高三数学复习专题平面向量一、考点透视本章考试内容及要求：平面向量的有关概念B级平面向量的线性运算（即平面向量的加法与减法，实数与平面向量的积）C级平面向量的数量积C级（老教材为D级）向量的坐标表示C级向量运算的坐标表示C级平行向量及垂直向量的坐标关系C级向量的度量计算C级注：B水平：对所学数学知识有理性的认识，能用自已的语言进行叙述和解释，并能据此进行判断；知道它们的由来及其与其他知识之间的联系；知道它们的用途。

对所学技能会进行独立的尝试性操作。

C水平：对所学数学知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握其内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。

二、复习要求1．理解向量、向量的模、相等向量、负向量、零向量、单位向量、平行向量等概念；2．掌握向量的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式；3．掌握向量的加法、减法及实数与向量的乘积、数量积等运算的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式；4．能应用向量的数量积的有关知识求向量的模及两个向量的夹角，并能解决某些与垂直、平行有关简单几何问题。

概括地说，即理解向量有关概念，掌握向量基本形式（3种）及基本运算（4种），关注向量简单应用。

三、复习建议向量是近代数学中的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角的一种工具。

向量在数学和物理学中应用很广，在解析几何里应用更为直接，用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。

从数学发展史来看，在历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家所认识。

直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。

向量是高中数学的必修内容，也是研究其它数学问题的重要工具，利用向量知识去研究几何问题中的垂直、平行关系，计算角度和距离问题将变得简单易行，其特点兼有几何的直观性、表述的简洁性和方法的一般性，因而它也是高考必考内容。

每年的平面向量的高考，除了以小题形式考查一些简单的概念之外，还常与解析几何、三角等内容结合以解答题形式进行综合考查，试题的难度一般在中、低档题水平，复习时应重视向量基本知识的掌握和运用，难度不要拔高。

四、知识要点1．平面向量的有关概念（1）平面向量：我们把平面上既有大小又有方向的量叫做平面向量(以下涉及的“向量”，如不作特别说明就指平面向量)。

用带有箭头的线段AB 表示向量。

以A 为始点，B 为终点的向量，记作，也可用加黑的小写字母a 表示。

向量的大小，也就是的模(或称长度)。

（2）零向量：模为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是不确定的。

（3）单位向量：模等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。

向量a 的单位向量是指与向量a 方向相同且长度等于1个单位长度的向量，记作0a，a0。

（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

（5）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c 。

规定0与任一向量平行。

平行向量也叫做共线向量。

（6）负向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的负向量。

2．向量的运算(1)向量的加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。

①加法法则三角形法则(见图6—1)； 平行四边形法则(见图6—2)。

②运算性质：a+b=b+a（a+b ）+c=a+（b+c ） a+0=0+a=a ③坐标运算： 设a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2)，则a+b=（x 1+x 2，y 1+y 2）。

（2）向量的减法 求两个向量差的运算叫做向量的减法。

①减法法则三角形法则(见图6—3)②坐标运算： a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2)，则a-b=（x 1—x 2，y 1—y 2）。

设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2)， 则AB =（x 1—x 2，y 1—y 2）。

（3）实数与向量的积aa+bb 图6—1 图6—2 ba a-b 图6—3①定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：当其中0>λ，λa 与a 同向，|λa |=|λ||a |； 当λ<0时，λa 与a 反向，|λa |=|λ||a |；当λ=0时，λa =0。

②运算律：μλ(a ）=（λμ）a ，（μλ+）a =λa +μa ，λ（a+b ）=λa +λb 。

③坐标运算：设a=（x ，y ），则λa =λ（x ，y ）=（λx ，λy ）。

(4)平面向量的数量积①定义：a·b=|a||b|coa θ，（a ≠0，b ≠0，)18000≤≤θ。

规定：零向量与任一向量的数量积为0，即 0·a =0。

① 重要性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1) e ·a =a ·e =|a |cosθ。

(2) a ⊥b a ·b =0。

(3) 当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b = —|a ||b |。

特别地，a ·a =|a |2或|a (4)cos.a ba b(5)|a ·b |≤|a ||b |。

③运算律 a·b=b·a ，（λa ）·b =a·（λb ）=λ（a·b ），（a+b ）·c =a·c+b·c 。

④坐标运算： 设a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2)，则a·b =x 1x 2+y 1y 2。

