例4-1
某农机公司某年1月至12月某种农具的销 售量如表4-1。试用一次移动平均法预测 次年1月的销售量。
表4-1 一次移动平均数计算表 单位：件
月份数 实际销售量
t
Yt
1
423
一次移动平均数Mt
N=3
N=5
2
358
3
434
405
4
445
412
5
527
469
437
6
429
467
439
7
426
461
二、时间序列的影响因素
一个时间序列是多种因素综合作用的结 果。 这些因素可以分为四种： 1.长期趋势变动 2.季节变动 3.循环变动 4.不规则变动
1.长期趋势变动
长期趋势变动又称倾向变动，它是指伴 随着经济的发展，在相当长的持续时间 内，单方向的上升、下降或水平变动的 因素。 它反映了经济现象的主要变动趋势。 长期趋势变动是时间t的函数，它反映了 不可逆转的倾向的变动。长期趋势变动 通常用T表示，T=T（t）。
S(t1)

Yt

(1

)M
(1) t 1
或：S(t1)

Yt

(1

)
S (1) t-1
(4 -14) (4 - 15)
式中：
——平滑系数，且01。
2.一次指数平滑法预测模型
一次指数平滑法的预测模型为：
Yˆ t1 Yt (1 )Yˆ t （4 18)
由式（4-18）可见，利用一次指数平滑 法进行预测，其值的大小受前一期的观 测值和预测值的影响，这两部分所占的 比重由平滑系数加以调整。
同理,分别计算出=0.5、=0.9时各指数 平滑值列于表(4-4)中。
表4-4 各月利润额及指数平滑值 单位：千元
月份 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
利润额 Yt 51.3 35.7 27.9 32.3 48.2 54.6 52.0 47.5 42.3 45.8 43.9 47.2
7225
473
7921
11
427
455
784
446
361
12
446
430
256
444
4
419
448

28836
11215
二、二次移动平均法
当时间序列没有明显的趋势变动时，可 以采用一次移动平均法进行短期预测。 当时间序列出现线性变动趋势时，可以 采用二次移动平均法进行预测。
1.二次移动平均数
在一次移动平均数的基础上，再进行一 次移动平均，其值称为二次移动平均数。
解：
根据式（4-15）计算各一次指数平滑值 列于表4-5的第三列，根据式（4-19）计 算各二次指数平滑值列于表4-5的第四列。
时间序列
时间序列按其指标不同，可分为绝对数时间序 列、相对数时间序列和平均数时间序列三种。 绝对数时间序列是基本序列。可分为时期序列 和时点序列两种。 时期序列是指由反映某种社会经济现象在一段 时期内发展过程的总量指标所构成的序列。如 各个年度的国民生产总值。 时点序列是指由反映某种社会经济现象在一定 时点上的发展状况的指标所构成的序列。如各 个年末的人口总数。
本章内容提示
第一节 时间序列 第二节 移动平均法 第三节 指数平滑法
第一节 时间序列
一、时间序列 二、时间序列的影响因素 三、时间序列因素的组合形式 四、时间序列预测的步骤
一、时间序列
时间序列是指某种经济统计指标的数值， 按时间先后顺序排列起来的数列。 时间序列是时间t的函数，若用Y表示， 则有： Y=Y（t）。
月份数 实际销售量
N=3
N=5
t
Yt 预测销售量 误差平方 预测销售量 误差平方
1
423
2
358
3
434
4
445
405
1600
5
527
412
13225
6
429
469
1600
437
64
7
426
467
1681
439
169
8
502
461
1681
452
2500
9
480
452
784
466
196
10
384
469
二、二次指数平滑法
当时间序列的变动呈线性趋势时，可采 用二次指数平滑法。 二次指数平滑法是在一次指数平滑的基 础上再进行一次指数平滑。
二次指数平滑值计算式：
参照一次指数平滑值的计算，二次指数 平滑值可采用下式计算：
S(t2)

S(t1)

