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中考数学专题题库∶锐角三角函数的综合题

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,△ABC 内接于⊙O ,2,BC AB AC ==,点D 为AC 上的动点,且10cos B =. (1)求AB 的长度;(2)在点D 运动的过程中,弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ,问AD•AE 的值是否变化?若不变,请求出AD•AE 的值;若变化,请说明理由.(3)在点D 的运动过程中,过A 点作AH ⊥BD ,求证:BH CD DH =+.【答案】(1) 10AB ;(2) 10AD AE ⋅=;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G ,由垂径定理可得BF=1,再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长;(2)连接DG ,则可得AG 为⊙O 的直径,继而可证明△DAG ∽△FAE ,根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ,连接BG ,求得AF=3,FG=13,继而即可求得AD•AE 的值; (3)连接CD ,延长BD 至点N ,使DN=CD ,连接AN ,通过证明△ADC ≌△ADN ,可得AC=AN ,继而可得AB=AN ,再根据AH ⊥BN ,即可证得BH=HD+CD. 【详解】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G ,∵AB=AC ,AF ⊥BC ,∴BF=CF=12BC=1, 在RtΔAFB 中,BF=1,∴AB=10cos 10BF B == (2)连接DG ,∵AF ⊥BC ,BF=CF ,∴AG 为⊙O 的直径,∴∠ADG=∠AFE=90°, 又∵∠DAG=∠FAE ,∴△DAG ∽△FAE , ∴AD :AF=AG :AE , ∴AD•AE=AF•AG ,连接BG ,则∠ABG=90°,∵BF ⊥AG ,∴BF 2=AF•FG , ∵22AB BF -=3,∴FG=13,∴AD•AE=AF•AG=AF•(AF+FG)=3×10=10;3(3)连接CD,延长BD至点N,使DN=CD,连接AN,∵∠ADB=∠ACB=∠ABC,∠ADC+∠ABC=180°,∠ADN+∠ADB=180°,∴∠ADC=∠ADN,∵AD=AD,CD=ND,∴△ADC≌△ADN,∴AC=AN,∵AB=AC,∴AB=AN,∵AH⊥BN,∴BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.2.如图,在⊙O的内接三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D,垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.(1)求证:△PAC∽△PDF;(2)若AB=5,,求PD的长;(3)在点P运动过程中,设=x,tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围)【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【解析】试题分析:(1)应用圆周角定理证明∠APD=∠FPC,得到∠APC=∠FPD,又由∠PAC=∠PDC,即可证明结论.(2)由AC=2BC,设,应用勾股定理即可求得BC,AC的长,则由AC=2BC得,由△ACE∽△ABC可求得AE,CE的长,由可知△APB是等腰直角三角形,从而可求得PA的长,由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,从而求得DF的长,由(1)△PAC∽△PDF得,即可求得PD的长.(3)连接BP,BD,AD,根据圆的对称性,可得,由角的转换可得,由△AGP∽△DGB可得,由△AGD∽△PGB可得,两式相乘可得结果.试题解析:(1)由APCB内接于圆O,得∠FPC=∠B,又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,∴∠APD=∠FPC.∴∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD.又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF.(2)连接BP,设,∵∠ACB=90°,AB=5,∴.∴.∵△ACE∽△ABC,∴,即. ∴.∵AB⊥CD,∴.如图,连接BP,∵,∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB=45°,.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由(1)△PAC∽△PDF得,即.