X
x x (X,t)
表示法二：反过来只要运动是连续单值的，（2-1-1）式可反
演为
X X (x,t)
(2-1-2)
即X是ｘ和t 的函数。
（2-1-1）式和（2-1-2）式是描述一维长杆中介质运动的两 种形式，二者是可是互换的。
在一维情况下，应用Lagrange方法，可将物理量Ψ表达 为质点X和时间t 的函数：Ψ = F (X , t )。自变量X即为 Lagrange坐标（物质坐标）。
相应地，研究杆的运动时，要先选定坐标系统，一般对 应有两种坐标系： Lagrange坐标（即物质坐标，随着介质流动来考察） Euler坐标（即空间坐标，固定空间位置来考察）。
Lagrange描述（方法）： 随着介质中固定的质点来观察物质的运动，所研究的是
在给定的质点上各物理量随时间的变化，以及这些量由一个 质点转到其他质点时的变化，这种描述介质运动的方法称为 Lagrange描述（方法）。
t
x
f
x,t
t
x
(2-2-1)
物质微商（Lagrange微商或随体微商）：随着给定的质点X 来观察物理量Ψ对时间t 的变化率，即
t
X
d
dt
F
(X t
,
t
)
X
(2-2-2)
t
X
d
dt
F
(X t
,
t
)
X
对于（2-2-2）式应用复合函数求微商的连锁法则，有
d
dt
x t
X
dx dt
d v
dt t x
(2-2-3) (2-2-4)
d v
dt t x
物理量Ψ为质点速度时，(2-2-4)式变为质点加
X
dv dt
v t
v v x
(2-2-5)
(2-2-4)式中，等式右边第一项通常称为局部变化率，显 然在定常场中该项为零；第二项称为迁移变化率，在均匀场 中该项为零。与此相对应，(2-2-5)式中，等式右边第一项通 常称为局部加速度，第二项称为迁移加速度。
为Euler坐标（或空间坐标）
以长杆中一维运动为例：
X
质点命名（质点在参考时刻的空间位置坐标）：X 质点任一时刻t 在空间所占位置： x
质点X 物理含义：质点在参考时刻t0时在参考空间坐标系 中所占据的位置坐标。参考时刻可以取t0=0时刻，或其它适 当的时刻；参考空间坐标系可以与描述运动所用的空间坐标 系一致，也可以不同，选取原则取决于研究问题的方便性。
第二章 弹塑性波基本方程
▪ 2-1 物质坐标和空间坐标 ▪ 2-2 时间微商与波速 ▪ 2-3 物质坐标描述的杆中纵波控制方程 ▪ 2-4 特征线与特征线上的相容关系 ▪ 2-5 空间坐标描述的控制方程和特征线 ▪ 2-6 波阵面上的守恒方程
2-1 物质坐标和空间坐标
连续介质力学的基本出发点之一，是不从微观上考虑物 体的真实物质结构，而只是在宏观上把物体看成是连续不断 的质点所组成的系统，即把物体看成是质点的连续集合。每 个质点在空间上占有一定的空间位置，不同的质点在不同的 时间占有不同的空间位置。
作为其标记，不同的质点以不同的数（a，b，c）表示，这组 数（a，b，c）称为Lagrange坐标（或物质坐标、随体坐标 ）。
Lagrange表示法：t=t0 时位置来表示，(a0 , b0 , c0 )
Euler坐标：
为了表示物体质点在不同时刻运动到空间的一个位置，以
一组固定于空间的坐标 q1, q2, q3 表示该位置，这组坐标称
（1）物质坐标系中描述的物理量 述的物理量
空间坐标系中描
由（2-1-2）、（2-1-3）式，有
f (ｘ, t ) = F [X（ｘ, t）, t ]
（2）空间坐标系中描述的物理量
述的物理量 F(X ,t) f (x,t)
(2-1-4) 物质坐标系中描
由（2-1-1）、（2-1-3）式，有 F (X , t ) = f [ｘ（X ,t）, t ]
F
(X t
,
t
)
X
f
[
x( X t
,
t
),
t
]
X
f
[x( X ,t),t]] t
x
f
[x(X ,t),t] x
t
x t
X
x
f
( x, t ) t
x
f
( x, t ) x
t
x t
X
t X
质点X 空间位置对时间的物质微商，即质点X
的运动速度
v
构形：一个物体中各质点在一定时刻的相互位置的配置。
➢如何描述质点运动？
定义坐标系 （1）质点命名（为了区别不同的质点），如 Xi(a,b,c) （2）描述质点所占据的空间位置xi。i=1，一维；i=3，三维 （3）时间坐标t
在连续介质力学中，往往采用两种观点和方法来研究介 质的运动： Lagrange方法 Euler方法。
Euler描述（方法）：
在固定的空间点上来观察物质的运动，所研究的是在给定 的空间点上以不同时间到达该点的不同质点的各物理量随时 间的变化，以及这些物理量从一个空间点转换到另一空间点 时的变化，这种描述介质运动的方法称为Euler描述（方法） 。
Lagrange坐标： 为了识别运动中物体的一个质点，以一组数（a，b，c）
(2-1-5)
x x (X,t)
2-2 时间微商与波速
三种微商： 空间微商（Euler微商） 物质微商（Lagrange微商或随体微商） 随波微商
两种波速： 空间波速（Euler波速） 物质波速（Lagrange波速）
空间微商（Euler微商）：在给定空间位置x上，物理量Ψ对 时间t的变化率，即
X
表示法一：介质的运动可表示为质点X在不同的时间t占据不
同的空间位置x ，即x是X 和t 的函数
x x (X,t)
(2-1-1)
如果固定X，上式给出了质点X如何随时间运动；如果固 定t，上式给出了某时刻各质点所占据的空间位置。一般来说， 在给定时刻，一个质点只能占有一个空间位置，而一个空间 位置也只能有一个质点。
应用Euler方法，可将物理量Ψ表达为空间坐标x和时间t 的函数：Ψ = f (x, t )。自变量x即为Euler坐标（空间坐标）。
显然，对于同一物理量Ψ，有
Ψ = F (X , t ) = f (ｘ, t )
(2-1-3)
X X (x,t)
F(X ,t) f (x,t)
描述同一物理量Ψ，既可以用物质坐标也可以用空间坐 标来进行描述，二者还可以进行转换。