解线性方程组的直接解法一、实验目的及要求关于线性方程组的数值解法一般分为两大类：直接法与迭代法。
直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算来求方程组解的方法。
通过本次试验的学习，应该掌握各种直接法，如：高斯列主元消去法，LU分解法和平方根法等算法的基本思想和原理，了解它们各自的优缺点及适用范围。
二、相关理论知识求解线性方程组的直接方法有以下几种：1、利用左除运算符直接求解线性方程组为bx\=即可。
AAx=，则输入b2、列主元的高斯消元法程序流程图：输入系数矩阵A，向量b，输出线性方程组的解x。
根据矩阵的秩判断是否有解，若无解停止；否则，顺序进行；对于1p:1-=n选择第p列中最大元，并且交换行；消元计算；回代求解。
（此部分可以参看课本第150页相关算法）3、利用矩阵的分解求解线性方程组（1）LU分解调用matlab中的函数lu即可，调用格式如下：[L,U]=lu（A）注意：L往往不是一个下三角，但是可以经过行的变换化为单位下三角。
（2）平方根法调用matlab 中的函数chol 即可，调用格式如下：R=chol （A ）输出的是一个上三角矩阵R ，使得R R A T =。
三、研究、解答以下问题问题1、先将矩阵A 进行楚列斯基分解，然后解方程组b Ax =(即利用平方根法求解线性方程组，直接调用函数)：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=19631699723723312312A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=71636b 解答：程序：A=[12 -3 2 1;-3 23 -7 -3;2 -7 99 -6;1 -3 -6 19];R=chol(A)b=[6 3 -16 7]';y=inv(R')*b %y=R'\bx=inv(R)*y %x=R\y结果：R =3.4641 -0.8660 0.5774 0.28870 4.7170 -1.3780 -0.58300 0 9.8371 -0.70850 0 0 4.2514y =1.73210.9540-1.59451.3940x =0.54630.2023-0.13850.3279问题 2、先将矩阵A 进行LU 分解，然后解方程组b Ax =（直接调用函数）：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=8162517623158765211331056897031354376231A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=715513252b解答：程序：A=[1/3 -2 76 3/4 5;3 1/sqrt(3) 0 -7 89;56 0 -1 3 13;21 65 -7 8 15;23 76 51 62 81];b=[2/sqrt(5);-2;3;51;5/sqrt(71)];[L,U]=lu(A)y=inv(L)*bx=inv(U)*y结果：L = 0.0060 -0.0263 1.0000 0 00.0536 0.0076 -0.0044 0.1747 1.00001.0000 0 0 0 00.3750 0.8553 -0.6540 1.0000 00.4107 1.0000 0 0 0U =56.0000 0 -1.0000 3.0000 13.00000 76.0000 51.4107 60.7679 75.66070 0 77.3589 2.3313 6.91370 0 0 -43.5728 -50.06310 0 0 0 96.5050y =3.0000-0.63880.859850.9836-11.0590x =0.13670.90040.0526-1.0384-0.1146问题3、利用列主元的高斯消去法，求解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=--+=-+-=+-+01002010100511.030520001.0204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解答：程序：function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[A b];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0disp('Çë×¢Ò⣺RA~=RB£¬ËùÒÔ´Ë·½³Ì×éÎ޽⡣')returnendif RA==RBif RA==ndisp('Çë×¢Ò⣺ÒòΪRA=RB=n,ËùÒÔ´Ë·½³Ì×éÓÐΨһ½â¡£')X=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1);for p=1:n-1[Y ,j]=max(abs(B(p:n,p)));C=B(p,:);for k=p+1:nm=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1)endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('Çë×¢Ò⣺ÒòΪRA=RB¡´n£¬ËùÒÔ´Ë·½³ÌÓÐÎÞÇî¶à½â¡£') endend键入A=[1 20 -1 0.0012 -5 30 -0.15 1 -100 -102 -100 -1 1];b=[0;1;0;0];[RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)结果：请注意：因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解。
B = 1.0000 20.0000 -1.0000 0.0010 00 -45.0000 32.0000 -0.1020 1.00005.0000 1.0000 -100.0000 -10.0000 02.0000 -100.0000 -1.0000 1.0000 0B = 1.0000 20.0000 -1.0000 0.0010 00 -45.0000 32.0000 -0.1020 1.00000 -99.0000 -95.0000 -10.0050 02.0000 -100.0000 -1.0000 1.0000 0B = 1.0000 20.0000 -1.0000 0.0010 00 -45.0000 32.0000 -0.1020 1.00000 -99.0000 -95.0000 -10.0050 00 -140.0000 1.0000 0.9980 0B = 1.0000 20.0000 -1.0000 0.0010 00 -45.0000 32.0000 -0.1020 1.00000 0.0000 -165.4000 -9.7806 -2.20000 -140.0000 1.0000 0.9980 0B = 1.0000 20.0000 -1.0000 0.0010 00 -45.0000 32.0000 -0.1020 1.00000 0.0000 -165.4000 -9.7806 -2.20000 0 -98.5556 1.3153 -3.1111B = 1.0000 20.0000 -1.0000 0.0010 00 -45.0000 32.0000 -0.1020 1.00000 0.0000 -165.4000 -9.7806 -2.20000 0 0 7.1432 -1.8002 RA =4RB = 4n =4X =0.0604-0.00160.0282-0.2520请注意：因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解。
B = 1.0000 20.0000 -1.0000 0.0010 00 -45.0000 32.0000 -0.1020 1.00005.0000 1.0000 -100.0000 -10.0000 02.0000 -100.0000 -1.0000 1.0000 0B = 1.0000 20.0000 -1.0000 0.0010 00 -45.0000 32.0000 -0.1020 1.00000 -99.0000 -95.0000 -10.0050 02.0000 -100.0000 -1.0000 1.0000 0B = 1.0000 20.0000 -1.0000 0.0010 00 -45.0000 32.0000 -0.1020 1.00000 -99.0000 -95.0000 -10.0050 00 -140.0000 1.0000 0.9980 0B = 1.0000 20.0000 -1.0000 0.0010 00 -45.0000 32.0000 -0.1020 1.00000 0.0000 -165.4000 -9.7806 -2.20000 -140.0000 1.0000 0.9980 0B =1.0000 20.0000 -1.0000 0.0010 00 -45.0000 32.0000 -0.1020 1.00000 0.0000 -165.4000 -9.7806 -2.20000 0 -98.5556 1.3153 -3.1111B =1.0000 20.0000 -1.0000 0.0010 00 -45.0000 32.0000 -0.1020 1.00000 0.0000 -165.4000 -9.7806 -2.20000 0 0 7.1432 -1.8002 RA =4RB =4n =4X = 0.0604-0.00160.0282-0.2520四、实验结果分析在用LU法，调用matlab中的函数lu中，L往往不是一个下三角，但可以直接计算不用它的结果来计算，不用进行行变换。