第二章控制系统的数学模型数学模型时域模型频域模型方框图和信号流图第二章控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型2-1 1 控制系统的时域数学模型控制系统的复数域数学模型2 控制系统的复数域数学模型2-2控制系统的结构图和信号流图3 控制系统的结构图和信号流图2-3.21 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型1.1. 1. 线性元件的微分方程线性元件的微分方程2.2.2. 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立3. 3. 线性系统的特性3.线性系统的特性4. 4. 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解5. 5. 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化6.6.6. 运动的模态运动的模态.21 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型列写系统运动方程的步骤•确定系统的输入量和输出量.•根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各元件的运动方程.•消中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式.如图例2.1RLC 电路，试列写以u u c (t)为输出量的网络微分方程。

i(t))()()()(t u t Ri t u t di L r c =++解:u r (t)dt =dt t i t u c )(1)(∫c)()()(22t u dt t du RC dtt u d LC c c c =++例2.2图为机械位移系统。

试列写质量m 在外力F作用下位移(t)的运动方程在外力F作用下位移y(t)的运动方程。

dt t dy f t F )()(1=解:阻尼器的阻尼力:)()(2t ky t F =弹簧弹性力:)()()()(2122t F t F t F dtt y d m −−=)()()()(22t F t ky t dy f t y d m =++整理得:dt dt• 全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统运动的规律，确定系统的输入量和输出量；•一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，一次列些它们的微分方程•将各环节或元件的微分方程联立起来并消去中间变量，求取一个仅含有系统输入量和输出量的微分方程;•将方程化成标准型。

一般情况下微分方程的阶次和系统中独立储能元件的个数相等。

•线性——叠加性、齐次性2d )()()(2f t c t c dt d t c dt =++•方法——经典法和拉氏变换法t r t r +=¾经典法,系统齐次方程的解系统齐次方程的解,,只与系统特性有)(t r 系统的全响应为：)()(h 关，也称系统的自由响应或固有响应h ,特解,由系统的激励决定由系统的激励决定,的强制响应或受迫响应.)(t r p¾拉氏变换法•考虑初始条件考虑初始条件,,对微分方程中的每一项进行拉氏变换行拉氏变换,,微分方程变换为s •求出输出量拉氏变换函数的表达式求出输出量拉氏变换函数的表达式;•对输出量拉氏变换函数求逆变换出量的时域表达式, 即为微分方程的解2d d 微分方程初始条件, 输入¾例2-6)(2u dt t u dt o o +1.0)0(,1.0)0(=′=o o u u4. 4. 线性定常微分方程的求解4.线性定常微分方程的求解微分方程求解方法¾拉氏变换法常用变换公式)0()()(−−=⎥⎤⎢⎡f s sF t df L ⎦⎣dt ()0()()(222−′−−=⎤⎡f f s s F s t f d L ⎥⎦⎢⎣dt 部分分式法求拉氏逆变换.lim lim 0sF t ==:)()(0f f s t ∞→→++初值lim )(lim )(0sF t f f s t →∞→==∞终值:•严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。

如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化•非线性微分方程能进行线性化的一个基本假设是变量偏离其预期工作点的偏差甚小,这种线性化通常称为小偏差线性化小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。

