四川省成都市第七中学2020届高三数学零诊模拟试题 理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1.已知集合{}11A x x =-<，{}210B x x =-<，则A B =（ ）A. ()1,1-B. ()1,2-C. ()1,2D. ()0,1【答案】B 【解析】由2{|11},{|10}A x x B x x =-<=-<得：{}|02A x x =<<，{}|11B x x =-<<， 则()1,2A B ⋃=-，故选B. 2.若1122aii i+=++，则复数a =（ ） A. 5i -- B. 5i -+C. 5i -D. 5i +【答案】D 【解析】解：由题意可知：()()()12125ai i i i +=++= ， 则515i a i i-==+ . 本题选择D 选项.3.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x <<时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 14-B. 12-C.14D.12【答案】C 【解析】 分析】根据()f x 的周期为2，则5122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据奇函数()()f x f x =--求解.【详解】因为()f x的周期为2，所以5512222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；又()f x是奇函数，所以1122 f f⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以25111122224 f f⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选B.【点睛】本题考查根据函数奇偶性、周期性求值.方法：根据奇偶性、周期性把自变量化到有解析式的区间. 4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy bx a=+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A. 11.4万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元【答案】B 【解析】试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．5.设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则（ ）A. 5166BO AB AC =-+ B. 1162BO AB AC =- C. 5166BO AB AC =-D. 1162BO AB AC =-+【答案】A 【解析】由平面向量基本定理可得：()11513666BO AO AB AD AB AB AC AB AB AC =-=-=+-=-+，故选A. 6.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A. 1B. 2C.12D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】易知当1024y =时，循环结束；再寻找x 的规律求解. 【详解】计算过程如下：x2 －11221-…1-y0 1 2 3 4 … 1024 1024y <是是是是是是否当1024x =时，循环结束，所以输出1x =-. 故选D.【点睛】本题考查程序框图，选择表格计算更加简洁.当循环次数较多时，要注意寻找规律. 7.等差数列{}n a 中的2a 、4032a 是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点，则()2220174032log a a a ⋅⋅=（ ）A. 24log 6+B. 5C. 23log 3+D.24log 3+【答案】C 【解析】 由()3214613f x x x x =-+-，得()286f x x x =-+'，由()2860f x x x =-+='，且24032a a 、是()3214613f x x x x =-+-的极值点，得24032201728a a a +==，240326a a ⋅=，∴20174a =，则()222017403222log ?·log 243log 3a a a ==+，故选C. 8.以下三个命题正确的个数有（ ）个.①若225a b +≠，则1a ≠或2b ≠；②定义域为R 的函数()f x ，函数()f x 为奇函数是()00f =的充分不必要条件；③若0x >，0y >且21x y +=，则11x y+的最小值为3+A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】D 【解析】 【分析】①根据原命题与逆否命题真假关系；②根据奇函数的定义与性质判断；③根据基本不等式判断.【详解】当1a =且2b =时，225a b +=成立， 根据原命题与逆否命题真假一致，故①正确； 定义域为R 的奇函数()f x 必有()00f =，定义域为R 函数()f x 且满足()00f =不一定是奇函数，如()2f x x =，故②正确；若0x >，0y >且21x y +=，则2133112y x y y x x +=+++≥+=+当且仅当2y x x y =即1x y ==时等号成立，故③正确；【点睛】本题考查命题，充分必要条件，及基本不等式.原命题的真假比较难判断时，可借助逆否命题来判断；基本不等式注意成立的条件“一正二定三相等” .9.甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A. 乙、丁可以知道自己的成绩 B. 乙可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 丁可以知道四人的成绩【答案】A 【解析】 【分析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在直线1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）A. ⎤⎥⎣⎦B. ⎤⎥⎣⎦C. ⎣⎦D.⎣⎦【答案】A 【解析】首先根据图像找到直线与平面的夹角范围，再计算对应正弦值得到答案.【详解】由题意可得：直线OP 于平面1A BD 所成的角α 的取值范围：111,[,]22AOA C OA ππ⎡⎤∠⋃∠⎢⎥⎣⎦不妨取2AB = .在1Rt AOA 中，11216sin 322AA AOA AO ∠===+ .()111sin sin 2C OA AOA π∠=-∠1sin 2AOA =∠112sin cos AOA AOA =∠∠632262==>sin α的取值范围是63⎤⎥⎣⎦ . 故答案为：6⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了线面夹角的正弦值，通过图形找到对应的角度是解题的关键. 11.函数()()2sin 4cos 1f x x x =⋅-的最小正周期是（ ）A.3π B.23π C. πD. 2π【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将()f x 化简为y=sin x+A ωϕ（）的形式，再利用周期函数求出其最小正周期，可得答案.【详解】解：()()()2sin 2cos cos 2sin 2cos cos cos 2f x x x x x x x x =+=⋅+sin 2cos sin cos2sin3x x x x x =+=，可得其最小正周期为23π， 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换:二倍角公式和辅助角公式等，及三角函数的周期性的，属于中档题型12.