南通市2020届高考考前模拟卷（十）数 学Ⅰ（南通数学学科基地命题）一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．若集合{|24},{|}A x x B x x a =<=>≤，若{|34}A B x x =<<I ，则实数a = ▲ . 2．设复数z ＋1z －1＝－i ，其中i 为虚数单位，则||z = ▲ . 3. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为 ▲ .4. 在等比数列{a n }中，a 1＋a 2=1，a 5＋a 6=16，则a 9＋a 10= ▲ .5. 已知双曲线x 2－y 2=1，则其两条渐近线的夹角为 ▲ .6．设实数x ，y 满足条件01,02,21,x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤≤≤≥则|343|x y ++的最大值为 ▲ .7．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示， 则ω的值为 ▲ .8. 设集合B 是集合A =(1，2，3，4}的子集，若记事件M 为:“集合B 中的元素之和为5”，则事件M 发生的概率为 ▲ .9. 若函数f (x )=2cos(x +2θ)+ cos2x (0<θ<π2)的图象过点M (0，1)，则f (x )的值城为 ▲ .10. 设函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的三个零点x 1，x 2，x 3是公差为1的等差数列，则f (x )的极小值为 ▲ .11. 在△ABC 中，AB =8，AC =6，A =60°，M 为△ABC 的外心，若AM →=λAB →+μAC →，λ、μ∈R ，则4λ＋3μ＝ ▲ .12. 已知△ABC 的面积等于1，若BC =1，当三边之积取得最小值时，则sin A = ▲ .（第3题图）13. 已知F 是椭圆C : x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个集点，P 是椭圆C 上的任意一点，则PF 称为椭圆C 的焦半径.设椭圆C 的左顶点与上顶点分别为A ，B ，若存在以A 为圆心，PF 长为半径的圆经过点B ，则椭圆C 的离心率的最小值为 ▲ .14. 已知f (x ) = a cos x －4cos 3x ，若对任意的x ∈R ，都有|f (x )|≤1，则a = ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）已知函数f (x ) = sin(ωx +φ) (ω>0，|φ|＜π2)的图象关于直线x ＝π6对称，两个相邻的最高点之间的距离为2π． (1) 求函数f (x )的解析式;(2) 在△ABC 中，若f (A )=一35，求sin A 的值．16.（本小题满分14分）如图在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，E 为CC 1的中点， 平面AA 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1D 1， 证明: (1) A 1C ∥平面B 1D 1E ;(2) 平面AA 1C 1C ⊥平面B 1D 1E(第16题图)ACA 1B 1C 1D 1DEB某工厂两幢平行厂房间距为50m ，沿前后墙边均有5m 的绿化带，现在绿化带之间空地上建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m 3，深度为3m ，水池一组池壁与厂房平行.如果池底总造价为c 元，垂直于厂房的池壁每1m 2的造价为a 元，平行于厂房的池壁每1m 2的造价为b 元，设该贮水池的底面垂直于厂房的一边的长为x （m ）． （1）求建造该长方体贮水池总造价y 的函数关系，并写出函数的定义域； （2）试问怎样设计该贮水池能使总造价最低？并求出最低总造价．18.（本小题满分16分）已知椭圆C 的方程是: x 24＋y 23＝1.(1)设椭圆的左,右焦点分别为F 1,F 2，点P 在椭圆上运动，求|PF 1→|・|PF 2→|＋PF 1→・PF 2→的值;(2)设S 为椭圆的右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(异于点S )，直线PS ，QS 分别交直线x =4于A ,B 两点，求证: A ,B 两点的纵坐标之积为定值.（第17题图）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =12n 2+12n +a ，数列{b n }满足b 2n -1= a 2n -1 (n ∈N *)，且对任意正整数m ，使得b 2m ，b 2m +1，b 2m +2，…，b 2m +1成等比数列,公比为q m . (1) 求a 的值;(2) 求数列{q n }的前n 项积T n ；(3) 记数列{b n }的前n 项和为B n ，求证: S n ≥B n .20.（本小题满分16分）已知函数f (x )＝e x －a 2x 2，（a ＞0），其中e 为自然对数的底数.(1)∀x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，均有e x 2－e x 1x 2－x 1＞m ，求实数m 的取值范围；(2) ① 设曲线y = f (x )在x =In a 处的切线为直线l ，求曲线y = f (x )与直线l 的公共点的个数;② 求证: 存在唯一的x 0∈R ，使得对任意的x 1∈(－∞，x 0)且x 2∈(x 0，+∞)，均有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＞f ′(x 0).