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周期解
这一节主要讨论系统 （"） 的周期解 0 为此，必须讨论平衡点的稳定性及种群的持续生存性 0 定义 #"$ 系统 （"）被称为是一致持续生存的， 如果存在正常数 ) ! ， ) " 使得系统的任意一个正解 （ 2） （ 2） ) ! " 3.4 .56 1 " 3.4 8’9 1 " )"
2# ( 7 2# ( 7
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模
型
众所周知，捕食者 食饵模型是非常重要的种群模型 ! 文献 ［& " @］ 中考虑的食饵种群多是受密度制约 的，当不存在捕食者时食饵的增长率 （ 具有 E(F9739> 形式或满足 #% （ $ ）& $ ! 然而有些种群在数量很小时 # $） 无密度制约，当达到一定数量后受密度制约 ! 这时 （ 可具有如下形式： # $） （ # $ ）’
第 !" 卷
第#期
西 南 师 范 大 学 学 报（自然科学版）
!$$% 年 &! 月
’() * !" +( * # ,(-./0) (1 2(-345673 849/0 +(.:0) ;/9<6.793=（+03-.0) 2>96/>6） ?6> * !$$% ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
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由 %&’()*+’,-.(/ 定理，得到下面的结论： 定理 !"! （1） （2）
满足，则正平衡点
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是渐近稳定的 0
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"6$ # 6 < 6$ 由引理 #;! 和引理 #;" 知，系统 （"） 的非负解是点耗散的 0 由定义 #;! 及系统 （"） 的
形式，不难证明 6 与 6$ 都是正不变的 0 显然， （"） 的非 "6$ 是 6 的相对闭集 0 只要证明 "6$ 一致排斥系统 负解即可 0 令 （1 （ 2） ，%（ ，%（ ） 满足系统 （"） ，且 ! 2） " 2） （$） ，%（ ，%（ ） )" # （ 1 ! $） " $） （1 （ 2） ，%（ ，%（ ） ! 2） " 2） % "6$ ，& 2 $ $ 不难证明：)" # { （ 1 ，$，$） 1 $ $ } 0 显然在 "6$ 内有两个平衡点 .（ 和 .! $，$） $ $，
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平衡点及其稳定性
在这一节，我们给出系统 （!） 的正平衡点存在及其渐近稳定的条件 !
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收稿日期：!$$% $A &$ 基金项目：国家自然科学基金资助项目 （&$!B&$C#） * 作者简介：肖氏武 （&CB& H ） ，男，湖北天门人，讲师，硕士研究生，主要从事生物数学的研究 * 通讯作者：王稳地，教授 *
文章编号：&$$$ @AB& （!$$%） $# $"#C $@
一类具阶段结构的捕食者 食饵模型的周期解
! 肖氏武&p;D 西南师范大学 数学与财经学院，重庆 A$$B&@；!D 襄樊学院 数学系，湖北 襄樊 AA&$@% 摘要：研究了一类具阶段结构的捕食者 食饵模型的渐近性质 * 文中假设由幼年阶段转化为成年阶段的转化率依赖 于幼年个体数量 * 建立了捕食种群一致持续生存与绝灭的条件 * 证明了稳定的周期解的存在性 * 关 键 词：阶段结构；持续生存；绝灭；周期轨；稳定性 文献标识码：( 中图分类号：!"#$%"；&"’"
第=期
肖氏武，等：一类具阶段结构的捕食者 食饵模型的周期解 !! !" " !# # !# # & " !） （ %! !" $ ! （
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21!
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! ! $ !） , （ " !） （& （ （ *+（ （ %! （ %! ） ） )） " !" !! ( " !! ) ( )$ $ , ( - ）" !! % ! ） ! ） !! ( （ %! $ 若 （+!） （+"） ， 与 （0） 成立，则系统 （"） 有唯一的正平衡点 . ! ，如果条件 & " ’ $ ( &’ ! ( ’ " / $
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当 $ " $ " )$ 当 $ # )$
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其中 )$ , $，+ , $，- , $ 为常数，( 为种群的内禀增长率 ! 本文考虑如下阶段结构模型： G$ ’ （ # $ ）" -$/ ! G. G /& （ /&） （!） /& G . ’ 0-$/ ! " !& / & " 1 G /! ’ 1 （ / &） / & " !! / ! G. 这里 （ 同 （&） ，$ （ .） ，/（ ，/（ 分别表示食饵、 幼年捕食者、 成年捕食者在时刻 . 的数量 ! !& ， # $） !! 分别 & .） ! .） 表示幼年捕食者与成年捕食者死亡率 ! 0 表示将食饵转化为幼年捕食者的转化系数 ! 1 （ /&） 表示幼年捕食 者转化为成年捕食者的转化率，并假设它是幼年捕食者数量的函数 ! ( 为食饵的内禀增长率 ! 以上所有参数 均为非负常数 ! 本文的目的是研究系统 （!） 的渐近性质 ! 得到了系统 （!） 会出现渐近稳定的周期解 ! 这说明阶段结构可 能是种群数量周期扰动的原因，从而使得种群模型的性态更加复杂 !
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2#7
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不妨假设 ) （ 2 ）/ +$ 0 由 （:） 及 （+!） 知，总可选取充分小的# / $，使得 1
83#
西南师范大学学报 （自然科学版）
第 #8 卷 （!!）
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3 # !， "0
对系统 （"） ，我们有下面的结论： 定理 #"$ 如果 （+!） 成立，则当 （ （$）( !!） , ! " $ +$ / （$） （ , ( -） *&$ 成立时，系统 （"） 是一致持续生存的 0 为证明定理 #;!，我们首先给出下面两个引理，其证明类似于文献 ［0］ 中的证明，在此不证 0 系统 （"） 过初值 （1 （$） ，%（ ，%（ ） （1 （$）/ $，% （ 的解 （1 （ 2） ，%（ ， "0） ! $） " $） 3 $）/ $，3 # !， ! 2） ） 在其最大存在区间上是正的 0 %（ " 2） 引理 #"! 定义 "} （ 1 ，% ! ，% "） 1 $ $，%3 $ $，3 # !， 6 #{ "} （ 1 ，% ! ，% "） 6$ # { % 6 1 / $，%3 / $，3 # !， 定理 #;! 的证明 存在正数 4 ，当 2 充分大时， 使得系统 （"） 的任意正解 （1 （ 2） ，%（ ，%（ ）5（ 4 ，4 ，4 ） ! 2） " 2） 引理 #"$ （:）
满足，则正平衡点 , 是渐近稳定的 & $ ，$ $ ） 系统 （(） 在正平衡点 , $ （ ’ $ ，$ " 的线性化系数矩阵 0 $ 的特征方程为 (
) ( " ) 1" " ) 1( " ) 1) % #