圆精讲
一. 教学内容：
垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
［学习目标］
1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。
（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。
已知其中两项，可推出其余三项。
注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。
”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。
2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。
（M点是两点重合的一点，代表两层意义）
C
O
A B
M
D
3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。
无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。
4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。
四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。
源于圆的旋转不变性。
即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。
()()()()
1234
⇔⇔⇔
O B'
M'
A' B
M
A
6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。
7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。
二. 重点、难点：
垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。
【典型例题】
例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。
例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。
求证：AD BD a b ·=-22
例3. ⊙O 的直径为12cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，那么弦AB 的长为（ ） A. 33cm
B. 6cm
C. 63cm
D. 123cm
例4. 如图所示，以O 为圆心，∠AOB ＝120°，弓形高ND ＝4cm ，矩形EFGH 的两顶点
E 、
F 在弦AB 上，H 、
G 在AB ⋂
上，且EF ＝4HE ，求HE 的长。
D
B
O
例5. 已知，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB cm OC cm ==85，，则DC 的长为（ ） A. 3cm
B. 2.5cm
C. 2cm
D. 1cm
例6. 在⊙O 中，AB AC ⋂=⋂
2，那么（ ） A. AB AC = B. AB AC =2 C. AB AC >2 D. AB AC <2
例7. 已知⊙O 的半径是10cm ，AB ⋂
是120°，那么弦AB 的弦心距是（ ）
A. 5cm
B. 53cm
C. 103cm
D. 5
2
3cm
A B
O
C
例8. 等腰△ABC 的顶角A ＝120°，腰AB ＝AC ＝10，△ABC 的外接圆半径等于（ ） A. 20
B. 15
C. 10
D. 5
A
例9. 点P 为半径是5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有弦中，长度为整数的弦一共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条
例10. 如图所示，M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点，AB ＝CD 。
求证：∠AMN ＝∠CNM
D
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 一. 选择题。
1. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦
B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧
C. 在⊙O 中，AB 、CD 是弦，若AC BD ⌒⌒
=，则AB ∥CD D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径
2. 已知P 为⊙O 内一点，且OP ＝3cm ，如果⊙O 的半径是4cm ，那么过P 点的最短弦等于（ ）
A. 2cm
B. 3cm
C. 7cm
D. 27cm 3. 弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（ ） A. 10
B. 26
C. 13
D. 5
4. 在直径是10cm 的⊙O 中，AB ⋂
为60°，则弦AB 的弦心距是（ ）
A. 103cm
B. 1523cm
C. 53cm
D. 5
2
3cm 5. AB 、CD 分别为大小不同圆的弦，共AB ＝CD ，那么AB CD ⋂⋂
、的关系是（ ）
A. AB CD ⋂=⋂
B. AB CD ⋂>⋂
C. AB CD ⋂<⋂
D. 不确定
二. 填空题。
6. 已知AB 为⊙O 直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，AC ＝6cm ，则DC ＝____________。
7. 直角三角形外接圆的圆心在___________，它的半径为___________一半。
8. 若一个圆经梯形ABCD 四个顶点，则这个梯形是___________梯形。
9. 弦AB 把⊙O 分3：7，则∠AOB ＝___________。
10. 若⊙O 半径是4，P 在⊙O 内，PO ＝2，则过P 点的最短的弦所对劣弧是___________度。
11. ⊙O 中，弦AB 垂直直径CD 于点P ，半径OA ＝4cm ，OP ＝2cm ，则∠AOB ＝__________，
∠ADC ＝__________，BD ⋂
度数为__________，△ADC 周长为__________ cm 。
三. 解答题。
12. 如图，⊙O 的两弦AB ，CD 互相垂直于H ，AH ＝4，BH ＝6，CH ＝3，DH ＝8，求⊙O 半径。
C
A H B
O
D
13. 已知：如图，C 为⊙O 直径AB 上一点，过C 点作弦DE ，使CD ＝CO ，若AD ⋂
度数
为50°，求BE ⋂
的度数。
D
B O
C A
下列命题中，正确的有（ ）个
① 顶点在圆周上的角是圆周角 ② 圆周角是圆心角的一半
③ 90°的圆周角所对的弦是直径 ④ 圆周角相等，则它们所对的弧也相等 A. 1个 B. 2个 C. 3个
D. 4个
2. 在半径为5的圆内有长为35的弦，则此弦所对的圆周角为（ ） A. 60° B. 60°或120° C. 120° D. 30°或150°
3. 在⊙O 中，圆心角为70°，则它所对弧所对的圆周角为 。
4. 如图，∠ABC=46°，∠ACB=63°，若⋂
⋂
=CH AH ，则∠BCH= 。
5. 如图，AB 是⊙O 的弦，∠OAB=75°，则此弦所对的优弧是圆周的 。