第11讲垂径定理知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。
本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。
希望同学们认真学习，为后面圆的其他内容理解奠定良好基础。
知识梳理讲解用时：15分钟垂径定理及其推论（1）垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
（2）相关推论①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧；①如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；①如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。
总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。
课堂精讲精练【例题1】下列判断中，正确的是（）。
A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等【答案】C【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误；任意两条直径互相平分，故B错误；同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误。
讲解用时：3分钟解题思路：根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。
教学建议：基本概念题，逐项排除。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1】下列说法正确的个数是（）。
①垂直于弦的直线平分弦；①平分弦的直线垂直于弦；①圆的对称轴是直径；①圆的对称轴有无数条；①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等。
A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】本题主要考查了垂径定理以及圆的基本性质，①垂直于弦的直径平分弦；故错误；①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；①圆的对称轴是直径所在的直线；故错误；①圆的对称轴有无数条；故正确；①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等，故正确，故选：B．讲解用时：7分钟解题思路：根据垂径定理，轴对称图形的性质以及圆的性质分别判断得出答案即可。
教学建议：基本概念题，逐项排除。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：香坊区校级月考年份：2016秋【例题2】如图，AB是①Ｏ的一条弦，直径CD①AB于点E，若AB=24，CD=26，则DE 的长度是（）。
A．5B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理，设DE为x，连接OA，①CD是①Ｏ的直径，弦AB①CD于点E，AB=24，①①AEO=90°，AE=EB=12，由勾股定理得：OA2=AE2+OE2，132=122+（13﹣x）2，解得：x=8，则DE的长度是8，故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：连接OA，根据垂径定理求出AE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可。
教学建议：求出AE=EB是解此题的关键。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：涪城区模拟年份：2018 【练习2】如图，①Ｏ过点B 、C ，圆心O 在等腰Rt ①ABC 的内部，①BAC=90°，OA=2，BC=8．则①Ｏ的半径为（）A ．5B ．5C ．52D ．6【答案】C【解析】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，延长AO 交BC 于点D ，连接OB ，由对称性及等腰Rt ①ABC ，得到AD ①BC ，①Ｄ为BC 的中点，即BD=CD=21BC=4，AD=21BC=4，①OA=2，①OD=AD ﹣OA=4﹣2=2，在Rt ①BOD 中，根据勾股定理得：OB=52，则圆的半径为52，故选：C ．讲解用时：5分钟解题思路：延长AO 于BC 交于点D ，连接OB ，由对称性及三角形ABC 为等腰直角三角形，得到AD 与BC 垂直，根据三线合一得到D 为BC 的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到AD 为BC 的一半，求出AD 的长，由AD ﹣OA 求出OD 的长，再利用垂径定理得到D 为BC 的中点，求出BD 的长，在直角三角形BOD 中，利用勾股定理求出OB 的长，即为圆的半径教学建议：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。
难度：3适应场景：当堂练习例题来源：相山区四模年份：2018【例题3】如图，①Ｏ的直径为10，弦AB=8，P 是弦AB 上一动点，那么OP 长的取值范围是。
【答案】3≤OP ≤５【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理的综合应用，如图：连接OA ，作OM ①AB 与M ，①①Ｏ的直径为10，①半径为5，①OP的最大值为5，①OM①AB与M，①AM=BM，①AB=8，①AM=4，在Rt①AOM中，OM=3，OM的长即为OP的最小值，．①3≤OP≤５讲解用时：5分钟解题思路：因为①Ｏ的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=3，即OP的最小值为3，所以3≤OP≤５。
教学建议：解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：襄城区模拟年份：2018 【练习3】弦AB，CD是①Ｏ的两条平行弦，①Ｏ的半径为5，AB=8，CD=6，则AB，CD 之间的距离为（）。
A．7B．1C．4或3D．7或1【答案】D【解析】本题考查了勾股定理和垂径定理，①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF①CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，①AB①CD，①OE①AB，①AB=8cm，CD=6cm，①AE=4cm，CF=3cm，①OA=OC=5cm，①EO=3cm，OF=4cm，①EF=OF﹣OE=1cm；①当弦AB和CD在圆心异侧时，如图①，过点O作OE①AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，①AB①CD，①OF①CD，①AB=8cm，CD=6cm，①AE=4cm，CF=3cm，①OA=OC=5cm，①EO=3cm，OF=4cm，①EF=OF+OE=7cm，故选：D．讲解用时：8分钟解题思路：分两种情况进行讨论：①弦A和CD在圆心同侧；①弦A和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可。
教学建议：注意进行分类讨论。
难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：枣阳市期末年份：2017秋【例题4】把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（）。
A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm【答案】B【解析】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，EF的中点M，作MN①AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，①四边形ABCD是矩形，①①C=①D=90°，①四边形CDMN是矩形，①MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，①OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（4﹣x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选：B．讲解用时：8分钟解题思路：取EF的中点M，作MN①AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4﹣x，MF=2，然后在Rt①MOF中利用勾股定理求得OF的长即可。
教学建议：正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。
难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：建邺区一模年份：2018【练习4】如图，在半径为10cm 的圆形铁片上切下一块高为4cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（）。
A ．8cmB ．12cmC ．16cmD ．20cm【答案】C【解析】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，如图，过O 作OD ①AB 于C ，交①Ｏ于D ，①CD=4，OD=10，①OC=6，又①OB=10，①Rt ①BCO 中，BC=822OCOB，①AB=2BC=16，故选：C ．讲解用时：4分钟解题思路：首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC 的长，进而根据垂径定理得出答案。
教学建议：得出AC 的长是解题关键。
难度：3适应场景：当堂练习例题来源：中江县模拟年份：2018【例题5】如图所示，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是的中点，点P 是直径MN 上一动点，若①Ｏ的直径为2，则AP+BP 的最小值是。
【答案】2【解析】本题考查了轴对称中最短路线问题、三角形的三边关系以及勾股定理，作点B 关于MN 的对称点B ′，连接AB ′交MN 于点P ，连接BP ，此时AP+BP=AB ′最小，连接OB ′，如图所示，①点B 和点B ′关于MN 对称，①PB=PB ′，①点A 是半圆上一个三等分点，点B 是的中点，①①AON=180°÷3=60°，①B ′ON=①AON ÷2=30°，①①AOB′=①AON+①B′ON=90°，①OA=OB′=1，①AB′＝2．讲解用时：8分钟解题思路：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，根据点，再利用勾A是半圆上一个三等分点、点B是的中点，即可得出①AOB′=90°股定理即可求出AB′的值，此题得解。
教学建议：根据三角形的三边关系确定AP+BP取最小值时点P的位置是解题的关键。
难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：南通一模年份：2017 【练习5】如图，①Ｏ的半径是8，AB是①Ｏ的直径，M为AB上一动点，==，则CM+DM的最小值为。
【答案】16【解析】本题考查了轴对称确定最短路线问题、垂径定理，如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′Ｄ与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，=，①=，①==，AB为直径，①C′Ｄ为直径，①CM+DM的最小值是16．讲解用时：5分钟解题思路：作点C关于AB的对称点C′，连接C′Ｄ与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求出C′Ｄ为直径，从而得解。