8π )
2
9
2 3；
4 3 4；
3 4
4 5； 3
照此规律， (sin π ) 2 (sin 2π ) 2 (sin 3π ) 2
2n 1
2n 1
2n 1
(sin 2nπ) 2 _________． 2n 1
【答案】 4 n n 1 3
【解析】通过类比，可以发现，最前面的数字是
4 ，接下来是和项数有关的两项的乘积，即 3
的正确性与完备性 .
【考点针对训练】
1. 【湖北省荆州中学 2018 届高三第二次月考】如图，在梯形 ABCD 中，
AB PDC， AB a， CD b( a b) ．若 EF P AB ， EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m : n ，则可推算出： EF ma nb 试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯
【规律方法技巧】 1. 归纳推理与类比推理之区别： (1) 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．在进 行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出
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一般结论． (2) 类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个 性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过 程，然后类比推导类比对象的性质． 2. 演绎推理问题的处理方法 从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物 的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三段论的格式进 行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给 出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的逻辑结果． 3. 应用合情推理应注意的问题： (1) 在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系， 从而归纳出一般结论． (2) 在进行类比推理时， 要充分考虑已知对象性质的推理过程， 然后类比推导类比对象的性质．
数字不是 1”，
丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 ________________.
【答案】 1 和 3
【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为
1 和 3，乙的卡片上数字为 2 和 3，丙卡片上数字
为 1 和 2.
4. 【 2016 高考山东文数】观察下列等式：
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- 5 - / 22
6. 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个
体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论
, 归纳推理所得的结论不一
定可靠，但它是由特殊到一般，由具体到抽象的认知过程，是发现一般规律的重要方法．
类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具
mn
mn
mn
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S0 n S1 m S2 mn
【答案】 C
2. 【江西省南昌市 2017 届高三第三次模拟】已知
13 23 ( 6 )2，13 23 33 (12 )2，13 23 33 43 ( 20) 2，L ，若
【考点 1】合情推理与演绎推理
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【备考知识梳理 】 1. 合情推理 (1) 定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜 想的推理叫做合情推理． (2) 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： ①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征 的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个 别到一般的推理； 归纳推理的分类 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类 a. 数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与 序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等； b. 形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．
有某个性
质，则另一个对象也具有类似的性质 . 在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，
然后类比推导类比 对象的性质 . 类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否
则会犯机械类比的错误．
演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的
演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程
8 a b 4 bmax 6 ，第二小问： cmin 3,6 a b 3 a 5, b 4 a b c 12.
3. 【 2016 高考新课标 2 文数】有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3， 2 和 3. 甲，乙，丙三
人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后
说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（ⅱ）女学生人数多于教师人数；
（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为 __________ ．
②该小组人数的最小值为 __________．
【答案】 6,12
【解析】设男生数，女生数，教师数为 a, b, c ，则 2c a b c, a,b,c N ，第一小问：
【 2018 年高考考点定位】
高考的考查：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明等内容，其中推理中的合情推理、
演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、
解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角
、数列、立体几何、解析几何
等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小；
B. 丁可能知道两人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】 D
【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的
结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选
D.
2. 【 2017 北京，文 14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
( 猜想 ) ；
观察、比较 → 联想、类推 → 猜想新结论
5. 演绎推理的结构特点 (1) 演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结 论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般 的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般 原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论． (2) 演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若 大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
mn 形 ABCD 中，延长梯形两腰 AD， BC 相交于 O 点，设 VOAB ， VOCD P AB 且 EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m : n ，则 VOEF 的面积 S0 与 S1， S2 的关系是
（）
A. S0 mS1 nS2 B. S0 nS1 mS2 C. S0 m S1 n S2 D.
4 n n 1 ，故答案为 n n 1
3
5. 【 2015 高考陕西，文 16】观察下列等式：
1－ 1 1 22
1－ 1 1 1 1 1 234 34
1－ 1 1 1 1 1 1 1 1 23456 456
…………
据此规律，第 n 个等式可为 ______________________.
【答案】 1 1 1 1
1 11
1
1
234
2n 1 2n n 1 n 2
2n
【 2017 考试大纲】 1. 合情推理与演绎推理 (1) 了解合情推理的含义 , 能利用归纳和类比等进行简单的推理 , 了解合情推理在数学发现中 的作用 . (2) 了解演绎推理的重要性 , 掌握演绎推理的基本模式 , 并能运用它们进行一些简单推理 . (3) 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 .
注意：归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性． 4. 归纳推理与类比推理的步骤 (1) 归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 ③检验猜想．
( 猜想 ) ；
实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论 (2) 类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的相似性或一致性； ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题 ③检验猜想．
推理与证明
【三年高考】 1. 【 2017 课标 II ，文 9】甲、乙、丙、丁 四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师 说，你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁 看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则
A. 乙可以知道两人的成绩
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2. 直接证明与间接证明
(1) 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特
点.
(2) 了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点
.
【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题 , 高考对本部分知识的考查主要在合情推理和演绎推理、直接证明 与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面 面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命 题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及 和渗透，但单独出题的可能性较小 . 【 2018 年高考复习建议与高考命题预测】 推理与证明是数学的基础思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，推理一般 包括合情推理与演绎推理，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索 和提供思路的作用，有利于创新意识的培养 . 证明包括直接证明与间接证明，其中数学归纳法 是将无穷的归纳过程，根据归纳原理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合）的过 程，要很好地掌握其原理并灵活运用 . 推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何 与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化 归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能 力，表 述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度，增强 选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题 型，并且经常作为压轴题出现 . 预测 2018 年高考可能会有题目用到推理证明的方法 . 复习建 议： 推理证明题主要和其它知识结合到一块，属于知识综合题，解决此类题目时要建立合理 的解题思路 .