∴PD的长为.(3)如图,连接BP,BD,AD,∵AC=2BC,∴根据圆的对称性,得AD=2DB,即.∵AB⊥CD,BP⊥AE,∴∠ABP=∠AFD.∵,∴.∵△AGP∽△DGB,∴.∵△AGD∽△PGB,∴.∴,即.∵,∴.∴与之间的函数关系式为.考点:1.单动点问题;2.圆周角定理;3.相似三角形的判定和性质;4.勾股定理;5.等腰直角三角形的判定和性质;6.垂径定理;7.锐角三角函数定义;8.由实际问题列函数关系式.3.如图,已知正方形在直角坐标系中,点分别在轴、轴的正半轴上,点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点,分别在上,且将三角板绕点逆时针旋转至的位置,连结(1)求证:(2)若三角板绕点逆时针旋转一周,是否存在某一位置,使得若存在,请求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在,或【解析】(1)证明:∵四边形为正方形,∴∵三角板是等腰直角三角形,∴又三角板绕点逆时针旋转至的位置时,∴···························· 3分(2)存在.································· 4分∵∴过点与平行的直线有且只有一条,并与垂直,又当三角板绕点逆时针旋转一周时,则点在以为圆心,以为半径的圆上,························ 5分∴过点与垂直的直线必是圆的切线,又点是圆外一点,过点与圆相切的直线有且只有2条,不妨设为和此时,点分别在点和点,满足·························· 7分当切点在第二象限时,点在第一象限,在直角三角形中,∴∴∴点的横坐标为:点的纵坐标为:∴点的坐标为··························· 9分当切点在第一象限时,点在第四象限,同理可求:点的坐标为综上所述,三角板绕点逆时针旋转一周,存在两个位置,使得此时点的坐标为或································ 11分(1)根据旋转的性质找到相等的线段,根据SAS定理证明;(2)由于△OEF是等腰Rt△,若OE∥CF,那么CF必与OF垂直;在旋转过程中,E、F的轨迹是以O为圆心,OE(或OF)长为半径的圆,若CF⊥OF,那么CF必为⊙O的切线,且切点为F;可过C作⊙O的切线,那么这两个切点都符合F点的要求,因此对应的E点也有两个;在Rt△OFC中,OF=2,OC=OA=4,可证得∠FCO=30°,即∠EOC=30°,已知了OE 的长,通过解直角三角形,不难得到E点的坐标,由此得解.4.某条道路上通行车辆限速60千米/时,道路的AB段为监测区,监测点P到AB的距离PH为50米(如图).已知点P在点A的北偏东45°方向上,且在点B的北偏西60°方向上,点B在点A的北偏东75°方向上,那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内,可认定为超速?(参考数据:3≈1.7,2≈1.4).【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内,可认定为超速【解析】分析:根据点到直线的距离的性质,构造直角三角形,然后利用解直角三角形的应用,解直角三角形即可.详解:如图,由题意知∠CAB=75°,∠CAP=45°,∠PBD=60°,∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°,∵∠PHA=∠PHB=90°,PH=50,∴AH=tanPHPAH∠33,∵AC∥BD,∴∠ABD=180°–∠CAB=105°,∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°,则PH=BH=50,∴3,∵60千米/时=503米/秒,∴时间503503+3≈8.1(秒),即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内,可认定为超速.点睛:该题考查学生通过构建直角三角形,利用某个度数的三角函数值求出具体边长,即实际路程,并进行判断相关的量。

5.在正方形ABCD中,AC是一条对角线,点E是边BC上的一点(不与点C重合),连接AE,将△ABE沿BC方向平移,使点B与点C重合,得到△DCF,过点E作EG⊥AC于点G,连接DG,FG.(1)如图,①依题意补全图;②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系,并证明;(2)已知正方形的边长为6,当∠AGD=60°时,求BE的长.【答案】(1)①见解析,②FG=DG,FG⊥DG,见解析;(2)3BE=【解析】【分析】(1)①补全图形即可,②连接BG,由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG=GF,由正方形的对称性质得出BG=DG,得出FG=DG,在证出∠DGF=90°,得出FG⊥DG即可,(2)过点D作DH⊥AC,交AC于点H.