(第12题图) CB A DA' C'D' 2014－2015学年第一学期期末调研测试试卷高一数学 2015. 1注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的密封线内。

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题．．纸．相应的．．．位置．．上。

1．已知集合{}{}1,1,2,1,0,2A B =-=-，则A B I ＝ ▲ ． 2．角α的终边过点(−3，−4)，则tan α＝ ▲ ． 3．函数()log (1)1(01)a f x x a a =-+>≠且恒过定点 ▲ ． 4．已知a ＝(cos40︒，sin40︒)，b ＝(sin20︒，cos20︒)，则a ·b ＝ ▲ ． 5．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-＝ ▲ ．6．函数232y x x =-+的零点是 ▲ ．7．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再将图象上所有点向右平移 个单位，所得函数图象所对应的解析式为y ＝ ▲ ． 8．若2cos 2π2sin()4αα=--，则sin 2α＝ ▲ ．9．若函数()248f x x kx =--在[]5,8上是单调函数，则k 的取值范围是 ▲ ．10．已知向量a ＝(6，－4)，b ＝(0，2)，OC uuu r ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin π12 x的图象上，实数λ的值是 ▲ ．11．四边形ABCD 中，()1,1AB DC ==u u u r u u u r ，2BA BC BD BA BC BD +=uu r uu u r uu u r uu r uu u r uu u r ，则此四边形的面积等于 ▲ ． 12．如图，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝5，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转45o 后得到矩形A'BC'D'，则点D'到直线AB 的距 离是 ▲ ．13．已知函数 (0),()(3)4 (0)xa x f x a x a x ⎧<=⎨-+⎩…是减函数，则a 的取值范围是 ▲ ．14．设两个向量a 22(2,cos )λλα=+-和b (2sin )m m α=+，，其中m λα，，为实数．若a = 2b ，则mλ的取值范围是 ▲ ． 3π二、解答题：本大题共6小题，计90 分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。

15．(本题满分14分)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，1)， (Ⅰ) 求a －2b ；(Ⅱ) 设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值； (Ⅲ) 若向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直，求k 的值．16．(本题满分14分)已知21cos ,cos(),510ααβ=-=且0,022ππαβ<<-<<，(Ⅰ) 求tan 2α的值； (Ⅱ) 求β的值．17．(本题满分15分)已知函数f (x )是实数集R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2log x ＋x －3． (Ⅰ) 求f (－1)的值； (Ⅱ) 求函数f (x )的表达式；(Ⅲ) 求证：方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有唯一解．18．(本题满分15分)根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P (元)与时间t (天 *N t ∈)的关系满足下图，日销量Q (件)与时间t (天)之间的关系是*40(N )Q t t =-+∈．(Ⅰ) 写出该产品每件销售价格P 与时间t 的函数关系式；(Ⅱ) 在这30天内，哪一天的日销售金额最大？(日销量金额＝每件产品销售价格×日销量)19．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足12+33OC OA OB =uuu r uu r uu u r．(Ⅰ) 求证：A 、B 、C 三点共线；(Ⅱ) 求ACCBuuu r uu r 的值；(Ⅲ) 已知A (1，cos x )、B (1+cos x ，cos x )，x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，f (x )= 2(2)3OA OC m AB ⋅-+uu r uuu r uu u r 的最小值为32-，求实数m 的值．20．(本小题满分16分)已知函数1()log 1amxf x x -=-(0,1)a a >≠是奇函数． (Ⅰ) 判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；(Ⅱ) 当(,2)x n a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值；(Ⅲ) 令函数2()()8(1)5f x g x ax x a=-+--，a ≥8时，存在最大实数t ，使得(1,]x t ∈时，()55g x -剟 恒成立，请写出t 关于a 的表达式．2014－2015学年第一学期期末调研测试试卷高一数学参考答案2015. 1一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分1．{}1,2-；2．43；3．(2,1)；4．32；5．13；6．1，2；7．2sin(2)3y x π=-；8．43-；9．40k …或64k …；10．52；11．2；12．1722；13．1(0,]4；14．[－12,2]． 二、解答题：本大题共6小题，计90 分。

