学科：数学教学内容：圆锥曲线综合能力训练【综合能力训练】 一、选择题1．到定点的距离与到定直线的距离之比等于log 23的点的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 2．椭圆x 2+5y 2-4x+10y+4=0的准线方程是（ ）A ．x=±25 B ．x= -21,x=29C ．x= -29,x=21D ．x= -23,x=273．双曲线4)1(2 x -82y =1的渐近线方程是（ ）A ．y=±2xB ．y=±2xC ．y=±2(x-1)D ．y=±2 (x-1)4．以原点为顶点，椭圆C ：42x +32y =1的左准线为准线的抛物线交椭圆C 的右准线于A 、B 两点，则|AB|等于（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．方程y 2=ax+b 与y=ax+b(a ≠0)表示的图形可能是（ ）6．中心在原点，焦点坐标为(0, ±52)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为（ ） A ．2522x +7522y =1B ．7522x +2522y =1C ．252x +752y =1D ．752x +252x =17．抛物线y 2=2px 与y 2=2q(x+h)有共同的焦点，则p 、q 、h 之间的关系是（ ） A ．2h=q-p B ．p=q+2h C ．q>p>h D ．p>q>h8．过定点P(0,2)作直线l ，使l 与曲线y 2=4(x-1)有且仅有1个公共点，这样的直线l 共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9．已知方程1||2-m x +my -22=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．m<2B ．1<m<2C ．m<-1或1<m<2D ．m<-1或1<m<23 10．过椭圆22a x +22by =1（0<b<a ）中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是（ ）A ．abB ．acC ．bcD ．b 211．将曲线C 向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线C ′，若曲线C ′的方程为42x -52y =1，则曲线C 的焦点坐标为（ ）A ．(6,-1) (0,-1)B ．(-6,1) (0,1)C ．(-3,2) (-3,-4)D ．(3,2) (3,-4)12．已知双曲线22a x -22b y =1和椭圆22mx +22b y =1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形二、填空题13．圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtan 31sec 4y x 的焦点坐标是 。

14．某桥的桥洞呈抛物线形(如图10-9)，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为 米（精确到0.1米）15．椭圆122x +32y =1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y轴上，那么点M 的纵坐标是 。

16．已知椭圆m x 2+ny 2=1与双曲线p x 2-q y 2=1(m,n,p,q ∈{x|x 是正实数})有共同的焦点F 1、F 2，P 是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|=。

三、解答题17．已知椭圆C 的焦点分别为F 1(-22,0)和F 2(22,0)，长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

18．如图10-10，线段AB 过x 轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A 、B 到x 轴的距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，求该抛物线的方程。

19．把椭圆(x-1)2+2)1(2y =1绕它的中心旋转90°后再沿x 轴方向平行移动，使变换后的椭圆截直线y=22x 所得的线段长为3，试写出变换后的椭圆方程。

20．已知椭圆的两个焦点分别为F 1(0,-22)，F 2(0,22)，离心率e=322。

（1）求椭圆方程；（2）一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 中点的横坐标为-21，求直线l 倾斜角的取值范围。

21．椭圆中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，e=23，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，|PQ|=920，且OP ⊥OQ ，求此椭圆的方程。

22．已知圆C 1的方程为(x-2)2+(y-1)2=320，椭圆C 2的方程为22a x +22b y =1（a>b>0），C 2的离心率为22，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程。

参考答案【综合能力训练】1.C2.B3.D4.D5.C6.C7.A8.C9.D 10.C 11.B 12.B 13.(-4,0) (6,0) 14.2.6 15. ±4316.m-p 17.解 设椭圆C 的方程为22a x +22by =1，由题意知a=3,c=22，于是b=1。

∴椭圆C 的方程为92x +y 2=1。

由⎪⎩⎪⎨⎧=++=19222y x x y 得10x 2+36x+27=0 因为该二次方程的判别式△>0，所以直线与椭圆有两个不同交点。

设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) 则x 1+x 2= -518, 故线段AB 的中点坐标为(-59,51)。

