A7
A8 A9
A10
11
复习回顾
1.古典概型的两个基本特点: (1) 所有的基本事件只有有限个; (2) 每个基本事件发生都是等可能的.
2. 古典概型的概率计算公式:
P( A)
m n
事件A包含的基本事件数 基本事件的总数
探索归纳
问题2：取一根长度为3m的绳子，如果拉直后
在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小
小试牛刀
解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A, 事件 A发生的概率
P( A)
取出水的体积 杯中所有水的体积
0.1 1
0.1
答：含有这个细菌的概率 为0.1.
P
A
构成事件A的区域体积 试验的全部结果所构成的区域体积
情境回归
问题3：设立了一个可以自由
转动的转盘（如图）,转盘被
等分成12个扇形区域.如果转
背景相似的问题, 当等可能的角度不同时, 其概率是不一样的.
M
C′
课堂小结
延伸了一概个型概念：古典从概有型限到无几限何概型
有限性
无限性
渗透了两特种点思想：等类可比能、性转化等可能性
实践了多公种式测度模P式(A：) 长角mn 度度、、P面弧(A积度) 、Dd的的体测测积度度、
课后作业
必做题：教材P142习题3.3 A组1,2,3
选做题： 甲、乙两人相约在第二天的早上7点到8点在学校 门口碰面，事先约定先到者等候另一方15分钟， 过时离去.那么双方能够碰面的概率是多少？
典型例题
例3 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去 工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离 开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
事件可视为线段DE上任意一点,所以 P(A)= 1
3
答：剪得的两段均不小于1米的概率为 1
3
探索归纳
问题3：设立了一个可以自由 转动的转盘（如图）,转盘被 等分成12个扇形区域.如果转 盘停止转动时，指针正好指 向阴影区域，则可获得月饼 一盒.
顾客能拿到月饼的概率是多少？
圆的面积为S
探索归纳
• 问题4：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘 游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否 则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的 概率是多少?
必修3 第三章第三节
几何概型
问题引入
问题1： 一根长度为3米的绳子上,有A1、A2、A3、A4、
A5五个点将绳子均分成六段，从A1、A2、A3、A4、 A5中任选一点将绳子剪断，那么剪得的两段均 不小于1米的概率是多少？
A1
A2
A3
A4
A5
如果有10个点将绳子均分呢？
3 米A1
A2
A3
A4 A5
A6
建构数学
几何概型的定义
• 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
• 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有
无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
建构数学
几何概型：
(1)每个基本事件可以示为从可度量的区域D内随机的一 点 ，D区域内每个点被取到的机会一样；
AM<AC，故线段AC′即为区域d，于是
P( A) AC AC 1 AB AB 2 1
答：AM小于AC的概率为 2
练习1：在上一题构造的直角三角形ABC的基
例3 在直角三角形ABC,其中∠CAB=60°.
在斜边AB上任取一点M,那么AM小于AC的概
率有多大？ 解：记“在斜边AB上任取一点，
AM<AC”为事件A,
C
由于点M随机地落在线段AB上，
故可以认为点M落在线段AB上任一
A M C’
B 点是等可能的，可将线段AB 看做区 域D.
在AB上截取AC′=AC.当点M位于线段AC′内，
于1m的概率有多大？
1m
C
E 3m
1m
F
D
（1）试验中的基本事件是什么？ 从每一个位置将绳子剪断
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？
（3）符合古典概型的特点吗？
探索归纳
问题2：取一根长度为3m的绳子，如果拉直
后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不 小于1m的概率有多大？
1m
1m
C
D 3m E
F
解:设“剪得的两段均不小于1米”为事件A,如图所示 基本事件可视为线段CF上任意一点,构成事件A的基本
盘停止转动时，指针正好指 A
C
向阴影区域，则可获得月饼 M
一盒.
M1
B
顾客能拿到月饼的概率是多少？
典型例题
例1：某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听 电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.
解:设A={等待的时间不多于10分钟}.事件A恰 好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内, 因此由几何概型的求概率的公式得
P(A) 60 50 1 , 60 6
答：等待的时间不超过10分钟的概率为 1
6
拓展练习
练习2：在等腰直角三角形ABC中的斜边AB 上任取一 点M,求AM<AC的概率.
解：在线段AB上截取AC′= AC,
记“AM<AC”为事件A.
由于点M随机地落在线段AB上，
故可认为点M落在线段AB
上任一点是等可能的, 则
M
C′
P( A) AC ' AC AB AB
2 2
.
答：
AM<AC的概率为
2.
2
拓展练习 例2 在等腰直角三角形ABC的斜边AB上任取一点M， 求AM<AC的概率. 变式 在等腰直角三角形 ABC 中, 过直角顶点 C在 ∠ACB 内部任取一条射线CM, 与线段 AB 交于点 M, 求AM <AC 的概率.
(2)随机事件A的发生可视为恰好取到区域D内的某个 指定区域d中的点；
(3)事件A发生的概率与d的测度成正比，与d的形状 和位置无关；
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
P(
A)
构成事件A的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
小试牛刀
练习：有一杯1升的水, 其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯 水中含有这个细菌的概率.
典型例题
解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部 分,就表示父亲在离开家前能 得到报纸,即时间A发生,所以
ห้องสมุดไป่ตู้602 302
P( A)
2 602
87.5%.