由等腰直角三角形的性质得出DH=AH=2FG=DG=2GH=6,得出DF2DG=3Rt△DCF中,由勾股定理得出CF=3得出结果.【详解】解:(1)①补全图形如图1所示,②FG=DG,FG⊥DG,理由如下,连接BG,如图2所示,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACB=45°,∵EG⊥AC,∴∠EGC=90°,∴△CEG是等腰直角三角形,EG=GC,∴∠GEC=∠GCE=45°,∴∠BEG=∠GCF=135°,由平移的性质得:BE=CF,在△BEG和△GCF中,BE CFBEG GCF EG CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BEG≌△GCF(SAS),∴BG=GF,∵G在正方形ABCD对角线上,∴BG =DG , ∴FG =DG ,∵∠CGF =∠BGE ,∠BGE+∠AGB =90°, ∴∠CGF+∠AGB =90°, ∴∠AGD+∠CGF =90°, ∴∠DGF =90°, ∴FG ⊥DG.(2)过点D 作DH ⊥AC ,交AC 于点H .如图3所示, 在Rt △ADG 中, ∵∠DAC =45°, ∴DH =AH =32,在Rt △DHG 中,∵∠AGD =60°, ∴GH =3=323=6,∴DG =2GH =26, ∴DF =2DG =43, 在Rt △DCF 中,CF =()22436-=23,∴BE =CF =23.【点睛】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识;本题综合性强,证明三角形全等是解题的关键.6.如图,在平面直角坐标系中,直线DE交x轴于点E(30,0),交y轴于点D(0,40),直线AB:y=13x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F,以EF为一边向右作正方形EFGH.(1)求边EF的长;(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移,得到正方形E1F1G1H1,在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直,设平移的时间为t秒(t>0).①当点F1移动到点B时,求t的值;②当G1,H1两点中有一点移动到直线DE上时,请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积.【答案】(1)EF=15;(2)①10;②120;【解析】【分析】(1)根据已知点E(30,0),点D(0,40),求出直线DE的直线解析式y=-43x+40,可求出P点坐标,进而求出F点坐标即可;(2)①易求B(0,5),当点F1移动到点B时,1010=10;②F点移动到F'10t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE上时,在Rt△F'NF中,NFNF'=13,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在Rt△DMH'中,43MHEM'=,t=4,S=12×(12+454)×11=10238;当点G运动到直线DE上时,在Rt△F'PK中,PKF K'=13,PK=t-3,F'K=3t-9,在Rt△PKG'中,PKKG'=31539tt--+=43,t=7,S=15×(15-7)=120.【详解】(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点E(30,0),点D(0,40),∴30040k bb+=⎧⎨=⎩,∴4340 kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴y=﹣43x+40,直线AB与直线DE的交点P(21,12),由题意知F(30,15),∴EF=15;(2)①易求B(0,5),∴BF=1010,∴当点F1移动到点B时,t=101010÷=10;②当点H运动到直线DE上时,F点移动到F'10,在Rt△F'NF中,NFNF'=13,∴FN=t,F'N=3t,∵MH'=FN=t,EM=NG'=15﹣F'N=15﹣3t,在Rt△DMH'中,43MHEM'=,∴41533tt=-,∴t=4,∴EM=3,MH'=4,∴S=1451023(12)11248⨯+⨯=;当点G运动到直线DE上时,F 点移动到F'的距离是10t , ∵PF =310, ∴PF'=10t ﹣310, 在Rt △F'PK 中,13PK F K =', ∴PK =t ﹣3,F'K =3t ﹣9, 在Rt △PKG'中,PK KG '=31539t t --+=43, ∴t =7,∴S =15×(15﹣7)=120. 【点睛】本题考查一次函数图象及性质,正方形的性质;掌握待定系数法求函数解析式,利用三角形的正切值求边的关系,利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系,准确确定阴影部分的面积是解题的关键.7.