ∠ ODB 是 公 共 角 ， 所 以 可 得
△ MDN∽ △ ODB，则∠ DMN=∠ DOB，根据平行线的判定可得 MN∥ AB。
4．如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过 B(－1，0)，D(－2，5)两点，与 x 轴另一交点为 A，点 H 是线段 AB 上一动点，过点 H 的直线 PQ⊥x 轴，分别交直线 AD、抛物线于点 Q、P.
∠ PCA=∠ PEB，根据夹在两平行线间的平行线相等得出 AC=BE，然后利用 SAS 判断出
△ PAC∽ △ PBE，根据全等三角形的对应边相等得出 PA=PB；
（3）如图③，延长 AP 交直线 n 于点 F，作 AE⊥BD 于点 E，根据平行线分线段成比例定
综上所述： 【解析】【分析】（1）（1）利用待定系数法，将点 A、B、C 的坐标代入函数解析式，建 立方程组求解即可。 （2）根据题意分别求出 AD、DF、OF 的长，表示出点 D 的坐标，利用待定系数法求出直线 BC 的函数解析式，表示出点 E 的坐标，再分三种情况讨论△ EFC 为直角三角形：① 当 ∠ EFC=90°，则△ DEF∽ △ OFC，根据相似三角形的性质，列出关于 t 的方程求解即可； ②∠ FEC=90°，∠ AEF=90°，△ AEF 是等腰直角三角形求出 t 的值即可；③当∠ ACF=90°，则 AC2+CF2=AF2 ， 建立关于 t 的方程求解即可，从而可得出答案。 （3）求得直线 BC 的解析式为：y=-2x+2，当 D 在 y 轴的左侧时，当 D 在 y 轴的右侧时，如 图 2，根据梯形的面积公式即可得到结论。
得抛物线的解析式；
（2）由题意可将 ED、OP 用含 t 的代数式表示出来，并代入题目中的 s 与 OP、DE 的关系
式整理可得 s=
பைடு நூலகம்
（0<t<2），因为分子是定值 1，所以分母越大，则分式的
值越小，则当分母最大时，分式的值越小，即 t=1 时，s 有最小值，且最小值为 1；
（3）解直角三角形可得 BC 和 CD、BD 的值，根据题意以 P、B、D 为顶点的三角形与
在△ PAC 和△ PBE 中，
∴ △ PAC∽ △ PBE， ∴ PA=PB
（3）解：如图③，延长 AP 交直线 n 于点 F，作 AE⊥BD 于点 E，
，
∵ 直线 m∥ n， ∴ ∴ BF=AB；
， ∴ AP=PF， ∵ ∠ APB=90°， ∴ BP⊥AF， 又∵ AP=PF，
在 △ AEF 和 △ BPF 中 ，
（3）解：∵ B（1，0），C（0，2）， ∴ 直线 BC 的解析式为：y=﹣2x+2，
当 D 在 y 轴的左侧时，S= （DE+OC）•OD= （t+2）•（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）； 当 D 在 y 轴的右侧时，如图 2，
∵ OD=4t ﹣ 4 ， DE= ﹣ 8t+10 ， S= （ DE+OC ） •OD= （ ﹣ 8t+10+2 ） • （ 4t ﹣ 4 ） ， 即 （2＜t＜ ）．
2020-2021 九年级培优相似辅导专题训练及详细答案
一、相似
1．如图，抛物线
与 x 轴交于两点 A（﹣4，0）和 B（1，0），与 y 轴交
于点 C（0，2），动点 D 沿△ ABC 的边 AB 以每秒 2 个单位长度的速度由起点 A 向终点 B
运动，过点 D 作 x 轴的垂线，交△ ABC 的另一边于点 E，将△ ADE 沿 DE 折叠，使点 A 落在
2．已知：如图一，抛物线
与 x 轴正半轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点
C，直线
经过 A、C 两点，且
．
（1）求抛物线的解析式； （2）若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正方向平移，且分 别交 y 轴、线段 BC 于点 E，D，同时动点 P 从点 B 出发，沿 BO 方向以每秒 2 个单位速度 运动， 如图 ；当点 P 运动到原点 O 时，直线 DE 与点 P 都停止运动，连 DP，若点 P
△ ABC 相似所得的比例式有两种情况：
，
，将这些线段代入比例式即可求
解。
3．如图，在⊙O 中，直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，点 M 在 OD 上，AM 的延长线交⊙O 于 点 G，交过 D 的直线于 F，且∠ BDF=∠ CDB，BD 与 CG 交于点 N．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
∴
，即
②当∠ FEC=90°，
，解得：t= ；
∴ ∠ AEF=90°， ∴ △ AEF 是等腰直角三角形，
∴ DE= AF，即 t=2t， ∴ t=0，（舍去），
③当∠ ACF=90°，则 AC2+CF2=AF2 ， 即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2 ， 解得：t= ，
∴ 存在某一时刻 t，使得△ EFC 为直角三角形，此时，t= 或 ；
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半；