∴ ∠ COP＝ 1 ∠ COD＝30°， 2
∴ QM＝OP＝OC•cos30°＝5 3 （分米），
∵ ∠ AOC＝∠ QOP＝90°， ∴ ∠ AOQ＝∠ COP＝30°，
∴ AQ＝ 1 OA＝5（分米）， 2
∴ AM＝AQ＋MQ＝5＋5 3 ．
∵ OB∥ CD， ∴ ∠ BOD＝∠ ODC＝60°
∴ ∠ C=60°，在 Rt△ ACD 中，∠ C=60°，AD= ，则 tanC= ，∴ CD=
∴ BC=
．故该船与 B 港口之间的距离 CB 的长为
=， 海里．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
4．问题背景: 如图（a）,点 A、B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一点 C，使 AC 与 BC 的距离之和最 小，我们可以作出点 B 关于 l 的对称点 B′,连接 A B′与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求.
∴
．
∴ BE+EF 的最小值为 【解析】 试题分析：（1）找点 A 或点 B 关于 CD 的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和 MN 的交点 P 就是所求作的位置，根据题意先求出∠ C′AE，再根据勾股定理求出 AE，即可 得出 PA+PB 的最小值： 如图作点 B 关于 CD 的对称点 E，连接 AE 交 CD 于点 P，此时 PA+PB 最小，且等于 A．作直 径 AC′，连接 C′E， 根据垂径定理得弧 BD=弧 DE．
∴ ∠ DCH＝17°．设 DP＝x，则
.
由
得：
，∴
．即 PD=
法二：四点共向作法，A、H、D、P 共向，∴ ∠ APD＝∠ AHB＝62°，
∴
．
考点：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质；死电脑共圆
6．如图，已知点 从
出发，以 1 个单位长度/秒的速度沿 轴向正方向运动，以
为顶点作菱形 ，使点 在第一象限内，且
∵ ∠ ACD=30°，∴ ∠ AOD=60°，∠ DOE=30°．∴ ∠ AOE=90°． ∴ ∠ C′AE=45°． 又 AC 为圆的直径，∴ ∠ AEC′=90°．
∴ ∠ C′=∠ C′AE=45°．∴ C′E=AE= AC′= 2 2 ． ∴ AP+BP 的最小值是 2 2 ．
（2）首先在斜边 AC 上截取 AB′=AB，连接 BB′，再过点 B′作 B′F⊥AB，垂足为 F，交 AD 于 E，连接 BE，则线段 B′F 的长即为所求．
5．在正方形 ABCD 中，BD 是一条对角线.点 P 在射线 CD 上（与点 C，D 不重合），连接 AP，平移△ ADP，使点 D 移动到点 C，得到△ BCQ，过点 Q 作 QH⊥BD 于点 H，连接 AH、 PH.
（1）若点 P 在线 CD 上，如图 1， ①依题意补全图 1；②判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明； （2）若点 P 在线 CD 的延长线上，且∠ AHQ＝152°，正方形 ABCD 的边长为 1，请写出求 DP 长的思路.（可以不写出计算结果）
法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH
证：连接 CH，得：△ DHQ 等腰 Rt△ ，又∵ DP＝CQ，∴ △ HDP≌ △ △ HQC，∴ PH＝CH，
∠ HPC＝∠ HCP
BD 为正方形 ABCD 对称轴，∴ AH＝CH，∠ DAH＝∠ HCP，∴ AH＝PH，∠ DAH＝∠ HPC，
∴ ∠ AHP＝180°－∠ ADP＝90°，∴ AH＝PH 且 AH⊥PH．
（1）实践运用： 如图(b)，已知，⊙O 的直径 CD 为 4，点 A 在⊙O 上，∠ ACD=30°，B 为弧 AD 的中点，P 为 直径 CD 上一动点，则 BP+AP 的最小值为 ． （2）知识拓展： 如图(c)，在 Rt△ ABC 中，AB=10，∠ BAC=45°，∠ BAC 的平分线交 BC 于点 D，E、F 分别是 线段 AD 和 AB 上的动点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程．
；以
为圆心， 为
半径作圆．设点 运动了 秒，求：
（1）点 的坐标（用含 的代数式表示）； （2）当点 在运动过程中，所有使 与菱形
的边所在直线相切的 的
值．
【答案】解：（1）过 作
轴于 ，
，
，
，
，
点 的坐标为
．
（2）①当 与 相切时（如图 1），切点为 ，此时
，
，
，
．
②当 与 ，即与 轴相切时（如图 2），则切点为 ，
法二：四点共圆法，同上得：∠ HPC＝∠ DAH，∴ A、D、P、H 共向，∴ ∠ AHP＝90°，
∠ APH＝∠ ADH＝45°，∴ △ APH 等腰 Rt△ ．
（2）法一：轴对称作法 考虑△ DHQ 等腰 Rt△ ，PD＝CQ，作 HR⊥PC 于 R，∵ ∠ AHQ＝152°，∴ ∠ AHB＝62°， ∴ ∠ DAH＝17°