15．解：(Ⅰ) a -2b =(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0)；……………..(4分)(Ⅱ)cos θ⋅=⋅a b a b ……………..(6分)221(3)211(3)21⨯-+⨯=+-+………..(8分)=102-；…………(10分) (Ⅲ)因为向量a +k b 与a -k b 互相垂直，所以(a +k b )•(a -k b )=0即2220k -=b a ……………..(12分)因为25=a ，210=b ，所以01052=-k 22±=⇒k ; ………(14分) 16．解：(Ⅰ)由2cos ,025παα=<<，得2221sin 1cos 155αα⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭……………..(2分) ∴sin 151tan cos 225ααα==⨯=，……………..(3分) 则22122tan 42tan 21tan 3112ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭.……………..(6分) (Ⅱ)由0,022ππβα-<<<<，得0αβπ<-<，……………..(7分)又∵()1cos 10αβ-=，∴()()2213sin 1cos 11010αβαβ⎛⎫-=--=-= ⎪⎝⎭.…..(9分)由()βααβ=--得：()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-211322510510=⨯+⨯=，……………..(12分)∵02πβ-<<∴4πβ=-. ……………..(14分)17．解：(Ⅰ)函数f (x )是实数集R 上的奇函数．所以f (－1)＝－f (1)．因为当x ＞0时，f (x )＝log 2x ＋x －3，所以f (1)＝log 21＋1－3＝－2． 所以f (－1)＝－f (1)＝2．……………..(3分)(Ⅱ)当x ＝0时，f (0)＝f (－0)＝－f (0)，解得f (0)＝0；……………..(4分) 当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝log 2(－x )＋(－x )－3＝log 2(－x )－x －3． 所以－f (x )＝log 2(－x )－x －3，从而f (x )＝－log 2(－x )＋x ＋3．……..(6分) 所以f (x )＝()22log 3 , 0,0,0,log 3,0x x x x x x x -⎧-++<⎪=⎨⎪++>⎩……………..(8分)(Ⅲ)因为f (2)＝log 22＋2－3＝0，所以方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有解x ＝2．……………..(10分) 又方程f (x )＝0可化为log 2x ＝3－x ． 设函数g (x )＝log 2x ，h (x )＝3－x ．由于g (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数……………..(12分)， h (x )在区间(0，＋∞)上是单调减函数，……………..(13分) 所以，方程g (x )＝h (x ) 在区间(0，＋∞)上只有一个解．所以，方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有唯一解． ……………..(15分) (指出解且直接指出f (x )单调性给满分)18．解：(Ⅰ)根据图象，每件销售价格P 与时间t 的函数关系为：30(020,)50(2030,)t t t P t t ⎧+<∈⎪=⎨<∈⎪⎩**N N ……. ……………..(4分) (Ⅱ)设日销售金额y (元)，则**(30)(40)(020,)50(40)(2030,)t t t t y t t t ⎧+-+<∈⎪=⎨-+<∈⎪⎩N N …… ……………..(6分) 2**101200(020,)502000(2030,).t t t t t t t ⎧-++<∈⎪=⎨-+<∈⎪⎩N N …… ……………..(8分) 若*020,t t <∈N …时，,1225)5(12001022+--=++-=t t t y∴当t =5时，;1225max =y ……………..(11分)若20<t 30，t ∈*N 时，y =－50t +2000是减函数，……………..(13分)∴y <－50×20+2000=1000,因此，这种产品在第5天的日销售金额最大，最大日销售金额是1225元. ……………..(15分)19．解：(Ⅰ)由已知12+33OC OA OB =uuu r uu r uu u r ，即2+=3AC AC CA AB =uuu r uuu r uu r uu u r ，12+=++33AC AO OC AO OA OB =uuu r uuu r uuu r uuu r uu r uu u r22=+33AO OB uuu r uu u r 23AB =uu u r ∴AC uuu r ∥AB uu u r .又∵AC uuu r 、AB uu u r有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线. ………..(4分)(Ⅱ)∵22()33AC AB AC CB ==+uu u r uu u r uu u r uu r ，∴1233AC CB =uuur uu r ，2AC CB =uu u r uu r，∴2AC CB=uuu r uu r ……………..(8分)(Ⅲ)∵12+33OC OA OB =u u u r u u r u u u r ∴C(21cos ,cos 3x x +)，AB uu u r =(cos x ，0)，∴f (x ) =23OA OC m AB ⋅-+u u r u u u r u u u r （2） =2221cos cos cos 33x x m x++-+（2）∴f (x )=(cos x m )2+1 m 2. ……………..(11分)∵x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴cos x ∈［0，1］. ……………..(12分)当m <0时，当且仅当cos x =0时，f (x )取得最小值1与已知相矛盾； 当0 m 1时, 当且仅当cos x =m 时，f (x )取得最小值1-m 2，由1-m 2=32-得m =±102 (舍去)；当m >1时，当且仅当cos x =1时，f (x )取得最小值2-2m ，由2-2m =32-得m =714>. 综上所述，m=74为所求. ……………16分 20．解：(Ⅰ)由已知条件得()()0f x f x -+=对定义域中的x 均成立.∴11log log 011aa mx mxx x +-+=---. 即11111mx mx x x +-⋅=---∴22211m x x -=-，，对定义域中的x 均成立， 即2210m x -=（），∴21m = 当1m =时，()f x 无意义，故舍去，当1m =-时()f x 奇函数，∴1m =-.……………..(3分)1()log 1ax f x x +=-， 设11221111x x t x x x +-+===+---， ∴当121x x >>时，211212122()2211(1)(1)x x t t x x x x --=-=---- ∴12t t <. 当1a >时，12log log a a t t <，即12()()f x f x <.∴当1a >时，()f x 在(1,)+∞上是减函数. ……………..(5分) 同理当01a <<时，()f x 在(1,)+∞上是增函数. ……………..(7分) (Ⅱ) 函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃+∞， ∴①21n a <--…，∴01a <<. ∴()f x 在(,2)n a -为增函数，要使值域为(1,)+∞，则1log 1121an n a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩(无解)； ②12n a <-…， ∴3a >.∴()f x 在(,2)n a -为减函数,要使()f x 的值域为(1,)+∞, 则11log 13a n a a =⎧⎪-⎨=⎪-⎩， ∴23a =+，1n =. ……………..(12分)(Ⅲ)()()()22241681583()3f xg x ax x a ax x a x aa=-+--=-++=--++，则函数()y g x =的对称轴4x a=， 8a …∴410,2x a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦. ∴函数()y g x =在(]1,x t ∈上单调减.则1x t <…，有()()(1)g t g x g <………………..(13分) ∵(1)=11g a -,又a ≥8,∴(1)g ≤3<5……………..(14分)∵t 是实数，使得1]x t ∈（，上()5g x 剟-5恒成立，∴()5g t -…， 即23at t +-+8-5…，∴280at t -8-…，280t t a a8--… 22168()t a a a -+4…，∴22168168t a a a a a-+-+4剟 22168168t a a a a a a -+++44剟，∴2168t a a a=++4=……………..(16分)。