如图所示的是一个地球仪及它的平面图,在平面图中,点A 、B 分别为地球仪的南、北极点,直线AB 与放置地球仪的平面交于点D ,所夹的角度约为67°,半径OC 所在的直线与放置它的平面垂直,垂足为点E ,DE =15cm ,AD =14cm .(1)求半径OA 的长(结果精确到0.1cm ,参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36)(2)求扇形BOC 的面积(π取3.14,结果精确到1cm )【答案】(1)半径OA 的长约为24.5cm ;(2)扇形BOC 的面积约为2822cm . 【解析】 【分析】(1)在Rt △ODE 中,DE=15,∠ODE=67°,根据∠ODE 的余弦值,即可求得OD 长,减去AD即为OA .(2)用扇形面积公式即可求得. 【详解】(1)在Rt △ODE 中,15cm DE =,67ODE ∠=︒. ∵cos DEODE DO∠=, ∴150.39OD ≈, ∴()384614245cm OA OD AD =-≈-≈.., 答:半径OA 的长约为24.5cm . (2)∵67ODE ∠=︒, ∴157BOC ∠=︒, ∴2360BOCn r S π=扇形 2157 3.1424.52360⨯⨯≈()2822cm ≈.答:扇形BOC 的面积约为2822cm . 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用,本题把实际问题转化成数学问题,利用三角函数中余弦定义来解题是解题关键.8.如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退,红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截,红方行驶1000米到达C 处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D 处成功拦截蓝方,求拦截点D 处到公路的距离(结果不取近似值).【答案】拦截点D 处到公路的距离是(500+500)米.【解析】试题分析:过B 作AB 的垂线,过C 作AB 的平行线,两线交于点E ;过C 作AB 的垂线,过D 作AB 的平行线,两线交于点F ,则∠E=∠F=90°,拦截点D 处到公路的距离DA=BE+CF .解Rt △BCE ,求出BE=BC=×1000=500米;解Rt △CDF ,求出CF=CD=500米,则DA=BE+CF=(500+500)米.试题解析:如图,过B作AB的垂线,过C作AB的平行线,两线交于点E;过C作AB的垂线,过D作AB的平行线,两线交于点F,则∠E=∠F=90°,拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF.在Rt△BCE中,∵∠E=90°,∠CBE=60°,∴∠BCE=30°,∴BE=BC=×1000=500米;在Rt△CDF中,∵∠F=90°,∠DCF=45°,CD=BC=1000米,∴CF=CD=500米,∴DA=BE+CF=(500+500)米,故拦截点D处到公路的距离是(500+500)米.考点:解直角三角形的应用-方向角问题.9.如图,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过点,.点为轴上一动点,过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点,.(1)填空:点的坐标为,抛物线的解析式为;(2)当点在线段上运动时(不与点,重合),①当为何值时,线段最大值,并求出的最大值;②求出使为直角三角形时的值;(3)若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是,请直接写出此时由点,,,构成的四边形的面积.【答案】(1),;(2)①当时,有最大值是3;②使为直角三角形时的值为3或;(3)点,,,构成的四边形的面积为:6或或.【解析】【分析】(1)把点A坐标代入直线表达式y=,求出a=−3,把点A、B的坐标代入二次函数表达式,即可求解;(2)①设:点P(m,),N(m,)求出PN值的表达式,即可求解;②分∠BNP=90°、∠NBP=90°、∠BPN=90°三种情况,求解即可;(3)若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h,则只能出现:在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N,在直线AB上方的交点有两个,分别求解即可.