如图，已知ABC ∆，其内部有一点O 满足OAB OAC OBC OCA θ∠=∠=∠=∠=，命题:p θ最大值有可能超过36度；命题:q 若三边长对应分别为,,a b c ，则a bc =2；则正确的选项为（ ）A. p 真q 假B. p 假q 假C. p 真q 真D. p 假q 真【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理计算三边关系得到2a bc =，得到命题q 为真命题，根据角度关系得到内角和超过5θ，故命题P 为假命题，得到答案. 【详解】方法1：在ACO ∆中，根据正弦定理得()sin 2sin b m πθθ=-，即sin2sin b m θθ= ①在CBO ∆中，根据正弦定理得()sin sin a m θαθ=+，即()sin sin a mθαθ=+ ②由①②得()sin2sin b a θθα=+，即()sin2sin b a θθα=+. 又()sin sin2,sin sin A C θθα==+，sin sin b Aa C = 在ABC ∆中，根据正弦定理得sin sin A a C c =，即得a bc a=， ∴2a bc =. ∴q 为真.∵2a bc =，∴a 不是最长边，∴,B C ∠∠至少有一个超过2θ，∴内角和超过5θ，所以p 错误. 方法2：如图延长AO 交BOC ∆的外接圆于点D ，则2DBC DOC CAB θ∠=∠==∠，BCD BOD ABO ABC θ∠=∠=+∠=∠∴~ABC BCD ∆∆，∴AB BC BC DC=. 又∵CDA CDO CBO CAD θ∠=∠=∠==∠，∴DC AC =. ∴AB BCBC AC=，即2BC AC BA =⋅，即2a bc =. 【点睛】本题考查了命题的判断，计算量较大，意在考查学生的计算能力.第Ⅱ卷二、 填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分13.命题p ：0x R ∃∈，200220x x ++≤，写出命题p 的否定：_______________【答案】x R ∀∈，2220x x ++>【解析】 【分析】特称命题改为全称命题，把“0x ”改为“x ”，“存在”改为“所有”，再否定结论. 【详解】命题p 是特称命题，它的否定是全称命题， 所以命题p 的否定为：x R ∀∈，2220x x ++>【点睛】本题考查含有量词的命题的否定.方法：先改量词，再否定结论. 14.曲线y x =与直线(0)x a a =>，0y =所围成封闭图形的面积为2a ，实数,m n 满足190m n m n a n -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2m n -的取值范围是________. 【答案】1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】先通过定积分计算面积得到a ，再通过线性规划得到答案. 【详解】曲线y x =与直线(0)x a a =>，0y =所围成封闭图形的面积为2a3322202240339aa xdx x a a a ===⇒=⎰119400m n m n m n a m n n n -≥-≥⎧⎧⎪⎪+≤⇒+≤⎨⎨⎪⎪≥≥⎩⎩根据图像知： 当53,22m n ==时：122m n -=-为最小值 当4,0m n ==时：24m n -=为最大值2m n -的取值范围是：1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了定积分的计算和线性规划，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力. 15.已知抛物线22(0)y px p =>与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同的焦点F ，P 是两曲线的公共点，若56PF p =，则此椭圆的离心率为_________. 【答案】12e =【解析】【分析】 通过抛物线和椭圆性质得到P 点坐标，将P 点坐标代入椭圆得到答案.【详解】设椭圆的左焦点为1F ，由题意抛物线的准线方程为1,,0,,0,2222p p p p x F F c ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由抛物线的定义知点P 到准线的距离为56p ，可得点P 的横坐标为5623p p p -= ，则有222115766p p PF PF ⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以12||2a PF PF p =+= ， 则122pc e a p === 故答案为12e = 【点睛】本题考查了抛物线性质，椭圆的离心率，计算出P 点坐标是解题的关键.16.定义在区间(0,2]上的函数()2()(2)ln f x x x x t =-⋅-+恰有2个不同零点，则实数t 的取值范围是__________. 【答案】114t <≤或54t = 【解析】【分析】首先的到2x = 这个零点，再利用参数分离的方法计算另外一个零点得到答案.【详解】定义在区间(]0,2上的函数()()()22ln f x x x x t =-⋅-+恰有2个不同零点 易知：2x =是一个零点.()0,2x ∈时：()2225ln 0114x x t x x t t x x t -+=⇒-+=⇒=-++⇒=或11t -<≤ 且2104x x t t -+>⇒> 114t <≤或54t = 故答案为：114t <≤或54t = 【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离法解决问题，意在考查学生的计算能力.三、解答题（共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题卷上17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，已知4B π=，cos cos20A A -=（1）求角C ；（2）若222b c a bc +=-+，求ABC S ∆.【答案】（1）12C π=（2）1-【解析】 试题分析：（1）化简条件得：1cos 2A =，即可得角C ； （2）由余弦定理可得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，再结合条件可得22a a +=，进而得a ，再由正弦定理求得c ，进而可求面积.试题解析：（1）因为cos cos20A A +=，所以22cos cos 10A A +-=， 解得：1cos 2A =，cos 1A =-舍去，所以3A π=，又4B π=，所以512C π= （2）在ABC ∆中，因3A π=，由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-又222b c a bc +=++，所以22a a +=，所以2a =，又因为562sin sin 124C π+==，由正弦定理sin sin c a C A = 得：3263c +=，所以13sin 123ABC S ac B ∆==+. 18.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校男生的人数；并求出a 值（2）估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率；（3）从样本中身高在170~180cm 之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在175~180cm 之间的概率。