k i 1
a
n
ik
xk ) / aii
步骤： 1. bn / a nn x n 2. For i n 1, n 2, ,1
k i 1
2.1 (bi
a
n
ik
x k ) / aii xi
下三角方程组的一般形式为： a11 x1 a21 x1 a22 x2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 其中aii 0, i 1, 2, , n 下三角形方程组可以参照上三角形方程组的解法来求解， 下三角形方程组的求解顺序是从第一个方程开始，按照从上到下 的顺序，依次解出：x1 , x2 , , xn , 其计算公式为： b1 b2
构成一个含 n 个未知量的线性方程组,称为 n 阶线性方程组。 其中,系数a11,„,a1n,a21, „,a2n, „,an1, „,ann 是给定的常 数;b1, „,bn 也是给定的常数,通常称为常数项,或称为方程组 的右端. 方程组(1)也常用矩阵的形式表示,写为
Ax=b
其中,A是由系数按次序排列构成的一个n阶矩阵，称为方程组 的系数矩阵，x和b都是n维向量，称为方程组的右端向量。
x1 b1 / a11 i 1 xi (bi aik xk ) / aii (i 2, 3, , n) k 1 如上解三角形方程组的方法称为回代法。
例
1 、用回代法求解线性方程组 2 2 x1 2 x1 x2 3x 2 x 4 x 9 2 3 1
a11 a A 21 . a n1
a12 a 22 an 2
a1n a2n a nn
b1 b b 2 bn
x1 x x 2 xn
使方程组(1)中每一个方程都成立的一组数x1*,x2*, …,xn* 称为式(1)的解，把它记为向量的形式，称为解向量。
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(二)求解线性方程组的消元法
消(元)去法是求解线性方程组
Ax=b
(2)
和满秩矩阵的逆阵A-1的一种直接方法.尽管它比较古老,但它具 有演算步骤,推算公式都系统化的特点(对其中选主元消去法, 还可以证明是稳定的).因此,它至今仍然是求解方程组的一种 有效的方法.
消去法可以引出几种计算方法,下面按三角形方程 组和一般线性方程组的顺序来讨论。
解:
x1 2 / 2 1 x2 (2 1) /1 1 x3 (9 3 1 2 1) / 4 1 所以，解为 （x1 , x2 , x3 ) (1,1,1) 求解一个三角形方程组需n个除法与 1 1 2 （i 1) n(n 1) n 次加法与乘法。 2 2 i 1
我们总是希望方程组有解,且有唯一解.由线性代数的克莱 姆(cramer)规则可知,如果方程组(1)的系数矩阵A的行列式(一 般记为D=ⅠAⅠ)不等于零,那么,这个方程组有唯一解,而且它 们可以表示为 xi=Di/D (i=1,…,n) 这里,Di是指D中第i列元素用右端b1,… bn代替构成的行列式. 如果方程组(1)有唯一解,我们按上面的等式求解,就必须 计算n+1个n阶行列式.由行列式的定义,n阶行列式包含有n!项, 每一项含有n个因子,计算一个n阶行列式就需要做(n-1)n!次乘 法.而我们一共要计算n+1个n阶行列式,共需做(n2-1)n!次乘法. 此外,还要做n次除法才能算出xi(i=1,… n).也就是说,用这个 办法求解就要做
1.三角形方程组的解法
三角形方程组包括上三角形方程组和下三角 形方程组，是最简单的线性方程组之一，实际上 消元法就是通过简化一般线性方程组为三角形方 程组后再求解的。上三角方程组的一般形式是：
a11x1 a12 x2 .......... .......... .......... a1n xn b1 a22 x2 .......... .......... ......... a2 n xn b2 .......... .......... .......... ......... .. an1n1 xn1 an1n xn bn1 ann xn bn 其中aii 0 (i 1,2,......, n )
N=(n2-1)n!+n
次乘除法运算,这个计算量是大得惊人的.例如,当n=10(即求解 一个含10个未知量的方程组),乘除法的运算次数共为32659210 次;
当n=40，乘除法运算次数可达3.181049次。对于上百个未知 量的方程组，次数运算量就更大了。因此可莱姆规则在理论上 尽管是完善的，但在实际计算中却没有什么实用价值。我们将 重点讨论求解线性方程组的一种有效的数值方法。
计算方法
北京科技大学数理学院 卫宏儒 weihr@
第4章:线性方程组的直接解法
高斯消元法与主元消元法
高斯消元法是一个古老的直接法,由它改进得到的 选主元的消元法,是目前计算机上常用于求低阶稠密矩 阵方程组的有效方法,其特点就是通过消元将一般线性 方程组的求解问题转化为三角方程组的求解问题
关键词： 高斯消元法 主元消元法
(一)引言 为便于以下讨论,把涉及到的有关名词及
问题的引出暂介绍如下:
如果未知量的个数为 n ,而且关于这些未知量 x1,x2, „ ,xn 的幂次都是一次的(线性的),那么, n 个方 程
a11x1+a12x2+ „ +a1nxn=b1 ┆ ┆ ┆ an1x1+an2x2+ „ +annxn=bn (1)
为求解上面的上三角方程组，从最后一 个方程开始，先解出xn bn / ann , 然后按方程 从后向前的顺序，用已求出的xk 值，从方程 中依次解出xn 1 , xn 2 ,...., x1。这样就完成了上三 角方程组的求解过程。这个过程的计算公式为： xn bn / ann xi (bi