3．重要定理、公式（1）两个非零向量a ，b 平行的充要条件 a ∥b ⇔a =λb 。

设a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2)，则01221=-y x y x 。

（2）两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a·b =0设a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0。

（3）平面上两点间的距离公式设表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2)，那么|a(4)线段的定比分点公式设P （x ，y ），P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2)，且21PP P P λ=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 。

中点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 五、例题解析【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？（1）若a =b ，则a ·c =b ·c ；（2）若a ·b =c ·d 且x=y ，则(a ·b )x =(c ·d )y ； 【分析】（1）真命题。

∵a =b ，∴|a |=|b |且a 与b 同向，∴a ，b 与c 夹角相等，设夹角为θ， 则a ·c =|a ｜｜c |cosθ=|b ||c | cosθ= bc 。

（2）真命题。

由a ·b =c ·d ∈R ，可设a ·b =c ·d =k ，∵x=y ，∴k x=k y 。

【例2】有四个等式：（1）0·a=0，（2）0a =0，（3）－=，（4）|ab |=|a ||b |，其中成立的个数为 （ ）A 4个B 3个C 2个D 1个 【分析】(1)0·a 表示零向量与任意向量a 的数量积，其结果是数0而不是零向量； (2) 0a 表示实数0与向量a 的乘积，其结果应为零向量，而不是数0；(3) 等式0－BA AB =成立；(4)对 a ·b 数量积的定义式两边取绝对值，得|a ·b |=|a ||b ||cosθ|，只有θ=0，π 时，|a ·b |=|a ||b |才成立。

∴应选D 。

【点评】例1、例2考查向量的加法、减法、实数与向量的乘积及数量积这四种运算及有关概念。

【例3】如图6—4所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，P 为平面内任意一点，求证：4=+++。

【分析】注意到O 是AC 、BD 的中点，与，BO 与DO 互为负向量。

【证明】∵O 为平行四边形ABCD 对角线AC 与BD 的交点 ∴ O 为AC 及BD 的中点。

∴)(21+=，)(21+=， ∴)(212PD PC PB PA PO +++=。

故4=+++。

【点评】本题考查向量加法、减法的几何意义（即几何形式）。

【例4】已知|a |=4，|b |=5，（1）当a ∥b ，（2）a ⊥b ，（3）a 与b 的夹角θ=120°，求a·b 。

【分析】直接利用向量数量积的定义解题。

【解】（1）当a ∥b 时，若a 与b 同向，则θ=00，从而a ·b =|a ||b |cos00=4×5=20； 若a 与b 反向，则θ=1800，从而a ·b =|a ||b |cos1800=4×5×（-1）=-20； （2）当a ⊥b 时，θ=900，a ·b =|a ||b |cos900=0；（3）当a 与b 的夹角θ=120°时，则a ·b =|a ||b |cosθ=5×4×cos120°=5×4×（21-）= -10。

【点评】本题考查平行向量、垂直向量、向量夹角及向量数量积等有关概念和知识。

【例5】三角形ABC 的三边长均为1，且BC =a ，=c ，CA =b ，求a ·b +b ·c +c ·a 的值。

AP 图6—4【分析】由已知条件可知：a 、b 、c 两两夹角均为32π。

【解】如图6—5，由题意：|a |=|b |=|c |=1，且a 、b 、c 两两夹角均为32π。

∴a ·b =|a ||b |32cosπ=21-。

同理：b ·c =c ·a =21-，故a ·b + b ·c +c ·a =23-。

【点评】本题考查向量夹角、向量数量积知识。

【例6】求证：直径所对的圆周角是直角。

如图6—6， 已知AC 为⊙O 的一条直径，∠ABC 是圆周角。

求证：∠ABC=900。

【分析】要证∠ABC=900，即要证明⊥BC ，即证明·BC =0，可用平面向量的数量积知识证明。

【证明】设a AO =，b OB =，则a OC =，∵b a AB +=，b a BC -=，而|a |=|b |，∴·BC =（a +b ）·（a -b ）=|a |2-|b |2=0，故⊥，即∠ABC=900。