18.解 设所求抛物线方程为 y 2=2px(p>0)。

①若AB 不垂直于x 轴，设直线AB 的方程为：y=k(x-m)(k ≠0)，②由①，②消去x ，得y 2-kp2y-2pm=0 ③设A 、B 的坐标分别为A(p a 22,a),B(pb 22,b)。

则a,b 是方程③的两个根。

∴ab= -2pm ，又|a|·|b|=2m ，即ab=-2m ， ∴由-2pm= -2m(m>0)得p=1,则所求抛物线方程为y 2=2x 。

若AB 垂直于x 轴，直线AB 的方程为x=m,A 、B 两点关于x 轴对称， 故2A y =2pm,2m=2pm,又m ≠0，∴p=1，则所求抛物线方程为y 2=2x 。

综上，所求抛物线方程为y 2=2x 。

19.解旋转后的椭圆方程为(y-1)2+2)1(2-x =1。

设平移后的椭圆方程为(y-1)2+2)(2a x -=1。

解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+- ② ①x y a x y 2212)()1(22将②代入①后，得(22x-1)2+2)(2a x -=1。

化简后,得2x 2-2(a+2)x+a 2=0 ③ 由椭圆截直线所得线段长为3有2)22(1+·28)2(422a a -+=3 解得a=0或a=22，并且都使方程③有实根。

∴变换后的椭圆方程为：22x +(y-1)2=1或2)22(2-x +(y-1)2=1。

20.解 （1）设椭圆方程为22a y +22bx =1。

由已知，c=22，由e=322解得a=3，∴b=1。

∴92y +x 2=1为所求椭圆方程。

（2）设直线l 的方程为y=kx+b(k ≠0)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++= ② ①192x y b kx y将①代入②并化简，得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-9=0。

∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+>-+-=1920)9)(9(4)2(221222k kbx x b k kb Δ。

由于k ≠0 则化简后，得⎪⎩⎪⎨⎧+=>+- ④　 ③k k b b k 2909222 将④代入③化简后，得k 4+6k 2-27>0解得k 2>3∴k< -3或k>3由已知，倾斜角不等于2π， ∴l 倾斜角的取值范围是(3π,2π)∪(2π,32π)。

21.解 设椭圆方程为22a x +22by =1,(a>b>0)当PQ ⊥x 轴时，F(-c,0)，|FP|=a b 2，又|FQ|=|FP|且OP ⊥OQ ，∴|OF|=|FP|。

即c=ab 2∴ac=a 2-c 2,∴e 2+e-1=0 ∴e=215-与题设e=23不符。

所以PQ 不垂直x 轴。

设PQ ∶y=k(x+c),P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2), ∵e=23 ∴a 2=34c 2,b 2=31c 2, 所以椭圆方程可化为:3x 2+12y 2-4c 2=0。

将PQ 方程代入，得(3+12k 2)x 2+24k 2cx+12k 2c 2-4c 2=0∴x 1+x 2=2212324k c k +-,x 1x 2=2222123412kc c k +- 由|PQ|=920得21k +·2222222123)412(4)12324(k c c k k c k +--+=920 ① ∵OP ⊥OQ ∴11x y ·22x y= -1即x 1x 2+y 1y 2=0, ∴(1+k 2)x 1x 2+k 2c(x 1+x 2)+c 2k 2=0 ② 把21x x +，21x x 代入，解②得k 2=114，把1142=k 代入①解得c 2=3 ∴a 2=4,b 2=1，则所求椭圆方程为42x+y 2=1。

22.解 由e=22，得a c =22，a 2=2c 2,b 2=c 2。

设椭圆方程为222b x +22by =1。

又设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)。

由圆心为(2,1)，得x 1+x 2=4,y 1+y 2=2。

又2212b x +221b y =1，2222b x +222by =1， 两式相减，得 222212b x x -+22221by y -=0。

∴1)(221212121-=++-=--y y x x x x y y ∴直线AB 的方程为y-1= -(x-2)，即y= -x+3。

将y= -x+3代入222b x +22by =1，得3x 2-12x+18-2b 2=0又直线AB 与椭圆C 2相交，∴Δ=24b 2-72>0。

由|AB|=2|x 1-x 2|=2212214)(x x x x -+=3202, 得2·372242-b =320。

解得 b 2=8，故所求椭圆方程为162x +82y=1。