数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤13－10，N =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12102，求矩阵AB 的逆矩阵(AB )-1B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝－2＋kt (t 是参数，k 是实数)，曲线C 1的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosθ，y ＝sinθ (θ为参数)，若直线l 与曲线C 1无公共点，求实数k 的取值范围.C ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）若关于x 的不等式2|x －a |＋|x |≥2x －3恒成立，求实数a 的取值范围.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四核锥P -ABCD 中，底面四边形ABCD 为正方形，已知P A ⊥平面ABCD ，AB =2，P A =2. (1) 求PC 与平面PBD 所成角的正弦值; (2) 在棱PC 上是否存在一点E ，使得平面BDE ⊥平面PBD.若存在，求PE PC的值若不存在，请说明理由.23．（本小题满分10分）请先阅读:对于组合恒等式C m n = C n-mn 我们可以例设一个情境来解释:一方面，可以从n 个元素中选择其中m 个元素；另一方面，也可以从n 个元素中别除n －m 个元素，留下剩余的部分运用“算两次”的方法，原恒等式成立.(1) 请尝试创设一个情境，解释恒等式: kC k n =n C k -1n -1(2) 在集合A =(1，2，3，…，3n (n ≥2，n ∈N *)中,随机选择其中n 个元素，组成集合A 的一个子集M ，设集合M 中能被3整除的元素个数记为随机变量X ，证明:随机变量X 的数学期望E (X )=n3.PA B C D E试题Ⅰ参考答案(详细答案见教参)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1、答案：3 参考解答或提示:因为{|4}A B x a x =<<I ={|34}x x <<，所以a =3.2、答案：1 参考解答或提示:化简得1i1iz -+=+，所以||z =1. 3、答案： 0或e 4、答案： 256 5、答案：90°6、答案：14 参考解答或提示:画出可行域（如图），可知0,0x y >>，所以目标函数|343|343z x y x y =++=++在点1,2A （）处取得最大值14.7、答案：4 参考解答或提示:由图可知1152424ωωππ-=π，所以=4ω. 8、答案：189、答案：[-3，32]10、答案：－ 23911、答案：73 12、答案：81713、答案：－1＋3214、答案：3二、解答题（共90分） 15、（本小题满分14分）（1）f (x ) = sin(x +π3)；（2）43－34.16、（本小题满分14分） （略,见图） 17、（本小题满分14分）（1）y =c ＋6(ax +1600bx)，x ∈（0，40];（2）当b ≤a 时，水池设计成垂直于厂房的一边的边长为40bam ，平行于厂房的一边的 (第16题图)A CA 1B 1C 1D 1DEB边长为40ab的长方形时，造价最低为(c+480ab )元; 当b >a 时，水池设计成底面边长为40m 的正方形时，造价最低为(c +240a +240b )元.解（1）由题意，贮水池的底面垂直于厂房的一边长为x m ， 则平行于厂房的一边长为4800m 3x ，即1600m x， 所以总造价16002323y c a x b x =+⨯⨯+⨯⨯⨯，即(]160060,40.b y c a x x x ⎛⎫=+⨯⋅+∈ ⎪⎝⎭，（2）因为0,0a b >>，所以1600b a x x ⋅+≥当且仅当1600,ba x x⋅=即x =.若b a ≤,则(0,40⎤⎦,当x =,min y c =+； 若b a >,则当(]0,40x ∈时,22216001600660b ax b y a x x ⎛⎫-⎛⎫'=⨯-=⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数y 在x ∈(0,40]上单调递减，也即当x ＝40时，min 240240y c a b =++.综上可知，当b a ≤时，水池设计成垂直于厂房的一边的边长为，平行于厂房的一边的边长为，最低造价为c +当b a >时，水池设计成底面边长为40m 18、（本小题满分16分）（1）6;（2）定值为－9. 19、（本小题满分16分）（1）a=0;（2）T n =21－12n （3）（略）20、（本小题满分16分） （1）（－∞，0]; （2）（略）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分）答案：(AB)-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－7316 16B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）答案：(－32，32)C ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）答案：（－∞，3];【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）1010; （2）23.23．（本小题满分10分）（略）。