A = 0.00001000000000 2.00000000000000
2.00000000000000 3.00000000000000
>> b=[1;2] b= 1
2
精确解：0.2500018… 0.2500 0.4999987… 0.5000
>> Gauss4(A,b,5)
ans =
高斯消元法
xn1
bn1
ann xn bn
则容易求得解为：
xn bn / ann
A为上三角矩阵
xk (bk
n jk
1
akj

x
j
)
/
akk
,
k n 1, ,1 4
下三角形方程组，下三角矩阵：
a11 0
a21
a22
an11
an1
则解为：
0 an1n2 ann2
an1n1 ann1
/
a(1) 11
1.14615
对于 n 阶方程，用增广矩阵 [A b] 推导高斯消 元法的求解过程：
（1）消元计算 （2）回代求解
13
1 0 0 0 2 1 3 1 1
1
1
0 0 2 2 1 1 2
0.5 1 1 0 1 1.5 1 1 3
15.5 25.5 23 1 3 1 2 1 4
0 0 0.5 2.5
0 0 0 65
15
2 1 3 1 或则： A 2 2 1 1 L U
1 1.5 1 1 3 1 2 1
1 0 0 0 2 1 3 1
1
1
0.5 1
0 0 0 1 2
2
1 0 0 0 0.5 2.5
1.5 2.5 23 1 0 0 0 65
A = 2.0 1.0 -3.0 1.0
2.0 1.0 -1.0 -1.0
1.0 1.5 1.0 1.0
3.0 -1.0 2.0 -1.0
>> b=[1;2;3;4];
>> vpGauss4(A,b,5) 列主元消元法
ans = 1.14130000000000
0 x1 b1
0
x2
b2
0
xn1
bn1
ann xn bn
x1 b1 / a11
xk (bk
a k1
j1 kj
x
j
)
/
akk
,
k 2, , n
5
1.2 高斯消元法
➢ 主要思想：把一般的线性代数方程组转化 为等价的（上）三角形方程组。
➢ 方程组的向量形式：
F4(3)
11.5 0.5
F3(3)
F4( 4 )
10
2x1 x2 3x3 x4 1
F1(1)
x2 2 x3 2 x4 1
F2(2)
0.5x3 2.5x4 1.5
F3(3)
65x4 29.5
F4(4)
F2(1) F3(1)
F1(1) 0.5F1(1)
F2(2) F3(2)
ik1, ,n jk1, ,n,n1
(7) 若
a(n) n,n
为 0，停机；
(8) 回代：
ak,n1 (ak,n1
a a ) / a , n
jk 1 kj j,n1
kk
k n, ,1
27
➢举例4： vpGauss4(A,b,5)
>> A=[2,1,-3,1;2,1,-1,-1;1,1.5,1,1;3,-1,2,-1]
a (3) 换行：
(k) ik j
a(k ) k, j
jk,k1, ,n,n1
(4) 计算消元乘数：ai(,kk)
a(k) i ,k
/
a(k) k,k
ik1, ,n
(5) 消元：
a( k 1) i, j
a(k ) i, j
a a (k) (k) i,k k, j
(6) k=k+1; if k<n 转(1);
F4(3)
11.5 0.5
F3(3)
F4( 4 )
8
2x1 x2 3x3 x4 1
F1(1)
x2 2 x3 2 x4 1
F2(2)
x2 2.5 x3 0.5 x4 2.5
F3(2)
2.5x2 6.5 x3 2.5 x4 2.5 F4(2)
F2(1) F3(1)
a1n x1 b1
a2n
x
2
b2
ann
xn
bn
n 阶非奇异的矩阵 A = [ aij ]nxn 称为系数矩阵， n 维向量 b = （b1, b2, …, bn )T 称为右端常数项。
2
➢ 当 |A|0 时，解存在唯一。 克拉默法则给出解的 公式是：
A的第 j 列
a11 b1 a1n
a(4) 44
29.5 / 65
0.453846
x3
x2
( b3( 3 ) ( b2( 2 )
a(3) 34
x4
)
/
a(3) 33
0.730769
a(2) 24
x4
a(2) 23
x3
)
/
a(2) 22
0.446154
x1
(b1(1)
a(1) 14
x4
a(1) 13
x3
a(1) 12
x2
)
第3章 线性代数方程组的解法
➢ n 阶线性代数方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
1
➢ 矩阵形式： A X = b
a11 a12
a21
a22
an1 an2
bb12((12))
0 0
0 0
a(3) 33 0
a(3) 34
a(4) 44
x3 x4
bb43((43
) )
2 1 3 1 x1 1
0 1 2
2
x2
1
0 0 0.5 2.5 x3 1.5
0 0
0
65
x4
29.5
12
解为：
x4
b(4) 4
/
de
t
a21
b2
a2
n
xj
an1
bn
ann
de t ( A)
j 1,2, , n
3
§1、高斯消元法与选主元技巧
1.1 三角形方程组及其解法
a11 a12
0
a22
0
0
0 0
a1n1 a2n1
an1n1 0
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
an1n
0
0.50000000000000 24
列主元消元法
0.00001
交
2
换
行
2
0.00001
2 x1
3
x2
1 2
3 x1 2 x2
2 1
>> vpGauss4(A, b, 5) 列主元消元法 ans =
0.25000000000000 0.50000000000000
25
列主元消去法（前面的例子2）
F2(2)
0.5x3 2.5x4 1.5
F3(3)
11.5x3 7.5x4 5
F4(3)
F2(1) F3(1)
F1(1) 0.5F1(1)
F2(2) F3(2)
F4(1)
1.5 F1(1)
F4( 2 )
F3(2) F2(2) F3(3) F4(2) 2.5F2(2) F4(3)
F4(1)
1.5 F1(1)
F4( 2 )
F3(2) F2(2) F3(3) F4(2) 2.5F2(2) F4(3)
F4(3)
11.5 0.5
F3(3)
F4( 4 )
11
a01(11)
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 13
a(2) 23
a(1) 14
a(2) 24
x1 x2
16
1 0 0 0 2 1 3 1
1
1
0.5 1
0 0 0 1 2
2
1 0 0 0 0.5 2.5
1.5 2.5 23 1 0 0 0 65
F2(1) F3(1)
1.0 F1(1) 0.5F1(1)
F2( 2 ) F3( 2 )
F4(1)
1.5 F1(1)
F4( 2 )
0
0
u22
u2n
ln1 ln2
lnn
0
0
unn
18
a11 a12 a21 a22 an1 an2
a1n
a2n
ann
n
aij lik ukj k 1
1 0 0 a11 a12 a1n
l21
1
0
0
u22
u2n
ln1
ln2
1
0
0
unn
0
0
a(2) 32
a(2) 42
a(2) 33
a(2) 43
a(2) 34
a(2) 44
x3 x4
bb43(( 22 ))
26
列主元消元法(用增广矩阵)
(0) k=1
(1) 选主元：选择 ik 使得
|
a(k) ik k