对等角得∠ HPC＝∠ HCP，再结合 BD 是正方形的对称轴得出∠ AHP＝180°－∠ ADP＝90°，
∴ AH＝PH 且 AH⊥PH．四点共圆作法，同上得：∠ HPC＝∠ DAH，∴ A、D、P、H 共向，
∴ ∠ AHP＝90°，∠ APH＝∠ ADH＝45°，∴ △ APH 等腰 Rt△ ．
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．图 1 是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图 2 所示，两 支脚 OC＝OD＝10 分米，展开角∠ COD＝60°，晾衣臂 OA＝OB＝10 分米，晾衣臂支架 HG ＝FE＝6 分米，且 HO＝FO＝4 分米．当∠ AOC＝90°时，点 A 离地面的距离 AM 为_______ 分米；当 OB 从水平状态旋转到 OB′（在 CO 延长线上）时，点 E 绕点 F 随之旋转至 OB′上 的点 E′处，则 B′E′﹣BE 为_________分米．
切时，过 P 作 PE 垂直于 OC，又 PC=PO，利用三线合一得到 E 为 OC 的中点，OE 为 OC 的
一半，而 OE=OPcos30°，列出关于 t 的方程，求出方程的解即可得到 t 的值；③当圆 P 与
AB 所在的直线相切时，设切点为 F，PF 与 OC 交于点 G，由切线的性质得到 PF 垂直于
分三种情况探讨：①当圆 P 与 OC 相切时，如图 1 所示，由切线的性质得到 PC 垂直于
OC，再由 OA=+t，根据菱形的边长相等得到 OC=1+t，由∠ AOC 的度数求出∠ POC 为 30°，
在直角三角形 POC 中，利用锐角三角函数定义表示出 cos30°=oc/op，表示出 OC，
等于 1+t 列出关于 t 的方程，求出方程的解即可得到 t 的值；②当圆 P 与 OA，即与 x 轴相
3．（6 分）某海域有 A，B 两个港口，B 港口在 A 港口北偏西 30°方向上，距 A 港口 60 海 里，有一艘船从 A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于 B 港口南偏东 75°方 向的 C 处，求该船与 B 港口之间的距离即 CB 的长（结果保留根号）．
【答案】
．
【解析】
试题分析：作 AD⊥BC 于 D，于是有∠ ABD=45°，得到 AD=BD= ，求出∠ C=60°，根据 正切的定义求出 CD 的长，得到答案． 试题解析：作 AD⊥BC 于 D，∵ ∠ EAB=30°，AE∥ BF，∴ ∠ FBA=30°，又∠ FBC=75°， ∴ ∠ ABD=45°，又 AB=60，∴ AD=BD= ，∵ ∠ BAC=∠ BAE+∠ CAE=75°，∠ ABC=45°，
【答案】解：（1） 2 2 ．
（2）如图，在斜边 AC 上截取 AB′=AB，连接 BB′．
∵ AD 平分∠ BAC，∴ 点 B 与点 B′关于直线 AD 对称． 过点 B′作 B′F⊥AB,垂足为 F，交 AD 于 E，连接 BE． 则线段 B′F 的长即为所求 (点到直线的距离最短) ． 在 Rt△ AFB/中，∵ ∠ BAC=450, AB/="AB=" 10，
AB，则 PF 垂直于 OC，由 CD=FG，在直角三角形 OCD 中，利用锐角三角函数定义由 OC 表
示出 CD，即为 FG，在直角三角形 OPG 中，利用 OP 表示出 PG，用 PG+GF 表示出 PF，根
【答案】 5 5 3 4
【解析】 【分析】 如图，作 OP⊥CD 于 P，OQ⊥AM 于 Q，FK⊥OB 于 K，FJ⊥OC 于 J．解直角三角形求出 MQ，AQ 即可求出 AM，再分别求出 BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作 OP⊥CD 于 P，OQ⊥AM 于 Q，FK⊥OB 于 K，FJ⊥OC 于 J． ∵ AM⊥CD， ∴ ∠ QMP＝∠ MPO＝∠ OQM＝90°， ∴ 四边形 OQMP 是矩形， ∴ QM＝OP， ∵ OC＝OD＝10，∠ COD＝60°， ∴ △ COD 是等边三角形， ∵ OP⊥CD，
（2）轴对称作法同（1）作 HR⊥PC 于 R，∵ ∠ AHQ＝152°，∴ ∠ AHB＝62°，∴ ∠ DAH＝17°
∴ ∠ DCH＝17°．设 DP＝x，则
.由
代入 HR，CR 解方程即
可得出 x 的值. 四点共圆作法，A、H、D、P 共向，∴ ∠ APD＝∠ AHB＝62°，
∴
．
试题解析： （1）①
（1）求
之间的距离
（2）求从无人机 A' 上看目标 的俯角的正切值.
【答案】（1）120 米；（2） 2 3 . 5
【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过 A' 作 A' E BC 交 BC 的延长线于 E，连接 A' D ，于是得到 A' E AC 60 ，
CE AA' 30 3 ，在 Rt△ ABC 中，求得 DC= 3 AC=20 3 ，然后根据三角函数的定义 3