(1

)
S (2) t -1
(4 -19)
线性趋势预测模型：
(4 - 8)
at、 bt的估计式
由于已知的时间序列具有线性变动规律, 所以有：
bt

2 N
1
(M
(1) t

M
( t
2)
)
at

2M
(1) t

M
(2) t
(4 -12) (4 -13)
线性趋势预测模型
根据式（4-12）、（4-13）就可以通过一 次移动平均数和二次移动平均数求出线 性预测模型（4-8）的参数，建立线性趋 势预测模型。
指数平滑法
指数平滑法根据平滑次数不同， 可分为： 一次指数平滑法、 二次指数平滑法、 三次指数平滑法等。
一、一次指数平滑法
1.一次指数平滑值 2.一次指数平滑法预测模型 3．平滑系数 4．初始值的确定
1.一次指数平滑值
对一次移动平均数的递推公式（4-3）加 以改进，用Mt-1（1）代替Yt-N，同时用St（1） 表示Mt（1），则：
第二节 移动平均法
移动平均法是根据时间序列，逐项推移， 依次计算包含一定项数的移动平均数， 据以进行预测的方法。 移动平均法主要有： 一次移动平均法 二次移动平均法
一、一次移动平均法
设时间序列为：Y1Y2Yt。一次移 动平均数的计算公式为：
M
(1) t

Yt
Yt1
N
YtN1
2.二次移动平均法预测公式
若时间序列具有线性趋势变动，并预测 未来亦按此趋势变动，则可建立线性趋 势预测模型：
Yˆ tT a t btT
T 1,2,
式中：
t ——当前时期数
T——当前时期至预测期的时期数
at——对应于当前时期的线性方程的截距系数 bt——对应于当前时期的线性方程的斜率系数
3．平滑系数
由预测模型可见，起到一个调节器的作用。 如果值选取得越大，则越加大当前数据的比 重，预测值受近期影响越大；如果值选取得 越小，则越加大过去数据的比重，预测值受远 期影响越大。因此，值大小的选取对预测的 结果关系很大。如何选取值呢？通常值的选 取类似于移动平均法中对值N的选取，即多选 几个值进行试算，选择使预测误差小的值。
4．初始值的确定
式中S0（1）称为初始值，不能通过式（415）求得，一般是事先指定或估计。指 定或估计的方法有两种：当时间序列的 项数较多时，初始值对最终的预测结果 影响相对小一些，可以指定第一项的值 为初始值，即S0（1）=Y1；当时间序列的 项数较少时，初始值的大小对最终预测 结果的影响就不容忽视，通常是选取前 几项的平均值作为初始值。
,
t N
(4 - 1)
一次移动平均数的递推公式
M
(1) t

M (1) t 1

Yt
YtN N
（4 - 3)
一次移动平均法预测公式为：
即以第t期的一次移动平均数作为下一期 （t+1期）的预测值。
Yˆ t1

M(1) t
(4 - 4)
项数N的选择
N越大，修匀的程度也越大，波动也越小， 有利于消除不规则变动的影响，但同时 周期变动难于反映出来；反之，N选取得 越小，修匀性越差，不规则变动的影响 不易消除，趋势变动不明显。
例4-3
已知某企业2000年1至12月利润额，试取 平滑系数=0.1, 0.5, 0.9，分别求出该企 业每月利润的指数平滑值，并预测2001 年1月的利润额。（指定初始值S0（1）=Y1）
解：
当=0.1，S0（1）=51.3时： S1（1）=0.1 51.3 (1 0.1) 51.3 = 51.3 S2（1）=0.1 35.7 (1 0.1) 51.3 = 49.7 S3（1）=0.1 27.9 (1 0.1) 49.7 = 47.6
指数平滑值
=0.1 =0.5 =0.9
51.3 51.3
51.3
49.7 43.5
37.3
47.6 35.7
28.8
46.0 34.0
32.0
46.2 41.1
46.6
47.1 47.9
53.8
47.6 49.9
52.2
47.6 48.7
48.0
47.0 45.5
42.9
46.9 45.7
45.5
N的选择
但N应取多大，应根据具体情况作出决定。 实践中，通常选用几个N值进行试算，通 过比较在不同N值条件下的预测误差，从 中选择使预测误差最小的N值作为移动平 均的项数。
均方误差
预测误差可以通过均方误差MSE来度量。
MSE

K
1
N
K
( Yt
t N1

Yˆ t )2
式中：K——时间序列的项数
452
8
502