时输出量的拉氏变换式C(s),对其求拉氏反变换可得到系统的 响应 c(t)，称为系统的零状态响应。 • 系统响应的特性由传递函数决定，而和系统的输入无关。传 递函数则由系统的结构与参数决定。 • 传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式，为1+开 环传递函数。
• 同一系统对不同的输入，可求得不同的传递函数，但其特征 多项式唯一。
第二章 控制系统的数学模型
本章知识点： •线性系统的输入－输出传递函数描述 •建立机电系统数学模型的机理分析法 •传递函数的定义与物理意义 •典型环节的数学模型 •框图及化简方法 •信号流程图与梅逊公式应用 •非线性数学模型的小范围线性化
第一节 线性系统的输入/输出时间函数描述
物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的， 难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化 或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系 统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的 性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。
-
图2 - 6
电枢控制直流电动机原理图
动机轴上的总负载转矩。激
磁磁通为常值。
机理分析法建立系统数学模型举例 解：列写电枢电路平衡方程
Ua(t)Ladidat(t)Raia(t)Ea ①
＋ if
-
La Ra
＋ ia
Ua
Ea SM
m
负 载
J mf m
-
图2-6 电枢控制直流电动机原理图
Ea——电枢反电势，其表达式为 Ea=Ceωm（t） ② Ce——反电势系数（v/rad/s）
• 实验辩识法 对系统施加某种测试信号 （如阶跃、脉冲、正弦等），记录基本 输出响应（时间响应、频率响应），估 算系统的传递函数。
机理分析法建立系统数学模型举例
R1
R2
由(4)、(5)得
i2
C2
dUc2 dt
C2
dU2 dt
U1
C1
C2
U2
由(2)导出 i1C 1dU dtc1i2C 1dU dtc1C 2dd U tU2 图2-1
•
第二节线性系统的输入—输出传递函数描述
一、传递函数 １．定义：线性定常系统的传递函数，定义为零
初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量 的拉氏变换之比。零初使条件是指当t≤0时,系统 r(t)、c(t)以及它们的各阶导数均为零。 线性系统微分方程的一般形式为
ddnct(nt)a1ddnt1nc(1t)......an1dcd(tt)anc(t)
dnr(t) dn1r(t)
dr(t)
b0 dtn b1 dtn1 ......a1 dt a1r(t)
当初始条件均为0时,对上式两边求拉氏变换，得
系统的传递函数
C R ((S S))b 0 ssn m a b 11 ssn m 1 1
b m 1sb m an 1san
传递函数G(S)是复变函数，是S的有理函数。且有
这就是RC四端网络的数学模型，为二阶线性 常微分方程。
机理分析法建立系统数学模型举例
＋
例2-2 图2-6 所示为电枢控 制直流电动机的微分方程，
if
-
La
Ra
要求取电枢电压Ua(t)（v）为 ＋
输入量，电动机转速
ia
m
ωm（t）（rad/s）为输出量， Ua
Ea S M
负 载 J mf m
列写微分方程。图中Ra(Ω)、 La(H)分别是电枢电路的电阻 和电感，Mc(N·M)是折合到电
n=1/T——无阻尼自然振荡频率。共轭复数极点为：
5．微分环节
微分是积分的逆运算,按传递函数的不同,微分环节可 分为三种：理想微分环节、一阶微分环节（也称为比例 加微分环节）和二阶微分环节。相应的微分方程为 ：
相应的传递函数为：
6．延迟环节
延迟环节又称为纯滞后环节、时滞环节。其输 出信号比输入信号迟后一定的时间。就是说，延
（3）典型环节的概念只适用于能够用线性定 常数学模型描述的系统。
传递函数可表示成零、极点表示：
系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数
中有个零值极点,并考虑到零极点都有实数和共轭复
数的情况,则传递函数的后两种表示的一般形式为：
可见，系统传递函数是由一些常见基本因子,如式上中的
(js+1)、1/(Tis+1)等组成。即系统传递函数表示为上式时，系统
传递函数是这些常见基本因子的乘积。这些常见基本因子代表 的环节称为典型环节。任何复杂的系统都可以用若干典型环节 构成。具有相同基本因子传递函数的元件，可以是不同的物理 元件，但都具有相同的运动规律。
从传递函数的表示式中可以看到，传递函数的 基本因子对应的典型环节有比例环节、积分环节、 微分环节、惯性环节、振荡环节和延迟环节等。
l．比例环节
比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量之间的关 系为固定的比例关系，即它的输出量能够无失真、无延迟地 按一定的比例关系复现输入量。时域中的代数方程为
