第五章 特征值与特征向量
在数学和工程技术的许多领域，如微分方 程、运动稳定性、振动、自动控制、多体系统动 力学、航空、航天等等，常常遇到矩阵的相似对 角化问题。而解决这一问题的重要工具就是特征 值与特征向量。为此，本章从介绍特征值与特征 向量的概念和计算开始，进而讨论矩阵与对角形 矩阵相似的条件，最后介绍相关的应用问题。
求A的特征值与特征向量．
0 0 2
解
2 1 1
| I A | 4 3 1
0 0 2
( 1) 22 ,
令( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当 1 1 时解方程组（-I-A)X=0
1 1 1 1 1 0 I A 4 4 1 0 0 1
0 0 3 0 0 0
c0n c1n1 cn1 cn
考虑上式左端行列式的展开式，它除了
a11 a22 ann (5.1.6)
这一项含有 n个形如 aii 的因式外，其余
各项最多含有 n 2 个这样的因式。于是 n , n1
只能由 （5.1.6) 产生。比较（5.1.5)两端的系数， 得
不一定非零。
下面讨论特征值和特征向量的解法：
式 子 I AX 0
可写成以下线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1 a22 x2 a2n xn 0
.......... ......... an1x an2 x
ann xn
0
如果 X 0 是方程组的非零解，则有 是 I A 的根。
反之，如果有 是 I A 的根，方程组有
非零解。
X x1, x2 , xn T
是 A的特征值 的特征向量， 是 A的
特征根。
定义5.1.2 设A为n阶方阵，称I A 为矩 阵A的特征矩阵，I A 为矩阵A的特征多项式，
I A =0为矩阵A的特征方程，I AX 0
为矩阵A 的特征方程组。
综上，可得矩阵 A 的特征值与特征向量的求法：
（1 )写出矩阵 A 的特征多项式 I A ，它的
全部根就是矩阵 A 的全部特征值;
(2) 设 1, 2 , , s 是矩阵A 的全部互异
的特征值.将 A 的每个互异的特征值 i 分别
代入特征方程组，得
i I AX 0 i 1,2,, s
分别求出它们的基础解系
§5.1
定义5.1.1 设 A=[ aij ]是n阶方阵。若
存在数λ 及非零列向量，
使得
X= ( x1, x2 ,, xn )T
AX X 或 I AX 0
则称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A 的属于（或 对应于）特征值λ的特征向量。
注意:1. 只有方阵才有特征值与特征向量; 2. 特征向量必须是非零向量，而特征值
Xi1, Xi2 ,, Xili
这就是特征值 i 所对应的线性无关的特征
向量。
非零线性组合
ki1 Xi1 ki2 Xi2 kili Xili
i 1,2,, s
是 A的属于特征值 i i 1,2,, s的全部特
征向量 ，其中 kij 为任意常数。
例1 设
2 A 4
1 3
1 1 ,
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
2当A可逆时, 0,
由Ax x可得
A1Ax A1x A1x
A1 x 1 x 故λ1是矩阵A1的特征值, 且x是A1对应于λ1 的特征向量.
显然单位矩阵的特征值全是1；零矩阵的特 征值全是0；上（下）三角阵的特征值是它的全 部主对角元。
+ (- 1)n 12 n
比较 5.1.5 和 5.1.7 ， 得
5.1.7
c1 1 n cn 1n 12 n
于是可得特征值的重要性质:
1 A 12 n
2
n
n
aii i
i 1
i 1
由 1易见，矩阵 A 可逆的充要条件是
它的所有特征值都不为零。
n
矩阵 A的主对角线上的所有元素之和 aii i 1
c0 1
c1 a11 a22 ann
在式（5.1.5)中，令 0 ，得
cn 1n A
另外,根据多项式理论，n 次多项式
f I A
在复数域上有 n个根，不妨设为
，
又由1于,2, 的,首n 项系数 f ，于是有
c0 1
f ( ) = I - A
= ( - 1 )( - 2 )( - n ) ( ) = n - 1 + + n n-1 +
得基础解系
1
p 1
1,
0
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
(k 0).
当2 3 2时,解方程 A 2I X 0.由
4 1 1 1 1/ 4 1/ 4
2I A 4 1 1 0 0
0
0 0 0 0 0
0
得基础解系为：
1/ 4
p2
1 0
,
1/ 4 p3 0 ,
1
矩阵 A的全部特征值的集合常称为A 的谱。
二、特征值和特征向量的性质
设 A aij nn ，易见，它的特征多项式是
关于 的 n 次多项式，不妨设为
f I A c0n c1n1 cn1 cn
即
a11 a12
a21 a22
a1n
a2n
an1 an2 ann
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例2 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
称为矩阵 A 的迹，记作 trA。于是，性质 2
又可写成
n
trA i i 1
还可证明，特征值和特征向量还有如下性质：
3 若 X1, X2,, X s 都是矩阵 A的属于
特征值0 的特征向量，则其非零线性组合
k1 X1 k2 X2 ks X s
也是A的属于特征值0的特征向量。
并可证明，A的属于特征值 0 的全部特征向量，
再添加零向量，便可以组成一个子空间，称之
为 的属A 于特征值 的特0征子空间，记为 。