一附近变化、假设：x , y 在平衡点（x 0,y 0)附近变化，即x =x 0+△x , y =y 0+△y二xdx x df y Δ⋅=Δ)(二、近似处理x x =0+Δ⋅+=Δ+=00)()(x x df x f y y y 三、数学方法L+Δ⋅=222)()(10x dx x f d dxx x =!20x x )x (df y ⋅略去高阶无穷小项x dx )x (f y y 0x x 00Δ+=Δ+==¾将一个自变量的函数y =f (x 点处(x 0, y 0)展开展开,,进行线性化进行线性化..y 设函数y =f (x )在(x 0, y 0)点连续可微点连续可微,泰勒级数展开泰勒级数展开,,1+−+==''00'0(!2))(()()(f x x x f x f x f y 当增量(x -x 0)较小时较小时,,略去其高次幂项略去其高次幂项, )(()()(0'00x f x f x f y y =−=−x x x −=Δ0y y y −=Δ令′线性化方程: , (,0x f K x K y =Δ=Δ¾将两个自变量的函数y =f (x 工作点处(x 10, x 20)展开展开,,进行线性化进行线性化.设函数在(x 10, x 20)点连续可微点连续可微,,同样在该点附近用泰勒级数展开泰勒级数展开,,当增量较小时当增量较小时,,略去其高次幂项略去其高次幂项, −),(2010x x f y y −=Δ令1011x x x =Δ线性化方程:22x x =Δ1x f x f y Δ⎟⎟⎞⎜⎜⎛∂+Δ⎟⎟⎞⎜⎜⎛∂=Δ,2,120102010x x x x x x ⎠⎝∂⎠⎝∂–确定系统的输入和输出–建立原始方程组(t);q (t)q dt dh(t)C 21−=–非线性模型线性化)(t h 22220020()()()()()[()()]()q t h t dq t q t q t h t h t q t α==+−=011h h dh t t h t h t t =−=−⇒Δ=–系统微分方程的求取Rq dh(t)122002()()[()()]()q q q R R (t)h(t)dtRC =+微分方程的齐次解为：n t i k k λ∑−1k j i i h e tc t r ∑+==+=1)(把函数称为该微分方程所描述运动的模态, 也叫振型. 每一种模态代表t t t n e e e λλλ,,,21L 一种类型的运动形态.例如, 特征根是共轭复根时, 其函数模态为和. t e t ωσsin t e t ωσcos2-2 2 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型1. 1. 传递函数的定义和性质传递函数的定义和性质2.2.2. 传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点3.3.3. 传递函数的极点和零点对输出的影响传递函数的极点和零点对输出的影响4. 4. 典型元部件的传递函数4.典型元部件的传递函数5. 5. 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数.¾定义系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比换之比,,用G (s )表示表示..信号系统中称线性定常系统微分方程)()(11110dt d a t c dtd a t c dt d a n n n n n +++−−−L )()(11110b t r dt d b t r dt d b m m m m m +++=−−−L )()(1110s b s b s b s C s G n n m m +++==−−L )(10a s a a s R +++L•传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统的固有特性，与输入信号类型及大小无关。

固有特性与输入信号类型及大小无关•传递函数只适用于线性连续定常系统。

•传递函数仅描述系统的单输入/单输出特性。

不同的物理系统可以有相同的传递函数。

同一系统中，不同物理量之间对应的传递函数也不相同。

•传递函数与微分方程的相通性。

•初始条件为零时，系统单位脉冲响应的拉氏变换为系统的传递函数。

为系统的传递函数•实际系统中有n≥m，n称为系统的阶数，系数为实数。

¾定义m ms b s b s C G +==10)()(s s b −n n s a s a s R s +10)()()(((1010s p s a z −==G (s )的分母多项式之根构成系统的极点,分子多项式之根构成系统的零点,即p j 是极点,z i 是零点.*K 数把极点和零点画在s 平面上,即为系统的零点分布图,简称极零图。

其中用“X ”表示极点，用“O ⎧j ω零点⎪⎨σ⎪⎩极点⎪⎨⎧⎪⎩方法一：依据系统微分方程求确定输入方法：依据系统微分方程求确定输入传递函数方法二：依据原始方程组代入消元求传递函数方法三：点网络系统可利用复阻抗直接求取传递函数方法四依据系统的输入输出信号求传递函数:–确定系统的输入和输出–建立原始方程组(t);q (t)q dtdh(t)C 21−=–非线性模型线性化)(t h 22220020()()()()()[()()]()q t h t dq t q t q t h t h t q t α==+−=011h h dh t t h t h t t =−=−⇒Δ=–系统微分方程的求取Rq dh(t)122002()()[()()]()q q q R R (t)h(t)dtRC=+rq 1h 2h 1R 2R 0q ⎪⎧−⎪⎧=−0r 110r (s)Q (s)Q (t)h c (t)q (t)q &⎪⎪⎪⎪⎨−=⇒⎪⎪⎪⎪⎨=−−=c 010*******(s)Q (s)Q (s)H (s)Q (t)h c qc(t)(t)q R (t)h (t)h (t)q &⎪⎪⎪⎩=⎪⎪⎪⎩=22c 22c R (s)H (s)Q R (t)h (t)q )s C R C R C (R s C C R R 1(s)Q (s)Q G(s)12221122121r c ++++==R (s)H G(s)22==LR 2R Cu u ++u +1rc__1_121)//R 1(R U +21212r c R cs 1R csLs )//R cs 1(R cs(s)U (s)G(s)=+⋅++==()(s)U G(s)2=12121R L)s C R (R )LCs R (R ++++(s)U 1应用复阻抗概念和分压定理使电网络传递函数的求取过程大大简化！！系单阶输初始条件的输系统单位阶跃输入及零初始条件下的输出响应为：求传递函数。