∵ ∠ BPE= 1 ∠ ACB，∠ BPN=∠ ACB，∴ ∠ BPF=∠ MPF． 2
∵ PF⊥BM，∴ ∠ BFP=∠ MFP=900．
又∵ PF=PF， ∴ △ BPF≌ △ MPF（ASA）．∴ BF="MF" ，即 BF= 1 BM． 2
∴ BF= 1 PE， 即 BF 1 ．
2
PE 2
（3）如图，过 P 作 PM//AC 交 BG 于点 M，交 BO 于点 N，
∴ ∠ BPN=∠ ACB=α，∠ PNE=∠ BOC=900．
由（2）同理可得 BF= 1 BM， ∠ MBN=∠ EPN． 2
∵ ∠ BNM=∠ PNE=900，∴ △ BMN∽ △ PEN．
∴ BM BN ． PE PN
行，点 P、Q 分别是 l 和 x 轴的正半轴上的动点，满足∠ PQO＝60º．
(1)点 B 的坐标是
，∠ CAO＝ º，当点 Q 与点 A 重合时，点 P 的坐标
为
；
(2)设点 P 的横坐标为 x，△ OPQ 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S，试求 S 与 x 的函数关系
式和相应的自变量 x 的取值范围．
由（1）△ PAC∽ △ PDF 得
，即可求得 PD 的长.
（3）连接 BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得
，由角的转换可得
，由△ AGP∽ △ DGB 可得
，由△ AGD∽ △ PGB 可得
式相乘可得结果.
试题解析：（1）由 APCB 内接于圆 O，得∠ FPC＝∠ B，
又∵ ∠ B＝∠ ACE＝90°－∠ BCE，∠ ACE＝∠ APD，∴ ∠ APD＝∠ FPC.
BM=PE，通过 ASA 证明△ BPF≌ △ MPF 得到 BF=MF，即可得出 BF 1 的结论． PE 2
（3）过 P 作 PM//AC 交 BG 于点 M，交 BO 于点 N，同（2）证得 BF= 1 BM， 2
∠ MBN=∠ EPN，从而可证得△ BMN∽ △ PEN，由 BM BN 和 Rt△ BNP 中 tan = BN 即
（3）连接 CD，延长 BD 至点 N，使 DN=CD，连接 AN，通过证明△ ADC≌ △ ADN，可得 AC=AN，继而可得 AB=AN，再根据 AH⊥BN，即可证得 BH=HD+CD. 【详解】（1)过 A 作 AF⊥BC，垂足为 F，交⊙O 于 G，
∵ AB=AC，AF⊥BC，∴ BF=CF= 1 BC=1， 2
在 Rt△ OFK 中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝2 3 （分米）， 在 Rt△ PKE 中，EK＝ EF 2 FK 2 ＝2 6 （分米）， ∴ BE＝10−2−2 6 ＝（8−2 6 ）（分米）， 在 Rt△ OFJ 中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝2 3 （分米）， 在 Rt△ FJE′中，E′J＝ 62 （2 3）2 ＝2 6 ， ∴ B′E′＝10−（2 6 −2）＝12−2 6 ，
（1）当点 P 与点 C 重合时（如图 1）．求证：△ BOG≌ △ POE；
（2）通过观察、测量、猜想： BF = PE
，并结合图 2 证明你的猜想；
（3）把正方形 ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图 3），若∠ ACB=α，求 BF 的 PE
值．（用含 α 的式子表示）
【答案】（1）证明见解析（2） BF 1 （3） BF 1 tan
OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x； 由题意可知直线 l∥ BC∥ OA，
可得 EF = PE = DC 3 1 ，∴ EF= 1 （3+x），
OQ PO DO 3 3 3
BF 1 10
在 RtΔAFB 中，BF=1，∴ AB= cos B 10
；
10
（2）连接 DG， ∵ AF⊥BC，BF=CF，∴ AG 为⊙O 的直径，∴ ∠ ADG=∠ AFE=90°， 又∵ ∠ DAG=∠ FAE，∴ △ DAG∽ △ FAE， ∴ AD：AF=AG：AE， ∴ AD•AE=AF•AG， 连接 BG，则∠ ABG=90°，∵ BF⊥AG，∴ BF2=AF•FG，
∠ PDC，即可证明结论.
