第四章 模拟信号的数字化
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4.1 引言
两类信源：模拟信号、数字信号 模/数变换的三步骤：抽样、量化和编码
抽样信号
抽样信号 量化信号
011
100
100
011 011
100
100 编码信号
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t
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主要的模/数变换方法 ➢脉冲编码调制 (PCM) ➢差分脉冲编码调制（DPCM） ➢增量调制
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4.2 模拟信号的抽样
恢复原信号，或者说能由抽样信号决定原信号。
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这里，恢复原信号的条件是： fs 2 fH
2fH称为奈奎斯特(Nyquist)抽样速率。与此相应的最小抽 样时间间隔称为奈奎斯特抽样间隔。
如果抽样频率小于奈奎斯特抽样频率，则相邻周期的频 谱间将发生频谱重叠（简称混叠），并因此不能正确分 离出原信号频谱。
➢ 例如，典型电话信号的最高频率限制在3400 Hz，而抽样频 率采用8000 Hz。
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4.2.2 带通模拟信号的抽样定理
设带通模拟信号的频带限制在fL和fH之间，如图所示。 即其频谱最低频率大于fL，最高频率小于fH，信号带宽B = fH －fL。
-fH -fL 0 fL fH f
（1）按照上面的低通信号抽样的结论，只要采样频率fs
图中的曲线表示要求的最小抽样频率fs，但是这并不意 味着用任何大于该值的频率抽样都能保证频谱不混叠。
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4.2.3 模拟脉冲调制
脉冲振幅调制PAM 脉冲宽度调制PDM 脉冲位置调制PPM
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4.3 抽样信号的量化
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例子：“四舍五入”量化
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4.3 抽样信号的量化
4.3.1 量化原理
由上式看出：由于S(f - nfs)是信号频谱S(f)在频率轴上平移 了nfs的结果，所以抽样信号的频谱Sk(f)是无数间隔频率为fs 的原信号频谱S(f)相叠加而成。
因已经假设s(t)的最高频率小于fH，所以若上式中的频率 间隔fs 2fH，则Sk(f)中包含的每个原信号频谱S(f )之间互不 重叠，如图所示。这样就能够从Sk(f )中分离出信号s(t)的频 谱S(f)，并能够容易地从S(f)得到s(t)；也就是能从抽样信号中
这里得到的采用频率比前面的2fH低很多，因此具有重要利用价值。
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由于原信号频谱的最低频率fL和最高频率fH之差永远等于信号带宽B， 所以
（1）当0 fL < B时，有B fH < 2B。这时n = 1，而上式变成了fs = 2B(1 + k)。故当k从0变到1时，fs从2B变到4B，即图中左边第一段 曲线。
4.2.1 低通模拟信号的抽样
通常是在等间隔T上抽样 理论上，抽样过程 ＝ 周期性单位冲激脉冲 模拟信号 实际上，抽样过程 ＝ 周期性单位窄脉冲 模拟信号 抽样定理：若一个连续模拟信号s(t)的最高频率小于fH，则以
间隔时间为T 1/2fH的周期性冲激脉冲对其抽样时，s(t)将被 这些抽样值所完全确定。
量化的目的： 将抽样信号数字化。
量化的方法： ➢ 设s(kT) － 抽样值， ➢ 若用N位二进制码元表示， 则只能表示M = 2N个不同 的抽样值。
适当下移fL,将带宽扩展到B’,使得fH为B’的整数倍， 即fH=nB’=n[B(1+k/n)], 其中B’=B(1+k/n)
按照上面的结论，有 fs=2B’=2B(1+k/n)
fs
2B(1 k) n
式中，B － 信号带宽； n － 商(fH / B)的整数部分，n =1，2，…；
k － 商(fH / B)的小数部分，0 < k < 1。
（4）当fL＝2B时，fH＝3B，这时n = 3。当k＝0时，上式又变成了fs = 2B，即fs从3B又跳回2B。依此类推。
4B 3B 2B B
0Bຫໍສະໝຸດ 2B 3B 4B 5B 6B
fL
-
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由上图可见，当fL = 0时，fs ＝2B，就是低通模拟信号的 抽样情况；当fL很大时，fs趋近于2B。fL很大意味着这个 信号是一个窄带信号。许多无线电信号，例如在无线电 接收机的高频和中频系统中的信号，都是这种窄带信号。 所以对于这种信号抽样，无论fH是否为B的整数倍，在 理论上，都可以近似地将fs取为略大于2B。
大于2fH,显然可以进行无失真采样，但是这样的fs往往太 高了。
(2)应该怎么办呢？ ——抽样过程使得频谱重叠，而正确抽样的条件是抽样
过程中频谱不互相重叠！
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fH＝nB, 则 fs=2B，频谱不重叠
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4.2.2 带通模拟信号的抽样定理
当fH ！＝nB,，即 fH ＝nB+kB(0<k<1)
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由抽样信号恢复原信号的方法 ： ➢ 从频域看：当fs 2fH时，用一个截止频率为fH的理想低通 滤波器就能够从抽样信号中分离出原信号。
➢ 从时域中看，当用抽样脉冲序列冲激此理想低通滤波器时， 滤波器的输出就是一系列冲激响应之和，如图所示。这些 冲激响应之和就构成了原信号。
➢ 理想滤波器是不能实现的。实用滤波器的截止边缘不可能 做到如此陡峭。所以，实用的抽样频率fs 必须比 2fH 大较多。
Sk(f) － sk(t)的频谱 S(f) － s(t)的频谱
( f ) － T(t)的频谱
(f )是周期性单位冲
激脉冲的频谱，它可以求
出等于：
(f)T 1n (f nsf)
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将得到(f)T1n(f nfs) 代入 Sk(f)S(f) (f)，
S k(f) T 1 S (f) n (f n fs) T 1 S (f n fs)
模拟信号
s(t)
模拟信号的抽样
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抽样定理的证明：
设： s(t) － 最高频率小于fH的信号，
T(t) － 周期性单位冲激脉冲，其重复周期为T，重复频率
为fs = 1/T
则抽样信号为： sk(t)s(t)T(t) s(k)T
设sk(t)的傅里叶变换为Sk(f) ，则有： Sk(f)S(f) (f) 式中，
（2）当fL＝B时，fH＝2B，这时n = 2。故当k＝0时，上式变成了fs = 2B，即fs从4B跳回2B。
fs 4B 3B 2B B
0
B
2B 3B 4B 5B 6B
fL
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（3）当B fL < 2B时，有2B fH < 3B。这时，n = 2，上式变成了fs = 2B(1 + k/2)，故若k从0变到1，则fs从2B变到3B，即图中左边第 二段曲线。