电动力学习题解答若干运算公式的证明ϕψψϕϕψψϕϕψψϕϕψ∇+∇=∇+∇=∇+∇=∇c c c c )()()(f f f f f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇ϕϕϕϕϕϕϕ)()()()()(c c c c f f f f f f f ⨯∇+⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇ϕϕϕϕϕϕϕ)()()()()(c c c c )()()(g f g f g f ⨯⋅∇+⨯⋅∇=⨯⋅∇c c )()(g f f g ⨯∇⋅-⨯∇⋅=c c)()(g f g f ⨯∇⋅-⋅⨯∇=)()()(g f g f g f ⨯⨯∇+⨯⨯∇=⨯⨯∇c cg f f g g f f g )()()()(∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=c c c c g f f g g f f g )()()()(∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=)()()(c c g f g f g f ⋅∇+⋅∇=⋅∇)()(c c g f f g ⋅∇+⋅∇=（利用公式b a c b a c c b a )()()(⋅+⨯⨯=⋅得）f g f g g f g f )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c c f g f g g f g f )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 A A A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯即 A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x z uu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e（2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d duu z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (Ae e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++=（3）uA u A u A z u y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇=3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ； 0)/(3=⨯∇r r ； 0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。

（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。

（1）证明：222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=○1 r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1(r e e e =-+-+-=∇ r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1('r e e e -=------=∇可见 r r '-∇=∇○2 3211d d 1rr r r r r r r -=∇-=∇⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇ 32'1'1d d 1'r r r r r r r r =∇-=∇⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇可见 ()()r r /1'/1-∇=∇○3 r r r r ⨯∇+⨯∇=⨯∇=⨯∇)/1()/1(])/1[()/(3333r r r r 0301d d 43=⨯-=+⨯∇⎪⎭⎫ ⎝⎛=r rr rr r r r ○4 r r r r ⋅∇+⋅∇=⋅∇=⋅∇33331)/1(])/1[()/(rr r r 03334=+⋅-=rr r r r ， )0(≠r（2）解：○13])'()'()'[()(=-+-+-⋅∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇z y x z y x z z y y x x z y x e e e e e e r ○2 0'''///=---∂∂∂∂∂∂=⨯∇z z y y x x z y x zy x e e e r○3 ])'()'()')[(()(z y x z y x z z y y x x z a y a x a e e e r a -+-+-∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅ a e e e =++=z z y y x x a a a○4 r a r a a r a r r a )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ 因为，a 为常向量，所以，0=⨯∇a ， 0)(=∇⋅a r ， 又0=⨯∇r ，a r a r a =∇⋅=⋅∇∴)()(○5 )]sin([)sin()()]sin([000r k E r k E r k E ⋅∇⋅+⋅⋅∇=⋅⋅∇ 0E 为常向量，00=⋅∇E ，而k r k r k r k r k )cos()()cos()sin(⋅=⋅∇⋅=⋅∇，所以 )cos()]sin([00r k E k r k E ⋅⋅=⋅⋅∇○6 )]cos()]sin([)]sin([000r k E k E r k r k E ⋅⨯=⨯⋅∇=⋅⨯∇ 4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d证明：（I ）设c 为任意非零常矢量，则⎰⎰⨯∇⋅=⨯∇⋅VVV V )]([d d f c f c根据矢量分析公式 )()()(B A B A B A ⨯∇⋅-⋅⨯∇=⨯⋅∇， 令其中f A =，c B =，便得c f c f c f c f ⋅⨯∇=⨯∇⋅-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()()(所以 ⎰⎰⎰⨯⋅∇=⨯∇⋅=⨯∇⋅VVVV V V )(d )]([d d c f f c f c ⎰⋅⨯=S c f d )(f S c f S c ⎰⎰⨯⋅=⨯⋅=d )d (因为c 是任意非零常向量，所以⎰⎰⨯=⨯∇f S f d d VV（II ）设a 为任意非零常向量，令a F ϕ=，代入斯托克斯公式，得⎰⎰⋅=⋅⨯∇l F S F Sd d （1） （1）式左边为：⎰⎰⨯∇+⨯∇=⋅⨯∇SSS a a S a d ][d )(ϕϕϕ⎰⎰⋅∇⨯-=⋅⨯∇=S SS a S a d d ϕϕ ⎰⎰∇⨯⋅=⨯∇⋅-=SSϕϕS a S a d d⎰∇⨯⋅=SϕS a d （2）（1）式右边为：⎰⎰⋅=⋅l a l a d d ϕϕ （3）所以 ⎰⎰⋅=∇⨯⋅l a S a d d ϕϕS（4）因为a 为任意非零常向量，所以⎰⎰=∇⨯l S d d ϕϕS5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇t ρJ 证明p 的变化率为：⎰=VV t t d ),'(d d x J p 证明：方法（I ）⎰⎰∂∂==V V V t t V t t t 'd ]),(['d ),(d d d d x'x'x'x'p ρρ⎰⎰⋅∇-=∂∂=V V V V tt 'd )'('d ),(x'J x'x'ρ⎰⎰⋅∇-=⋅⋅∇-=⋅V V V 'x V t'd )'('d )'(d d 1111J e 'x J e p'd ])'()('[11V 'x 'x V J J ⋅∇+⋅-∇=⎰⎰⎰+⋅-=Vx SV J 'x 'd 'd 1S J 1因为封闭曲面S 为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故0'd 1=⋅⎰S 'x S J ，⎰=⋅V x V J t'd d d 11e p同理 ⎰=⋅V x V J t 'd d d 22e p ， ⎰=⋅V x V J t'd d d 33e p所以 ⎰=V V t'd d d J p方法（II ）⎰⎰∂∂==V V V t t V t t t 'd ]),(['d ),(d d d d x'x'x'x'p ρρ⎰⎰⋅∇-=∂∂=V V V V tt 'd )'('d ),(x'J x'x'ρ根据并矢的散度公式g f g f fg )()()(∇⋅+⋅∇=⋅∇得： J x J x J x J Jx +⋅∇=∇⋅+⋅∇=⋅∇')(')(')()'( ⎰⎰+⋅∇-=V V V V t'd 'd )('d d J Jx'p⎰⎰+⋅-=V V 'd )'(d J Jx S ⎰=V V 'd J6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R ）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。