（2）由 AC=2BC，设
，应用勾股定理即可求得 BC，AC 的长，则由 AC=2BC 得
，由△ ACE∽ △ ABC 可求得 AE，CE 的长，由
可知△ APB 是等腰直角三角
形，从而可求得 PA 的长，由△ AEF 是等腰直角三角形求得 EF=AE=4，从而求得 DF 的长，
∴ ∠ COP＝ 1 ∠ COD＝30°， 2
∴ QM∠ AOC＝∠ QOP＝90°， ∴ ∠ AOQ＝∠ COP＝30°，
∴ AQ＝ 1 OA＝5（分米）， 2
∴ AM＝AQ＋MQ＝5＋5 3 ．
∵ OB∥ CD， ∴ ∠ BOD＝∠ ODC＝60°
（2） BF 1 ．证明如下： PE 2
如图，过 P 作 PM//AC 交 BG 于 M，交 BO 于 N，
∴ ∠ PNE=∠ BOC=900， ∠ BPN=∠ OCB． ∵ ∠ OBC=∠ OCB =450， ∴ ∠ NBP=∠ NPB． ∴ NB=NP． ∵ ∠ MBN=900—∠ BMN， ∠ NPE=900—∠ BMN，∴ ∠ MBN=∠ NPE． ∴ △ BMN≌ △ PEN（ASA）．∴ BM=PE．
(2)若 AB＝5，
，求 PD 的长；
(3)在点 P 运动过程中，设 ＝x，tan∠ AFD＝y，求 y 与 x 之间的函数关系式．(不要求写出 x 的取值范围)
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）
.
【解析】
试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠ APD＝∠ FPC，得到∠ APC＝∠ FPD，又由∠ PAC＝
∵ △ AGP∽ △ DGB，∴
.
∵ △ AGD∽ △ PGB，∴
.
∴
，即
.
∵
，∴
.
∴ 与 之间的函数关系式为
.
考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直 角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.
5．如图，矩形 OABC 中，A(6，0)、C(0，2 3 )、D(0，3 3 )，射线 l 过点 D 且与 x 轴平
PE 2
PE 2
【解析】
解：（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，P 与 C 重合，
∴ OB="OP" ， ∠ BOC=∠ BOG=90°．
∵ PF⊥BG ，∠ PFB=90°，∴ ∠ GBO=90°—∠ BGO，∠ EPO=90°—∠ BGO．
∴ ∠ GBO=∠ EPO ．∴ △ BOG≌ △ POE（AAS）．
在 Rt△ BNP 中， tan = BN ， ∴ BM = tan ，即 2BF = tan ．
PN
PE
PE
∴ BF = 1 tan ． PE 2
（1）由正方形的性质可由 AAS 证得△ BOG≌ △ POE．
（2）过 P 作 PM//AC 交 BG 于 M，交 BO 于 N，通过 ASA 证明△ BMN≌ △ PEN 得到
【答案】（1）（6，2 3 ）． 30．（3，3 3 ）（2）
4 3 x 4 3 0 x 3
3
3 x2 13 3 x 3 3 x 5
S{ 2
3
2
2 3 x 12 3 5 x 9
3
54 3 x 9
x
【解析】
解：（1）（6，2 3 ）． 30．（3，3 3 ）．
（2）当 0≤x≤3 时， 如图 1，
.
∴ △ AEF 是等腰直角三角形. ∴ EF=AE=4. ∴ DF=6.
由（1）△ PAC∽ △ PDF 得
，即
.
∴ PD 的长为 . （3）如图，连接 BP，BD，AD，
∵ AC=2BC，∴ 根据圆的对称性，得 AD=2DB，即
.
∵ AB⊥CD，BP⊥AE，∴ ∠ ABP＝∠ AFD.
∵
，∴
.
【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定 与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
3．在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 P 在线段 BC 上（不含点 B），
∠ BPE= 1 ∠ ACB，PE 交 BO 于点 E，过点 B 作 BF⊥PE，垂足为 F，交 AC 于点 G． 2
∵ AF= AB2 BF 2 =3，
∴ FG= 1 ， 3
∴ AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3× 10 =10； 3
（3）连接 CD，延长 BD 至点 N，使 DN=CD，连接 AN， ∵ ∠ ADB=∠ ACB=∠ ABC，∠ ADC+∠ ABC=180°，∠ ADN+∠ ADB=180°， ∴ ∠ ADC=∠ ADN， ∵ AD=AD，CD=ND， ∴ △ ADC≌ △ ADN， ∴ AC=AN， ∵ AB=AC，∴ AB=AN， ∵ AH⊥BN， ∴ BH=HN=HD+CD.
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．图 1 是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图 2 所示，两 支脚 OC＝OD＝10 分米，展开角∠ COD＝60°，晾衣臂 OA＝OB＝10 分米，晾衣臂支架 HG ＝FE＝6 分米，且 HO＝FO＝4 分米．当∠ AOC＝90°时，点 A 离地面的距离 AM 为_______ 分米；当 OB 从水平状态旋转到 OB′（在 CO 延长线上）时，点 E 绕点 F 随之旋转至 OB′上 的点 E′处，则 B′E′﹣BE 为_________分米．