c(t)=Kr(t) t 0 式中K为比例系数或传递系数，有时也称为放大系数
由③、④求出ia(t)，代入①，同时②亦代入①，得
LaJmd2 dm t(t)(LafmRaJm)ddm t(t)(RafmCmCe)m(t) ⑤
CmUa(t)LadM dct(t)RaMc(t)
在工程应用中，由于电枢电路电感La较小， 通常忽略不计，故⑤可简化为
T 其m d 中d m t(t)m (t)K 1 U a(t) K 2 M c(t) ⑥
m≤n。
极点——传递函数分母s多项式
的根，也即线性微分方程特征方程的特征值。 零点——传递函数分子s多项式
N ( s ) b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s b m
的根。
• 传函是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的。 • 如果已知系统的传递函数和输入信号,则可求得初始条件为零
R1
R2
U1
C1
C2
U2
图2-1 RC组成的四端网络
R 1 R 2 C 1 C 2d d 2 U t2 2 (R 1 C 1 R 1 C 2 R 2 C 2 )d d U t2 U 2 U 1
U 2 (s)
1
U 1 (s) R 1 R 2 C 1 C 2 s2 (R 1 C 1 R 1 C 2 R 2 C 2 )s 1
数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统 输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学 表达式。
数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的 过程。
建立物理系统数学模型的方法
• 机理分析法 对系统各部分的运动机理进 行分析，按 照它们遵循的物理规律、化 学规律列出各物理量之间的数学表达式, 建立起系统的数学模型。
L-变换 C(S)=KR(S)
所以比例环节的传递函数为 ：
完全理想的比例环节是不存在的。对某些系统 当做比例环节是一种理想化的方法。
2．惯性环节
惯性环节又称为非周期环节，其输入量和输出量之间的 关系可用下列微分方程来描述：
L-变换 TSC(S)+C(S)=KR(S)
1
传递函数 G(S)= C(s)/ R(s) =
RC组成的四端网络
将i1、i2代入(1)、(3)，则得
U 1R 1i1R 2i2U c2
R 1 (C 1d U d tc1 C 2d d U t2)R 2 C 2d d U t2 U 2
机理分析法建立系统数学模型举例
R 1 [C 1d d t(R 2 i2 U 2 ) C 2d d U t2 ] R 2 C 2d d U t2 U 2 R 1 C 1 R 2 C 2 d d 2 U t2 2 R 1 C 1 d d U t2 R 1 C 2 d d U t2 R 2 C 2 d d U t2 U 2 R 1 R 2 C 1 C 2d d 2 U t2 2 (R 1 C 1 R 1 C 2 R 2 C 2 )d d U t2 U 2 U 1
• 系统传递函数是系统单位脉冲响应g(t)的 拉氏变换L[g(t)]。
例2－3 求例2－1系统的传递函数。 已知其输入－输出微分方程
R 1 R 2 C 1 C 2d d 2 U t2 2 (R 1 C 1 R 1 C 2 R 2 C 2 )d d U t2 U 2 U 1
设初始状态为零， 对方程两边求拉氏 变换，得
此即为RC四端网络的传递函数。
第三节 非线性数学模型的小范围线性化
严格讲，任何实际系统都存在不同程 度的非线性。对于非本质非线性数学模 型，可采用小范围线性化方法。
设一非线性数学 模型如图所示。
设函数y=f（x）在（x0，y0） 点附近连续可微(此即为非线性 系统数学模型线性化的条件）, 则附近可展将开函成数泰f（勒x级）数在（x0，y0）
• 在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出 响应，包括两部分 系统响应=零输入响应+零状态响应 零输入响应——在输入为零时，系统对零初始状态的响应； 零状态响应——在零初始条件下，系统对输入的响应。
传递函数的几点性质
• 传递函数G(s)是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且所有系数均为实数。
C（t）=Kt
上式说明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节， 其输出量就与时间成比例地无限增加。
4．振荡环节 振荡环节的微分方程
是：
相应的传递函数为：
式中 T——时间常数；
——阻尼系数（阻尼比），且0＜ ＜1。 振荡环节的传递函数具有
一对共轭复数极点,在复平面S上的位置见图2-8所示,传递函数可改写为：
Tm
Ra
RaJm fm CmCe
K1
Ra
Cm fm CmCe
电动机机电Cem时(t)U 间a(t) 常数（s）
K2