【详解】解:(1)把点坐标代入直线表达式,解得:,则:直线表达式为:,令,则:,则点坐标为,将点的坐标代入二次函数表达式得:,把点的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,故:抛物线的解析式为:,故:答案为:,;(2)①∵在线段上,且轴,∴点,,∴,∵,∴抛物线开口向下,∴当时,有最大值是3,②当时,点的纵坐标为-3,把代入抛物线的表达式得:,解得:或0(舍去),∴;当时,∵,两直线垂直,其值相乘为-1,设:直线的表达式为:,把点的坐标代入上式,解得:,则:直线的表达式为:,将上式与抛物线的表达式联立并解得:或0(舍去),当时,不合题意舍去,故:使为直角三角形时的值为3或;(3)∵,,在中,,则:,,∵轴,∴,若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是,则只能出现:在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点,在直线上方的交点有两个.当过点的直线与抛物线有一个交点,点的坐标为,设:点坐标为:,则:,过点作的平行线,则点所在的直线表达式为:,将点坐标代入,解得:过点直线表达式为:,将拋物线的表达式与上式联立并整理得:,,将代入上式并整理得:,解得:,则点的坐标为,则:点坐标为,则:,∵,,∴四边形为平行四边形,则点到直线的距离等于点到直线的距离,即:过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点,即:、,直线的表达式为:,将该表达式与二次函数表达式联立并整理得:,解得:,则点、的横坐标分别为,,作交直线于点,则,作轴,交轴于点,则:,,,则:,同理:,故:点,,,构成的四边形的面积为:6或或.【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识,其中(3)中确定点N的位置是本题的难点,核心是通过△=0,确定图中N点的坐标.10.如图,Rt△ABC,CA⊥BC,AC=4,在AB边上取一点D,使AD=BC,作AD的垂直平分线,交AC边于点F,交以AB为直径的⊙O于G,H,设BC=x.(1)求证:四边形AGDH为菱形;(2)若EF=y,求y关于x的函数关系式;(3)连结OF,CG.①若△AOF为等腰三角形,求⊙O的面积;②若BC=3,则30CG+9=______.(直接写出答案).【答案】(1)证明见解析;(2)y=18x2(x>0);(3)①163π或8π或(17+2)π;21.【解析】【分析】(1)根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可;(2)只要证明△AEF∽△ACB,可得AE EFAC BC=解决问题;(3)①分三种情形分别求解即可解决问题;②只要证明△CFG∽△HFA,可得GFAF=CGAH,求出相应的线段即可解决问题;【详解】(1)证明:∵GH垂直平分线段AD,∴HA=HD,GA=GD,∵AB是直径,AB⊥GH,∴EG=EH,∴DG=DH,∴AG=DG=DH=AH,∴四边形AGDH是菱形.(2)解:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∵AE⊥EF,∴∠AEF=∠ACB=90°,∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF∽△ACB,∴AE EFAC BC=,∴124x yx=,∴y=18x2(x>0).(3)①解:如图1中,连接DF .∵GH 垂直平分线段AD , ∴FA =FD ,∴当点D 与O 重合时,△AOF 是等腰三角形,此时AB =2BC ,∠CAB =30°, ∴AB =83, ∴⊙O 的面积为163π. 如图2中,当AF =AO 时,∵AB 22AC BC +216x +∴OA 216x +, ∵AF 22EF AE +2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2162x +2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得x =4(负根已经舍弃), ∴AB =2∴⊙O的面积为8π.如图2﹣1中,当点C与点F重合时,设AE=x,则BC=AD=2x,AB=2164x+,∵△ACE∽△ABC,∴AC2=AE•AB,∴16=x•2164x+,解得x2=217﹣2(负根已经舍弃),∴AB2=16+4x2=817+8,∴⊙O的面积=π•14•AB2=(217+2)π综上所述,满足条件的⊙O的面积为163π或8π或(217+2)π;②如图3中,连接CG.∵AC=4,BC=3,∠ACB=90°,∴AB=5,∴OH=OA=52,∴AE=32,∴OE=OA﹣AE=1,∴EG=EH2512⎛⎫-⎪⎝⎭212,∵EF =18x 2=98, ∴FG=2﹣98,AF158,AH,∵∠CFG =∠AFH ,∠FCG =∠AHF , ∴△CFG ∽△HFA , ∴GF CGAF AH=,∴928158-= ∴CG,∴=.故答案为【点睛】本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.。

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