2021年高考数学试题汇编平面向量（北京4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（ Ａ ）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r（辽宁3）若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且⎛⎫ ⎪⎝⎭g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ）A ．0B ．π6 C ．π3 D ．π2（辽宁6）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ）A ．(12)--，B ．(12)-，C ．(12)-，D ．(12)，（宁夏，海南4）已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)，（福建4）对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c（湖北2）将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（湖北文9）设(43)=，a ，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ）A ．(214)，B ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．(28)，（湖南4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ）A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b（湖南文2）若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ）A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u rB ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u rC ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u rD ．EF OF OE =--u u u r u u u r u u u r（四川7）设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向在与→→→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ）(A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a（天津10）设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中mλα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（ Ａ ）Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ Ｃ ） Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a b Ｄ． 22<+b a b（浙江文9）若非零向量a r 、b r 满足｜a r 一b r ｜＝｜b r｜，则（Ａ） (A) ｜2b r ｜＞｜a r 一2b r ｜ (B) ｜2b r ｜＜｜a r 一2b r｜ (C) ｜2a r ｜＞｜2a r 一b r ｜ (D) ｜2a r ｜＜｜2a r 一b r｜（山东11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ C ）（A ）2AC AC AB =⋅u u u r u u u r u u u r （B ） 2BC BA BC =⋅u u u r u u u r u u u r（C ）2AB AC CD =⋅u u u r u u u r u u u r （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r （山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ Ｃ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 （重庆5）在ABC △中，3AB =，45A =o ，75C =o ，则BC =（ Ａ ） Ａ．33- Ｂ．2 Ｃ．2 Ｄ．33+（重庆10）如题（10）图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=u u u r u u u r u u u r， 4AB BD BD DC +=u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，0AB BD BD DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r g g ， 则()AB DC AC +u u u r u u u r u u u rg 的值为（ Ｃ ）Ａ．2 Ｂ．22 Ｃ．4 Ｄ．42 （上海14）直角坐标系xOy 中，i j r r，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若j k i AC j i AB ρρρρ+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ B ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 （全国Ⅰ3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ A ） DCAB题（10）图A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 （全国Ⅱ5）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，，则λ=（ A ）A ．23 B ．13 C ．13- D ．23- 二、填空题 （安徽13）在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===u u u r u u u r u u u r，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =u u u r111244++a b c （用，，a b c 表示）．（北京11．）已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是3- （北京12．）在ABC △中，若1tan 3A =，150C =o ，1BC =，则AB = 102（广东10. ）若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝ 21.（湖南12．）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b =7，3c =，则B = 5π6 ．（湖南文12．）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，3c =，π3C =，则A = π6 ．（江西15．）如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r，则m n +的值为2 ． （江西文13．）在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =u u u r u u u r g1．（陕西15. ）如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝32，若OC ＝λOA +μOB （λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为 6 . （天津15．）如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =u u u r u u u r· 83- ． （天津文15）在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC =u u u r u u u rg 52．（重庆文（13））在△ABC 中，AB =1,B C =2,B =60°，则AC ＝ 3。

（上海文6．）若向量a b r r ，的夹角为ο60，1==b a ，则()a a b -=r r r g 21．三、解答题：35．（宁夏，海南）17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠． 所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．36．（福建）17．（本小题满分12分） 在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ）π()C A B =-+Q ，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<Q ，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =πQ ，AB ∴边最大，即17AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭Q ，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 得17sin 17A =．由sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C==g ． 所以，最小边2BC =．37．（广东）16.（本小题满分12分）已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. （1）若5=c ，求sin ∠A 的值; （2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围. 解：(1)(3,4)AB =--u u u r,(3,4)AC c =--u u u r当c=5时，(2,4)AC =-u u u r6161cos cos ,5255A AC AB -+∠=<>==⨯u u u r u u u r 进而225sin 1cos 5A A ∠=-∠=(2)若A 为钝角，则AB ﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0 解得c>325显然此时有AB 和AC 不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为[325，+∞)38．（广东文）16．(本小题满分14分)已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)．(1)若0AB AC =g ，求c 的值； (2)若5c =，求sin ∠A 的值解: (1) (3,4)AB =--u u u r (3,4)AC c =--u u u r由 3(3)162530AB AC c c =--+=-=u u u r u u u r g 得 253c =(2) (3,4)AB =--u u u r (2,4)AC =-u u u r6161cos 5205AB AC A AB AC-+∠===u u u r u u u r g u u u r u u u r g 225sin 1cos 5A A ∠=-∠=39．（浙江）（18）（本题14分）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．（18）解：（I ）由题意及正弦定理，得21AB BC AC ++=+，2BC AC AB +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得13BC AC =g ，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=g22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==g g ， 所以60C =o ．40．（山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里 的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲船航 行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒方 向的2B 处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 解：如图，连结12A B ，22102A B =，122030210260A A =⨯=， 122A A B ∆是等边三角形，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒，在121A B B ∆中，由余弦定理得 2221211121112222cos 45220(102)2201022002B B A B A B A B A B =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=， 1210 2.B B =因此乙船的速度的大小为1026030 2.20⨯= 答：乙船每小时航行302海里. 41．（山东文）17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan 37a b c C =，，，． （1）求cos C ；（2）若52CB CA =u u u r u u u r g ，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan 3737cos CC C=∴=Q ，又22sin cos 1C C +=Q 解得1cos 8C =±．tan 0C >Q ，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =u u u r u u u r Q g ， 5cos 2ab C ∴=， 20ab ∴=．又9a b +=Q 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=． 2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=． 42．（上海）17．（本题满分14分） 在ABC△中，a b c，，分别是三个内角A B C，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos =B ，求ABC △的面积S ．解： 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ， 10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=g ．43．（全国Ⅰ文）（17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若33a =，5c =，求b ．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）根据余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=． 所以，7b =．44．（全国Ⅱ）17．（本小题满分10分）在ABC △中，已知内角A π=3，边23BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3． 应用正弦定理，知23sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===π3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++， 所以224sin 4sin 2303y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+<< ⎪ ⎪3⎝⎭⎝⎭，（2）因为14sin cos sin 232y x x x ⎛⎫3=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭543sin 23x x ππππ⎛⎫⎛⎫=++<+< ⎪ ⎪6666⎝⎭⎝⎭， 所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y 取得最大值63．。